1.2.2 全称量词与存在量词-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理从概念（全称/存在量词及命题定义）到判断（命题类型辨析），再到否定（量词与结论的双重否定），最后到应用（已知命题真假求参数范围）的完整学习支架，层层递进构建知识体系。 资料通过教材例题与跟进训练结合，以命题判断、否定改写等练习培养逻辑推理素养，以参数范围求解提升数学运算能力。课时分层作业覆盖不同难度，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，精准查漏补缺。

2.2　全称量词与存在量词 学习任务 核心素养 1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(重点) 2．能正确运用存在量词对全称量词命题进行否定．(易错点、难点) 3．能正确运用全称量词对存在量词命题进行否定．(易错点、难点) 1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养． 2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养． 1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？ 2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？ 3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？ 4．全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是什么？ 5．存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是什么？ 知识点1　全称量词命题与全称量词 1．全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．全称量词命题“对M中任意的x，有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)．” 2．全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 1．“相似三角形是全等三角形”是不是全称量词命题？ [提示]　该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题． (　　) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题． (　　) (3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．下列命题是全称量词命题的是________(填序号)． ①每个四边形的内角和都是360°； ②任何实数都有算术平方根； ③∀x∈Z，有2x＋1是整数； ④存在一个x∈R，使2x＋1＝3． [答案]　①②③ 知识点2　存在量词命题与存在量词 1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 2．存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 2．“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题． [提示]　是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　　) (2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题． (　　) (3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 4．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)． ①任意三条线段都能构成三角形； ②存在整数n，使n能被11整除； ③若3x－7＝0，则x＝． [答案]　② 知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定 对命题p进行否定，就得到一个新的命题，用符号“¬p”表示，读作“非p”或“p的否定”． 1．全称量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∃x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题的否定 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题． (2)存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∀x∈M，¬p(x)． 3．如何对省略量词的命题进行否定？ [提示]　对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． 5．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________． [答案]　∃x∈R，x3－x2＋1>0 6．若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，则¬p为________． [答案]　∀x>0，x2－3x＋2≤0 类型1　全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　【链接教材P19例4，P20例5】 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． [解]　(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题． (2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题． (3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可以表述为“存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立”，故为存在量词命题． 【教材原题·P19例4，P20例5】 例4　判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0． [解]　(1)“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； (2)“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”． 例5　判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)存在一个无理数x，使x2也是无理数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋1＝0． [解]　(1)“存在一个无理数x，使x2也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； (2)“∃x∈R，使x2＋x＋1＝0”是存在量词命题，“∃(即存在)”是存在量词． 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 注意：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体”“全部”． (2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别”“部分”． [跟进训练] 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除； (3)所有的素数都是奇数； (4)三角形都有外接圆． [解]　(1)是全称量词命题． (2)是存在量词命题． (3)是全称量词命题． (4)是全称量词命题． 类型2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例2】　判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0． [解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 　全称量词命题与存在量词命题的真假判断技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [跟进训练] 2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 　 B．∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N 　 D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 B　[对于A，∀x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意； 对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意； 对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意； 对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B．] 3．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除， 当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A，B错误，C，D正确．故选CD．] 类型3　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】　【链接教材P21例6，P22例7】 (1)命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x<0，x3＋x<0 　 B．∃x<0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x<0 　 D．∀x≥0，x3＋x<0 (2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　) A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0 C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0 D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m>0 [答案]　(1)C　(2)D 【教材原题·P21例6，P22例7】 例6　写出下列全称量词命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)∀x∈R，有＝x． [解]　(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”； (2)“∀x∈R，有＝x”的否定是“∃x∈R，使≠x”． 