第29章 圆单元测试卷2026-2027学年九年级上册数学人教版

**基本信息** 第二十九章圆单元测试卷，覆盖圆的性质、位置关系及综合应用，梯度设计适配单元复习，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|半径与弦、点圆位置关系、三角形外接圆|基础巩固，如第1题考查直径是最长弦| |填空题|4题|直角三角形外接圆半径、弦距计算、扇形圆锥|能力提升，如第14题分类讨论弦距| |解答题|9题|圆与三角形综合、切线证明、扇形圆锥应用|创新应用，如第25题结合圆锥制作，体现模型意识|

第二十九章 圆单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 2．已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴点P在外． 故选B． 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 4．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 5．三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】因为三边长分别为6、8、10的三角形是直角三角形，由直角三角形的特征知，圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半． 【详解】解：∵， ∴三角形为直角三角形， ∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边为直角三角形中最长边， ∴三角形外接圆的半径, ∴三角形外接圆的半径等于5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，勾股定理逆定理，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 6．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 7．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 8．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 9．下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 10．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 11．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理和平行线的性质．根据圆周角定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 二、填空题 13．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 14．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 15．如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 16．用一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个无底圆锥，则它的高为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形与圆锥的关系，勾股定理；由扇形的弧长公式求得弧长为，设圆锥的底面圆半径为，高为，可求，由勾股定理即可求解；掌握弧长公式，理解圆锥的底面圆的周长为对应扇形的弧长，母线为扇形的半径是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为： ， 设圆锥的底面圆半径为，高为， ， 解得：， ， 它的高为， 故答案：． 三、解答题 17．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 18．如图，的直径弦于点C，P是上的一点，延长交于点D，连接，且． (1)求证：； (2)若，的直径为10，求的值． 如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 19．如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵是半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设圆O的半径为，在中用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设圆O的半径为， 则，，． 在中，， ∴， 解得 ， ∴． 20．线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． (1)如图，当经过圆心时，证明：； (2)如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 【答案】(1) 解：如图，连接、． ∵点是的中点， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． (2) 解：成立，理由如下： 如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． 由（）得．， ∴． ∵， ∴（）． ∴，． ∴． ∴． 在中，， ． 【分析】（1）如图，连接、．由点是的中点，得．由是的直径，得，进而解直角三角形得，从而即可得解； （2）如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．由（）得．，进而证明（）．得，．从而．在中，解直角三角形得．从而即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的推论，全等三角形的判定及性质，弧、弦、圆周角间的关系． 21．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，为的直径，为的弦，， (1)尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹； (2)在（1）的条件下， ①求______（直接填空）； ②求的长． 【答案】(1) 如图，射线即为所求； (2)①45；② 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）①是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解； ②解直角三角形求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）略 （2）①平分， ， ， ， 是直径， ， 故答案为：45； ②是直径， ， ， ， ， 23．如图，已知是以为直径的半圆上两点. (1)尺规作图：在半圆上求作一点，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，已知，，求的值. 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆心角与弦、弧的关系，圆周角定理，角直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接作平分交于点，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可说理； （2）证明，则，那么，然后根据角直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，连接．   ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ， ． 24．如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1) 证明：为的直径，是弦，且， ， ； (2) 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）略； （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 25．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 2．已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 3．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 7．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 8．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 9．下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 10．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 11．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 二、填空题 13．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 14．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 15．如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 16．用一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个无底圆锥，则它的高为______． 三、解答题 17．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 18如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 19．如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 20．线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． (1)如图，当经过圆心时，证明：； (2)如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 21．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 22．如图，为的直径，为的弦，， (1)尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹； (2)在（1）的条件下， ①求______（直接填空）； ②求的长． 23．如图，已知是以为直径的半圆上两点. (1)尺规作图：在半圆上求作一点，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，已知，，求的值. 24．如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 25．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $