第1章 §1 1.2 集合的基本关系(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．设A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则下列结论正确的是(　　) A．B∈A　　　 　　　 B．BA C．A∈B D．A＝B 解析　因为集合B中的元素x∈A，所以x＝a或x＝b，所以B＝{a，b}，因此A＝B.故选D. 答案　D 2．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C. D．－1 解析　A⊆B，则2a－2＝0，a＝1，A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意，故选B. 答案　B 3．(多选)若集合A＝{x|x≤}，a＝，则下列结论不正确的是(　　) A．a∉A B．{a}A C．{a}∈A D．a⊆A 解析　因为a＝＜，所以a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错误，B正确． 答案　ACD 4．(多选)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则实数m的取值可以是(　　) A．0　　　 B．2 C．1　　　 D．3 解析　由A＝{0,1,2}，B＝{1，m}，B⊆A，得B＝{1,0}或B＝{1,2}．所以实数m的取值可以是0,2，故选AB. 答案　AB 5．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有________个． 解析　由题意得，含有元素0的集合A的子集有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个． 答案　4 6．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________________. 解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}， 所以A＝{－1,0,1}． 答案　{－1,0,1} 7．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C有________个． 解析　因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}， 所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}， 故满足条件A⊆C⊆B的集合C有4个． 答案　4 8．已知集合M＝{2，a，b}，集合N＝{2,2a，b2}，若M＝N，求a，b的值． 解析　由题可得或 解得或或 若则不满足集合中元素的互异性，因此应舍去． 所以或 [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知集合M⊆{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合M可以为(　　) A．{4,7} B．∅ C．{7,8} D．{4,7,8} 解析　由题意，得M可以为∅，{7}，{4,7}，{7,8}，{4}，{8}，共六个，对照选项，ABC均可． 答案　ABC 10．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1,1) 解析　当a＝－1，b＝1时， B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合； 当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合； 当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合； 当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合． 答案　B 11．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的值是________． 解析　P＝{－1,1}，Q⊆P，所以 ①当Q＝∅时，a＝0. ②当Q≠∅时，Q＝，所以＝1或＝－1， 解之得a＝±1. 综上知a的值为0，±1. 答案　0，±1 12．设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝________. 解析　因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0， 所以a＋b＝0，所以＝{0，－1，b}． 由已知{1，a＋b，a}＝， 得{1,0，a}＝{0，－1，b}， 所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2. 答案　－2 13．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}． (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； (2)若A⊇B，求m的取值范围． 解析　化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}． (1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)． (2)①当m≤－2时，B＝∅⊆A； ②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}， 因此，要B⊆A， 则只要⇒－1≤m≤2. 综上所述，知m的取值范围是 {m|－1≤m≤2，或m≤－2}． [核心价值·探索创新] 14．若一个集合中含有n个元素，则称该集合是“n元集合”，已知集合A＝，则其“2元子集”的个数为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 解析　根据题意，要求集合A＝的 “2元子集”的个数，可以在－2，，3,4四个元素中任取2个，组成一个集合即可，因此，所求的“2元子集”分别为，{－2,3}，{－2,4}，，，{3,4}，共6个． 答案　A 15．(2025·吉林四平一中月考)已知集合P＝{x|x2－3x＋b＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}． (1)若b＝4，求集合M，使得P为M的真子集，且M为Q的真子集； (2)若集合P是集合Q的一个子集，求实数b的取值范围． 解析　(1)当b＝4时，方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×1×4<0，该方程无实数解，所以P＝∅.又Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4，－1,1}，故PQ.由已知得M是一个非空集合，且是Q的一个真子集， 则集合M可以为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}． (2)由(1)知Q＝{－4，－1,1}． 当P＝∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2－3x＋b＝0，有Δ＝9－4b<0，得b>； 当P≠∅时，若－1∈P，则(－1)2－3×(－1)＋b＝0，即b＝－4，此时P＝{x|x2－3x－4＝0}＝{4，－1}， 因为4∉Q，所以P不是Q的子集； 若－4∈P，则b＝－28，此时P＝{7，－4}，不是Q的子集； 若1∈P，则b＝2，此时P＝{1,2}，不是Q的子集． 综上，实数b的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$