第1章 1.1 集合的概念与表示（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“集合的概念与表示”核心知识点，从鸟群、自然数集等实例引入集合与元素概念，逐步梳理元素的确定性、互异性、无序性特征，明确元素与集合的从属关系及常用数集符号，最终系统讲解列举法、描述法、区间三种表示方法，构建递进式学习支架。 该资料以自然现象和生活实例为切入点，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题链引导学生探究元素特性与表示方法，发展数学思维。结合多选、填空等多样化例题及跟踪训练，课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言表达集合关系的能力。

1.1　集合的概念与表示 学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用.3.会用集合的表示方法表示一些简单集合. 导语 蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔； 茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动； 清清的湖水，一群鱼在自由地游泳. 鸟群、羊群、鱼群都是同一类对象汇集在一起. 在小学和初中我们学习过把自然数放在一起形成自然数的集合，圆是同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 一、集合的概念 问题1　观察下面几个例子，讨论它们的研究对象是什么？有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)某中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有的点； (5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 提示　数、学生、正方形、点、实数根、海洋(研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等).它们的共同特点是都是“所有的”，即某种研究对象的全体. 知识梳理 1.集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示. 2.元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示. 例1　(多选)下列选项中正确的是(　　) A.组成集合的元素必须是数 B.组成集合的元素一定是有限个 C.本班所有学生组成的集合中的元素是每个学生 D.2025年参加新八省联考的所有考生可以组成集合 答案　CD 解析　组成集合的元素可以是数、点、人、物体等，故A不正确；组成集合的元素可以是无限个，如所有自然数组成的集合，故B不正确；本班学生是由所有学生组成的集合，每个学生都是组成这个集合的元素，故C正确；所有考生组成集合，故D正确. 反思感悟　集合是一个整体，所有满足条件的对象都在这个集合中，集合中的元素是我们研究的对象，可以有多个也可以只有一个. 跟踪训练1　请写出下列集合中的元素. (1)大于1小于10的奇数构成的集合：　　　　　　　　　　　　　　； (2)我国四大名著构成的集合：　　　　　　　.  答案　(1)3，5，7，9　(2)《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》 二、集合的基本属性及常用数集 问题2　“我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗？ 提示　不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相对性，多么“小”才算“小”没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象，因此，不能构成集合. 问题3　由0，1，2，3，|－3|组成一个集合，集合中有5个元素吗？ 提示　集合中只有0，1，2，3，共4个元素. 问题4　高一(1)班的全体同学组成一个集合，将学生的座位重新调整，这个集合变了吗？ 提示　没有变. 知识梳理 1.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性). 2.元素与集合的关系 关系 说法 记法 属于 元素a属于集合A a∈A 不属于 元素a不属于集合A a∉A 3.常用的数集及表示符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 注意点： (1)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向. (2)0∈N. 例2　(1)(多选)下列选项中，关于集合的说法正确的是(　　) A.中国古代四大发明可以构成集合 B.接近的所有实数可以构成集合 C.汉字“光”“明”“正”“大”组成的集合与“正”“大”“光”“明”组成的集合相等 D.单词book的字母构成的集合中有4个元素 答案　AC 解析　在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A正确；在B中，“接近的所有实数”标准不明确，不能构成集合，故B错误；在C中，集合中的元素具有无序性，故C正确；在D中，集合中的元素是互不相同的，o出现了两次，集合中共有3个元素，故D错误. (2)用符号∈或∉填空： ①　　　N；②－1　　　Z；③0　　　N＋；④3.1　　　N＋；⑤32　　　N；⑥π　　　Q.  答案　①∉　②∈　③∉　④∉　⑤∈　⑥∉ (3)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去； 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－. 反思感悟　(1)判断元素和集合关系的方法 直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. 推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. (2)由集合中元素的特性求参数值(范围) ①根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对所求参数值进行检验. ②利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 跟踪训练2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.R中最小的元素是0 B.若a∈Z，则－a∉Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a2∈R 答案　CD 解析　实数集中没有最小的元素，故A不正确；对于B，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，故B不正确；C，D显然正确. (2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　a>－4 解析　因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4. 三、集合的表示 问题5　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用哪种方法表示集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来. 提示　(1)这是用自然语言法表示集合； (2)我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出. 问题6　请用列举法表示不等式x－7<3的解集. 提示　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}. 知识梳理 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 2.描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征. 3.有限集、无限集、空集 含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作∅. 注意点： (1)列举法元素间用“，”隔开，把元素一一列举出来并用“{}”括起来即可.对于无限集，有时也可用列举法，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (2)“{}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，所以“{}”里不能出现“全体”“所有”等字眼. (3)描述法应写清该集合中元素的代表符号，代表元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写. (4)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素.如{直角三角形}，{自然数}等. 例3　(1)(课本例1)用列举法表示下列集合： ①由大于3且小于10的所有整数组成的集合； ②方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合. 解　①设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A.因为大于3且小于10的所有整数有4，5，6，7，8，9，所以用列举法可以表示为A＝{4，5，6，7，8，9}. ②方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为B.因为方程x2－9＝0有两个不相等的实数根－3，3，所以用列举法可以表示为B＝{－3，3}. (2)(课本例2)用描述法表示下列集合： ①小于10的所有有理数组成的集合A； ②所有奇数组成的集合B； ③平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C. 解　①设x∈A，则x∈Q，且使x<10成立.因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x<10}. ②设x∈B，则x是一个奇数.因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}. ③设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r.因此，用描述法可以表示为 C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}. 例3　(1)用列举法表示下列集合： ①方程x2＝2x的所有实数根组成的集合A； ②一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合B； ③由所有正整数构成的集合C. 解　①方程x2＝2x的根是x＝0或x＝2，所以方程的所有实数根组成的集合A＝{0，2}. ②将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合B＝{(0，1)}. ③正整数有1，2，3，…，所求集合C＝{1，2，3，…}. (2)用描述法表示下列集合： ①使y＝有意义的实数x的集合A； ②坐标平面上第三象限内点的集合B； ③函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合C. 解　①要使y＝有意义，则x－6≠0，即x≠6，故满足题意的实数x的集合A＝{x∈R|x≠6}. ②第三象限内点的特征是横、纵坐标符号都为负，因此满足题意的点的集合是{(x，y)|x<0，y<0，x∈R，y∈R}. ③满足题意的点的集合C＝{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R}. 反思感悟　(1)用列举法表示集合应注意 ①应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素. ②若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. (2)利用描述法表示集合应注意 ①写清楚该集合的代表元素. ②在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写. 跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的合数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)不等式2x－3<1的解组成的集合C； (4)在平面直角坐标系中，函数y＝x2上的点组成的集合D. 解　(1)不小于1且不大于17的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16， 用列举法表示为A＝{4，6，8，9，10，12，14，15，16}. (2)设x∈B，则x是一个正奇数，用描述法表示为B＝. (3)不等式2x－3<1的解，即x<2，可以用描述法表示为C＝{x|x<2}. (4)在平面直角坐标系中，函数y＝x2上的点，用描述法表示为D＝. 四、区间及其表示 问题7　你能用除描述法之外的方法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示　可以，区间. 知识梳理 1.区间的概念(a，b为实数，且a<b) 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意点： (1)因为区间[a，b]((a，b))中a<b，所以区间不能表示空集. (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号. (3)在数轴上表示区间时，要区分实心点与空心点. 例4　(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] 答案　B 解析　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞). (2)已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为　　　　.  答案　(－∞，1) 解析　由题意知，区间(4p－1，2p＋1)， 则满足4p－1<2p＋1，解得p<1， 即p的取值范围为(－∞，1). 反思感悟　区间表示的注意事项 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. 跟踪训练4　(1)区间(－3，2]用集合可表示为(　　) A.{－2，－1，0，1，2} B.{x|－3<x<2} C.{x|－3<x≤2} D.{x|－3≤x≤2} 答案　C (2)下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{0} B.{x|x>8，或x<5} C.{x∈R|x2＋1＝0} D.{x∈N|3.5<x<4.5} 答案　C 解析　选项A，B，D都含有元素，而选项C中无元素. 1.知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系. (2)常用数集的表示. (3)集合中元素的特性及应用. (4)集合的表示. (5)区间及其表示. 2.方法归纳：等价转化、分类讨论. 3.常见误区： (1)忽视集合中元素的互异性. (2)点集与数集的区别. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.下列各组对象不能构成集合的有(　　) A.2024年巴黎奥运会的所有志愿者 B.小于0的实数 C.(2 025，1)与(1，2 025) D.未来世界的高科技产品 答案　D 解析　A中，2024年巴黎奥运会的所有志愿者标准明确，能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品无明确的标准，故不能构成一个集合. 2.集合{2，4，6，8，10}用描述法表示为(　　) A.{x|1<x<10} B.{x|2≤x≤10} C.{x|x≤10，x∈N} D.{x|x＝2n，n∈N，1≤n≤5} 答案　D 解析　集合{2，4，6，8，10}用描述法表示出来应是{x|x＝2n，n∈N，1≤n≤5}. 3.设不等式3－2x<0的解集为M，则下列关系中正确的是(　　) A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M 答案　B 解析　本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可.当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M. 4.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案　D 解析　由集合中元素的互异性可知，这个三角形的三边必须都不相同，因此不可能为等腰三角形. 5.(多选)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素可以为(　　) A.5 B.6 C.7 D.9 答案　ABC 解析　1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中的元素可以为5，6，7，8. 6.下列四个命题中错误的是(　　) A.∅可以表示为{0} B.集合{x∈Z|(3x－1)(x－4)＝0}可简写为{4} C.集合{x|4x2－4x＋1＝0}中只有一个元素 D.集合是有限集 答案　A 解析　对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，故A不正确； 对于B，解方程(3x－1)(x－4)＝0，得x1＝，x2＝4. 因为x∈Z，所以{x∈Z|(3x－1)(x－4)＝0}＝{4}，故B正确； 对于C，因为方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实数根，故该集合中只有一个元素，故C正确； 对于D，集合＝{1，5}是有限集，故D正确. 7.(5分)用区间表示集合{x|x－3≥2}为　　　　　.  答案　[5，＋∞) 解析　集合{x|x－3≥2}可化简为{x|x≥5}，用区间表示为[5，＋∞). 8.(5分)下列六种表示方法： ①{x＝1，y＝4}； ②； ③{1，4}； ④(1，4)； ⑤{(1，4)}； ⑥{x，y|x＝1，或y＝4}. 其中，能表示“一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合”的是　　　　.(把所有正确答案的序号填在横线上)  答案　②⑤ 解析　一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，易知②⑤可表示“交点(1，4)组成的集合”. 9.(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件；(5分) (2)若－2∈A，求实数x的值.(5分) 解　(1)根据集合中元素的互异性， 可知 即x≠0且x≠3且x≠－1. (2)因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以x＝－2. 10.(12分)用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2分) (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(2分) (3)梯形的全体构成的集合；(2分) (4)所有能被3整除的数的集合；(2分) (5)方程(x－1)(x－2)＝0的所有实数根；(2分) (6)不等式2x－1>5的解集.(2分) 解　(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. (2){－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}. (3){a|a是梯形}或{梯形}. (4){x|x＝3n，n∈Z}. (5){1，2}. (6){x|x>3}. 11.已知P＝{x|2<x≤k，x∈N}，若集合P中恰有4个元素，则(　　) A.6<k<7 B.6≤k<7 C.5<k<6 D.5≤k<6 答案　B 解析　∵P＝{x|2<x≤k，x∈N}，且集合P中恰有4个元素，∴P＝{3，4，5，6}，∴6≤k<7. 12.设a，b，c为非零实数，则x＝的所有值所组成的集合为(　　) A.{0，4} B.{－4，0} C.{－4，0，4} D.{0} 答案　C 解析　∵a，b，c为非零实数， ∴当a>0，b>0，c>0时，x＝＝1＋1＋1＋1＝4； 当a，b，c中有一个小于0时， 不妨设a<0，b>0，c>0， ∴x＝＝－1＋1＋1－1＝0； 当a，b，c中有两个小于0时， 不妨设a<0，b<0，c>0， ∴x＝＝－1－1＋1＋1＝0； 当a<0，b<0，c<0时，x＝＝－1－1－1－1＝－4； ∴x的所有值组成的集合为{－4，0，4}. 13.(5分)用列举法表示集合A＝＝　　　　　　.  答案　{5，4，2，－2} 解析　∵x∈Z，∈N， ∴6－x∈{1，2，4，8}，此时x∈{5，4，2，－2}， 即A＝{5，4，2，－2}. 14.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　.  答案　不是　(答案不唯一) 解析　由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A. 若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝， 即a＝±1， 故可取的集合有，等. 15.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，下列四个结论中错误的是(　　) A.2 025∈[0] B.－3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0] D.若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 答案　B 解析　对于A，因为2 025＝405×5＋0，所以2 025∈[0]，故A正确；对于B，因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，a－b＝5(n1－n2)∈[0](其中n1，n2∈Z，k＝0，1，2，3，4)，故C正确；对于D，若a－b∈[0]，设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5m＋5n＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，k＝0，1，2，3，4，所以a与b属于同一“类”，故D正确. 16.(12分)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R. (1)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；(6分) (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.(6分) 解　(1)当A中恰有一个元素时， 若a＝0，则方程化为－3x＋2＝0，此时关于x的方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根x＝； 若a≠0，则由Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时关于x的方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根. 当A中有两个元素时， 则a≠0，且Δ＝9－8a>0，解得a<，且a≠0，此时关于x的方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根.综上，a的取值范围为. (2)当A中没有元素时， 则a≠0，Δ＝9－8a<0，解得a>，此时关于x的方程ax2－3x＋2＝0没有实数根. 当A中恰有一个元素时，由(1)知， 此时a＝0或a＝. 综上，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $