1.1集合的概念与表示 第二课时-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示，涵盖列举法、描述法、区间及集合分类等核心知识点。通过“生日快乐”不同语言表示的情境导入，从生活现象抽象出数学问题，衔接集合基本概念，为后续学习搭建支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用“see”单词字母集合等实例培养抽象能力。通过典型例题精研析与通性通法总结，发展数学思维，如方程解集用描述法体现逻辑推理。规范的区间表示训练数学语言表达，助力学生形成严谨思维，也为教师提供系统教学资源提升效率。

第二课时　集合的表示 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同 的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日 快樂”，英文为“Happy Birthday”…… 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示 方法呢？ ⁠ ⁠ ⁠⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　列举法 列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{}”内表示 集合的方法，一般可将集合表示为{ a ， b ， c ，…}. 提醒　用列举法表示集合时的注意点：①元素与元素之间必须用 “，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不 能重复. 一一列举　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　描述法 　通过描述元素 表示集合的方法叫作描述法.一般可 将集合表示为{ x 及 x 的范围｜ }，即在花括号内先写 出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写 出集合中元素所具有的 ⁠. 满足的条件　 x 满足的条件　 共同特征　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符 号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②用简明、准确的语言进行描 述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如 { x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④ 所有描述的内容都要写在花括号内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N ＋”不符合要求，应为{ x ∈Z｜ x ＝2 m ， m ∈N＋}；⑤多层描述时， 应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{ x ｜ x ＜ －1，或 x ＞1}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点三　集合的分类 　集合 【想一想】 {0}与∅相同吗？ 提示：不相同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 ∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点四　区间及相关概念 1. 区间的概念及记法 设 a ， b 是两个实数，且 a ＜ b ，我们规定： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 { x ｜ a ≤ x ≤ b } 闭区间 ⁠ { x ｜ a ＜ x ＜ b } 开区间 ⁠ [ a ， b ]　 （ a ， b ）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 { x ｜ a ≤ x ＜ b } 半开半闭区 间 ⁠ { x ｜ a ＜ x ≤ b } 半开半闭区 间 ⁠ [ a ， b ）　 （ a ， b ]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 无穷大 符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋ ∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为 ⁠ ⁠. （－∞，＋∞） 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 特殊区间的表示 集合表示 符号表示 数轴表示 { x ｜ x ≥ a } ⁠ { x ｜ x ＞ a } ⁠ { x ｜ x ≤ b } ⁠ { x ｜ x ＜ b } ⁠ ⁠ [ a ，＋∞）　 （ a ，＋∞）　 （－∞， b ]　 （－∞，b ）　 提醒　区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点必须 小于右端点；③开或闭不能混淆. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A. {1，3} B. {1} C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3} 解析：　由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实 根的集合为{1，3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 不等式4 x －5＜3的解集用集合表示为 ⁠. 解析：由4 x －5＜3得 x ＜2.所以不等式4 x －5＜3的解集用集合表 示为{ x ｜ x ＜2}. 3. 用区间表示下列数集： （1）{ x ｜ x ≥1}＝ ⁠； （2）{ x ｜2＜ x ≤3}＝ ⁠； （3）{ x ｜ x ＞－1且 x ≠2}＝ ⁠. { x ｜ x ＜2}　 [1，＋∞）　 （2，3]　 （－1，2）∪（2，＋∞）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用列举法表示集合 【例1】　用列举法表示下列集合： （1）方程 x2－1＝0的解组成的集合； 解：方程 x2－1＝0的解为 x ＝－1或 x ＝1，所求集合用列举法表 示为{－1，1}. （2）单词“see”中的字母组成的集合； 解：单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为 “s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）所有正整数组成的集合； 解：正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2， 3，…}. （4）直线 y ＝ x 与 y ＝2 x －1的交点组成的集合. 解：方程组的解是所求集合用列举法表示 为{（1，1）}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点 的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，” 隔开.如{（2，3），（5，－1）}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 若集合 A ＝{（1，2），（3，4）}，则集合 A 中元素的个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　集合 A ＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2） 和（3，4）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 用列举法表示下列给定的集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合 A ； 解：不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以 A ＝ {0，2，4，6，8，10}. （2）小于8的质数组成的集合 B ； 解：小于8的质数有2，3，5，7，所以 B ＝{2，3，5，7}. （3）方程2 x2－ x －3＝0的实数根组成的集合 C ； 解：方程2 x2－ x －3＝0的实数根为－1， ，所以 C ＝{－1， }. 目录 数学·必修第一册（BSD） （4）一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6的图象的交点组成的集合 D . 解：由得 所以一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6的图象的交点为（1， 4），所以 D ＝{（1，4）}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 用描述法表示集合 【例2】　用描述法表示下列集合： （1）函数 y ＝－ x 的图象上的点组成的集合； 解： {（ x ， y ）｜ y ＝－ x }. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； 解：数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于 3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的 集合用描述法表示为{ x ∈R｜｜ x ｜＞3}. （3）不等式 x －2＜3的解组成的集合. 解：不等式 x －2＜3的解是 x ＜5，则不等式 x －2＜3的解组成的 集合用描述法表示为{ x ｜ x ＜5}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 描述法表示集合的2个步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　选择适当的方法表示下列集合： （1）大于1且小于8的有理数； 解：大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{ x ∈Q｜1＜ x ＜8}. （2）不等式2 x －3＜5的解组成的集合； 解：不等式2 x －3＜5的解组成的集合可表示为{ x ｜2 x －3＜ 5}，即{ x ｜ x ＜4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合. 