例7　写出下列存在量词命题的否定： (1)某箱产品中至少有一件次品； (2)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数； (3)∃x∈R，使x2＋x＋1≤0． [解]　(1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”； (2)“方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数”的否定是“方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数”； (3)“∃x∈R，使x2＋x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，有x2＋x＋1＞0”． 　对全称(存在)量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称(存在)量词换为存在(全称)量词． (2)否定结论：把结论中的“是”“等于”“有”“大于”等，更改为“不是”“不等于”“没有”“小于或等于”等． [跟进训练] 4．写出下列命题的否定并判断其真假： (1)若x>0，则x2>0； (2)矩形的对角线相等； (3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得x∉A； (4)至少有一个实数x，使x2＋ 1 ＝ 0． [解]　(1)存在x>0，使得x2≤0，为假命题． (2)存在一个矩形，它的对角线不相等，为假命题． (3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题． (4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题． 类型4　已知命题的真假求参数的范围 【例4】　(1)已知∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，则m的取值范围是________． (2)已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，则a的取值范围是________． (1)m≤0　(2)a≤1　[(1)令y＝x2＋2x＋1，x∈R，则y＝(x＋1)2≥0． 要使∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，只需m≤0， 所以，实数m的取值范围是m≤0． (2)题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 当a＝0时，方程为2x＋1＝0，显然有实数根，满足题意． 当a≠0时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 即a≤1且a≠0时，方程有实根． 综上知，a≤1时方程有实根，a的取值范围是a≤1．] 　知命题真假求参数的范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． [跟进训练] 5．命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合． [解]　命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞a有2x＋a＞3a，所以3a≥3，解得a≥1． 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 1．下列命题正确的个数是(　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”． A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 C　[①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定形式是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C．] 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　[A是全称量词命题． B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确． 因为＋(－)＝0，所以C为假命题． 对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B．] 3．(教材P22练习T1(1)改编)命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式为(　　) A．∀x∈N，x3≤x2 　 B．∃x∈N，x3>x2 C．∃x∈N，x3<x2 　 D．∃x∈N，x3≤x2 D　[命题“∀x∈N，x3>x2”的否定形式是存在量词命题“∃x∈N，x3≤x2”．故选D．] 4．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________． [答案]　② 5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． ①②③　④　[①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．] 课时分层作业(七)　全称量词与存在量词 一、选择题 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 [答案]　D 2．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，x3≤0 B．∃x∈R，<0 C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，>0 D　[当x＝－1时，＝0，故选D．] 3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“∀x∈A，2x∈B”的否定是(　　) A．∀x∈A，2x∉B 　 B．∀x∉A，2x∉B C．∃x∉A，2x∈B 　 D．∃x∈A，2x∉B [答案]　D 5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＜1} 　 B．{a|a＞3} C．{a|a≤1} 　 D．{a|a≥3} C　[由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C．] 二、填空题 6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________． [答案]　∀x∈R，x2＋1≠0 7．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________． [答案]　存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0 8．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号) ②　[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2>x； (2)∀x∈R，x2>x； (3)∃x∈Q，x2－8＝0； (4)∀x∈R，x2＋2>0． [解]　(1)因为当x＝2时，x2>x成立， 所以，“∃x∈R，x2>x”是真命题． (2)因为当x＝0时，x2>x不成立， 所以，“∀x∈R，x2>x”是假命题． (3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数， 所以，“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题． (4)因为对任意实数x，都有x2≥0， 所以，对任意实数x，都有x2＋2≥2>0， 即对任意实数x，都有x2＋2>0成立， 因此，“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． 10．(教材P23习题1—2A组T3改编)写出下列命题的否定，并判断真假： (1)正方形都是菱形； (2)∃x∈R，使4x－3>x； (3)∀x∈R，有x＋1＝2x； (4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集． [解]　(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． (2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x．因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题． (3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x．因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题． (4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题． 11．(多选)下列命题错误的是(　　) A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2＝3 C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0 ABC　[对于A，x＝－1时，不合题意； 对于B，x＝±，B错误； 对于C，比如x＝0时，－1<0，错误；D选项正确．] 12．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<－1} 　 B．{a|a≥1} C．{a|a>1} 　 D．{a|a≤－1} B　[∵p为假命题， ∴p的否定为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1． ∴a的取值范围是a≥1，故选B．] 13．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种) 是　[∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”． 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题． ∴两位同学题中m的取值范围是一致的．] 14．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________． m≤　[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得m≤， 所以实数m的取值范围是m≤．] 15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． [解]　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅， 所以解得2≤m≤3． (2)由于命题q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，所以m≥2． 所以解得2≤m≤4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $