第1章 1.2 集合的基本关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等的概念，通过Venn图直观表达集合间关系，结合实例讲解有限集子集列举方法及个数计算，构建从概念理解到应用的完整学习支架。 资料以生活实例（如四足动物与动物的关系）引导学生用数学眼光观察集合联系，通过分类讨论（空集与非空集）培养数学思维，借助符号与Venn图强化数学语言表达。例3参数问题提升逻辑推理，课时对点练助课后查漏，课中便于教师引导，课后学生可自主巩固。

1.2　集合的基本关系 学习目标　1.理解子集、真子集、集合相等的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法. 导语 根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物，如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}，且有些集合之间有密切的关系，如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合含有前一个集合没有的元素，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！ 一、集合间关系的判断 问题　观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系. (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)C为某中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E＝{x|x＝2k，k∈Z}，F＝{偶数}. 提示　(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，(2)(3)中的集合C与D，E与F也有这种关系. 知识梳理 1.Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图. 2.子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或 集合 相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B 真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 3.子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)规定：空集是任何集合的子集. 4.不包含关系：当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A⊈B(或B⊉A). 注意点： (1)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. (2)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，且A≠B. (3)若出现A⊆B时，应讨论A＝∅和A≠∅两种情形. (4)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. 例1　(1)下列各式中，正确的是(　　) A.{0}∈{0，1，2} B.∅⊆{0，1，2} C.{(a，b)}＝{(b，a)} D.{a，b}＝{(a，b)} 答案　B 解析　对于A，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}，A错误；对于B，空集是任何集合的子集，B正确；对于C，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，当a≠b时，两个元素不同，此时集合不相等，C错误；对于D，{a，b}是含有两个元素a与b的集合，而{(a，b)}是以有序实数对(a，b)为元素的单点集，所以{a，b}与{(a，b)}不相等，D错误. (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； ②M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 解　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. ②方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二　由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM. 反思感悟　判断集合间关系的常用方法 跟踪训练1　(1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案　B 解析　由x2－x＝0得x＝1或x＝0， 故N＝{0，1}， 易得NM，其对应的Venn图如选项B所示. (2)若{a，0，1}＝{a2，a，0}，则实数a的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.－1或1 答案　A 解析　在{a，0，1}中，a≠0且a≠1， 而{a，0，1}＝{a2，a，0}， 则有a2＝1，解得a＝－1， 所以实数a的值为－1. 二、子集、真子集的个数 例2　(课本例4)写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 解　由子集的定义知，集合{0，1，2}的子集的元素个数最少为0个，最多为3个.按照子集中元素的个数，由少到多依次写出集合{0，1，2}的所有子集，得∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}. 显然，上述8个子集除了集合{0，1，2}以外，其余7个集合都是它的真子集. 例2　填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2. 反思感悟　(1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集. (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个. 跟踪训练2　满足{1，2}M⊆{1，2，3，4}的集合M有　　　　　个.  答案　3 解析　由题意可得{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素，{1，2，3}，{1，2，4}； 含有四个元素，{1，2，3，4}. 故满足题意的集合M共有3个. 三、集合间关系的应用 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.若B⊆A，求实数m的取值范围. 解　当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，解得m<2； 当B≠∅时， ∴ 解得2≤m≤3. 综上所述，m的取值范围是(－∞，3]. 延伸探究1　若本例条件“B⊆A”改为“BA”，其他条件不变，求m的取值范围. 解　当B≠∅时，如图所示. ∴或 解得2≤m≤3； 当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]. 延伸探究2　若本例条件“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围. 解　当A⊆B时，此时B≠∅，如图所示. ∴ 即 ∴m∈∅，即m的取值范围为∅. 反思感悟　(1)利用数轴处理不等式表示集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况. 1.知识清单： (1)子集、真子集、集合相等的概念. (2)集合间关系的判断，求子集、真子集的个数问题. (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)忽略对集合是否为空集的讨论. (2)求参数范围时，端点值能否取到容易出现错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 2.已知集合A＝{0，1}，则下列式子错误的是(　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　B 解析　∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确. 3.已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A.M⊆P B.P⊆M C.M＝P D.M，P互不包含 答案　D 解析　由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含. 4.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A⊆B且B⊆A，则2x＋y等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.－1 答案　C 解析　由A⊆B且B⊆A，得A＝B， 得x＝0或y＝0. 当x＝0时，x2＝0，此时B不满足集合中元素的互异性，舍去； 当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1. 由上知，x＝0不合适，故y＝0，x＝1， 经验证，符合题意，则2x＋y＝2. 5.集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则B＝的子集的个数为(　　) A.4 B.8 C.15 D.16 答案　D 解析　集合A＝{1，2，3，4，5，6}， B＝＝{1，2，3，6}， 故B有24＝16(个)子集. 6.(多选)以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}的集合A可以为(　　) A.{0，2，4} B.{0，1，3，4} C.{0，1，2，4} D.{0，1，2，3，4} 答案　AC 解析　由题意可知，集合A包含集合{0，2，4}， 同时又是集合{0，1，2，3，4}的真子集， 则所有符合条件的集合A为{0，2，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}. 7.(5分)已知a是实数，若集合{x|x2＋2x＋a＝0}是任意集合的子集，则a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a>1} 解析　由题意知，集合{x|x2＋2x＋a＝0}是空集， ∴方程x2＋2x＋a＝0无解， 即Δ＝4－4a<0，解得a>1， 故a的取值范围是{a|a>1}. 8.(5分)已知集合A＝[－4，4]，B＝{x|x≥a}，且A⫋B，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(－∞，－4] 解析　∵集合A＝[－4，4]，集合B＝{x|x≥a}， 若AB，则a≤－4， 即实数a的取值范围是(－∞，－4]. 9.(10分)已知集合A＝{x|(a－2)x2＋2x－1＝0}有且仅有两个子集，求实数a的值及对应的两个子集. 解　由题意可得集合A为单元素集， (1)当a＝2时，A＝{x|2x－1＝0}＝，此时集合A的两个子集是，∅， (2)当a≠2时，则Δ＝4＋4(a－2)＝0，解得a＝1，此时集合A的两个子集是{1}，∅， ∴实数a的值是1或2.当a＝2时，集合A的两个子集是，∅；当a＝1时，集合A的两个子集是{1}，∅. 10.(11分)集合A＝{x|1<x<5}，C＝{x|3a－2<x<4a－3}，若C⊆A，求实数a的取值范围. 解　∵C⊆A，∴分C＝∅和C≠∅两种情况讨论. 当C＝∅时，3a－2≥4a－3，解得a≤1； 当C≠∅时，3a－2<4a－3，解得a>1， 又C⊆A，数轴表示如下： ∴ 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}. 11.集合M＝，N＝，则(　　) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.无法判断 答案　C 解析　∵在集合M中， x＝ 在集合N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z， ∴N⊆M. 12.(多选)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|ax2＋x－1＝0}，若A⊇B，则实数a的取值可以是(　　) A.0 B.1 C.－1 D. 答案　AC 解析　当a＝0时，B＝{1}，满足条件； 当a≠0时，若B＝{1}， 则无解； 若B＝{0}，则无解； 若B＝{0，1}，则无解； 若B＝∅，则Δ＝1＋4a<0，得a<－，满足条件. 综上所述，a＝0或a<－. 13.集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S＝PM C.SP＝M D.P＝MS 答案　C 解析　由题意知M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，S＝{…，－7，3，13，23，…}，故SP＝M. 14.(5分)已知非空集合P满足：①P⊆{1，2，3，4，5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为　　　　.  答案　7 解析　由a∈P，6－a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个. 15.(5分)已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为S. (1)若S＝3，则这样的集合A共有　　　　个；  (2)若S为偶数，则这样的集合A共有　　　　个.  答案　(1)2　(2)13 解析　(1)若S＝3，据“累积值”的定义，得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个.(2)因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个. 16.(12分)已知A＝{x|x2＋5x－6＝0}，B＝，B⊆A，且B不是空集. (1)求集合B的所有可能情况；(5分) (2)求p，q的值.(7分) 解　(1)∵A＝＝{－6，1}， B⊆A且B≠∅， 则B＝{－6}或B＝{1}或B＝{－6，1}. (2)若B＝{－6}，由根与系数的关系可得解得 若B＝{1}，由根与系数的关系可得 解得 若B＝{－6，1}，由根与系数的关系可得解得 综上所述，或或 学科网（北京）股份有限公司 $