解：二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合中， 代表元素为点（ x ， y ），其中 x ， y 满足 y ＝ x2＋2 x －10，由于 点有无数个，则用描述法表示为{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋2 x －10}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 用区间表示集合 【例3】　用区间表示下列集合： （1）{ x ｜ x ＞－1}＝ ⁠； 解析：集合{ x ｜ x ＞－1}可用开区间表示为（－1，＋∞）； （2）{ x ｜2＜ x ≤5}＝ ⁠； 解析：集合{ x ｜2＜ x ≤5}可用半开半闭区间表示为（2，5]； （－1，＋∞）　 （2，5]　 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）{ x ｜ x ≤－3}＝ ⁠； 解析：集合{ x ｜ x ≤－3}可用半开半闭区间表示为（－∞，－3]； （4）{ x ｜2≤ x ≤4}＝ ⁠. 解析：集合{ x ｜2≤ x ≤4}可用闭区间表示为[2，4]. （－∞，－3]　 [2，4]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值； （2）区间两端点之间用“，”隔开； （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 区间（－3，2]用集合可表示为（　　） A. {－2，－1，0，1，2} B. { x ｜－3＜ x ＜2} C. { x ｜－3＜ x ≤2} D. { x ｜－3≤ x ≤2} 解析：　由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为 { x ｜－3＜ x ≤2}，故选C. 2. 已知区间（4 p －1，2 p ＋1）为一确定区间，则 p 的取值范围 为 ⁠. 解析：由题意，得4 p －1＜2 p ＋1，所以 p ＜1. （－∞，1）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型四 集合与方程的综合问题 【例4】　若集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法表示集合 A . 解：当 k ＝0时，原方程变为－8 x ＋16＝0， x ＝2. 此时集合 A ＝{2}. 当 k ≠0时，则关于 x 的一元二次方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等实数 根，只需Δ＝64－64 k ＝0，即 k ＝1. 此时方程的解为 x1＝ x2＝4，集合 A ＝{4}，满足题意. 综上所述，实数 k 的值为0或1. 当 k ＝0时， A ＝{2}；当 k ＝1时， A ＝{4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）若集合 A 中有2个元素，求 k 的取值集合. 解：由题意得 解得 k ＜1，且 k ≠0.故实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＜1，且 k ≠0}. 2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求 k 的取值集合. 解：①当集合 A 中含有1个元素时，由例题知， k ＝0或 k ＝1； ②当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解， 即解得 k ＞1. 综上，实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 集合与方程的综合问题的解题策略 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合 中的元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参 数的值或取值范围，必要时要分类讨论； （3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互 异性. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，求 a ， b 的值. 解：由 A ＝{2，3}，知方程 x2－ ax ＋ b ＝0的根为2，3，由根与系数的 关系得因此 a ＝5， b ＝6. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 集合{ x ∈N＋｜ x ＜6}的另一种表示方法是（　　） A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5} 解析：　易知集合用列举法表示为{1，2，3，4，5}.故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列集合的表示方法正确的是（　　） A. 第二、四象限内的点集可表示为{（ x ， y ）｜ xy ≤0， x ∈R， y ∈R} B. 不等式 x －1＜4的解集为{ x ＜5} C. {全体整数} D. 实数集可表示为R 解析：　选项A中应是 xy ＜0；选项B的本意是想用描述法表示， 但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x ；选项C的“{}”与“全体”意思重复. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （多选）下列说法错误的是（　　） A. 0∈∅ B. ∅＝{0} C. ∅中元素的个数为0 D. ∅∈{0} 解析：　空集是不含任何元素的集合，∅中元素的个数为0， 其他表述都不正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 若（ a ，3 a －1]为一确定区间，则实数 a 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：∵（ a ，3 a －1]为一确定区间，∴ a ＜3 a －1.解得 a ＞ ， ∴实数 a 的取值范围是 . ： 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 用描述法表示图中阴影部分（包含边界）的点构成的集合 为 ⁠. 解析：由题意得，图中的阴影部分（包含边界）的点构成的集合是 点集，即{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2且0≤ y ≤1}. {（ x ， y ）｜0≤ x ≤2且0≤ y ≤1}　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A. （2，＋∞） B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D. （－∞，2] 解析：　不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表 示成区间为[2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） A.  B.  C.  D.  解析：　由题意可得，.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.（2026春·商水县期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （2026·小店区校级模拟）下面关于集合的表示正确的是（　　） A.  B.  . C.  D.  . 解析：对于A，可知，故错误； 对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，故错误. 故选：C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 反比例函数 y ＝ 的自变量组成的集合为 ⁠. 解析：∵反比例函数 y ＝ 的自变量为 x ，∴反比例函数 y ＝ 的自 变量组成的集合为{ x ｜ x ≠0}. { x ｜ x ≠0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 定义集合A*B＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ， y ∈ B }.若 A ＝{1，2}， B ＝ {0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（　　） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 解析：　根据题意， A ＝{1，2}， B ＝{0，2}，则集合 A * B 中 的元素可能为0，2，0，4，又由集合元素的互异性，得 A * B ＝ {0，2，4}，其所有元素之和为6.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 若区间[ a －1， a ]关于原点对称，则 a ＝ 　 　，此时区间为 　 ⁠ 解析：由已知得 a －1＝－ a ，解得 a ＝ .此时区间为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 7. 甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4 个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的 试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为 27分，那么乙的所有可能的得分组成的集合为 ⁠. {24，27，30}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道， ∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不 妨设为第一题.∵甲和乙都解答了所有的试题，且只有1道题的选 项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙 可得27分或30分.如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答 错，而第一道题乙也一定答错，此时乙可得24分.综上可得：乙的 所有可能的得分组成的集合为{24，27，30}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $