第29章 《圆》单元测试卷（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 《圆》单元测试卷，120分钟150分，覆盖圆的概念、性质、计算及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|弦、外接圆、点与圆位置关系等|辨析易混命题（如直径与圆周角关系），强化概念理解| |填空题|6/24|弧长公式、圆锥侧面积、垂径定理|结合旋转（等腰直角三角形旋转）、动态问题（点运动路径），提升空间观念| |解答题|9/86|扇形面积（玉佩问题）、实际应用（排水管深度）、综合证明（圆心角与弧关系）、创新探究（最小覆盖圆）|融入文化情境与生活问题，发展推理能力与应用意识|

《圆》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 2．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键． 【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 3．已知在平面直角坐标系中，P点坐标为，若以原点O为圆心，半径为画圆，则点P与的位置关系是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求出，根据的半径为5，即可判断点P与的位置关系． 【详解】解：∵点P的坐标是， ∴， 而的半径为5， ∴等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：B． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断是解题的关键． 4．下列说法正确的是(   ) A．直径所对的角是直角 B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，根据圆周角定理、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：A、直径所对的圆周角是直角，故该选项不正确，不符合题意； B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，故该选项正确，符合题意； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．圆心角为，半径为1的弧长为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将半径，圆心角代入弧长公式“”即可算出答案． 【详解】解：圆心角为，半径为1的弧长= ． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）． 6．如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称－最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键． 首先利用在直线上的同侧有两个点，在直线上有到的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接， ， ， 为弧的中点， ， ， 点关于对称， ， 则， ， ． 故选：C． 7．如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是先利用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 先根据圆锥的高和底面半径，用勾股定理求出母线长；再将和底面半径代入侧面积公式，计算得出结果． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 8．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 9．下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确； ⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，说法正确． 故选：B． 10．甲、乙两个扇形的面积相等，如果扇形甲的弧长是扇形乙弧长的，那么扇形甲的半径长是扇形乙的半径长的（    ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积，解决本题关键是掌握扇形的面积公式． 扇形甲的弧长是扇形乙弧长的，根据扇形的面积公式S扇形，可得：两个扇形面积相等时，，从而解决问题． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 ∵扇形甲的弧长是扇形乙弧长的， ∴，即 即扇形甲的半径长是扇形乙的半径长的9倍． 故选：C． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设_________ 【答案】至少有四个角是锐角 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：根据反证法的第一步：假设结论不成立，则有 假设多边形的内角中至少有四个角是锐角． 故答案为：至少有四个角是锐角． 【点睛】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．此命题中，只要证明有4个锐角是错误的即可说明多边形的内角中锐角的个数最多是3个． 12．用半径为圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________． 【答案】 【分析】先利用弧长公式求出圆锥的底面周长，即可求解． 【详解】解：扇形的弧长为： ， 即这个圆锥的底面的周长为： ， ∴这个圆锥的底面圆半径为 ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于扇形的弧长． 13．如图，的半径于点D，连接并延长，交于点B，连接．    （1）若，则∠A的度数为________； （2）若，，则的长为________． 【答案】 /36度 8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等知识点． （1）利用圆周角定理求得的度数，根据垂径定理得到，据此求解即可； （2）根据垂径定理求出，求得的长，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， 故答案为：8． 14．如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理的综合应用，解题的关键是结合弧的关系推导圆周角，再利用直角三角形性质和勾股定理建立方程． 先由垂径定理得的一半长度，结合弧的关系推导的度数，再在直角三角形中求出的长，最后通过勾股定理建立关于半径的方程求解． 【详解】解：由垂径定理得： 直径，是中点， ． 设，则． ， ， ． 由圆周角定理，． ，，， （直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半）． ，， 由勾股定理得 设， ， 在中，， 即； 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 15．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转90°得到，交AB于点E，其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为______． 【答案】/ 【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴弧的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键． 16．如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆定理求得，根据瓜豆原理求得点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长，当点在直径的延长线上时，线段有最大值，当点在直径上时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴点的轨迹是一个圆，则点的轨迹是一个圆，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点就是点运动轨迹的圆心，半径为的长， ∵， ∴， ∴点在同一直线上，且为的直径， ∴， ∴， 当点在直径的延长线上时，线段有最大值，最大值为， 当点在直径上时，线段有最小值，最小值为， ∴线段的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，是的直径． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 18．（本题6分）已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是多少？请画图并计算． 【答案】弦和之间的距离是或 【分析】分圆心在弦和的同旁和之间两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答；灵活运用垂径定理和分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】解：当圆心在弦和的同旁，如图：连接、，过作于，且直线交于， ， ， ，， ，过，， ， 同理， 由勾股定理得：，， ； 如图：圆心在弦和弦之间， 此时， 所以弦和之间的距离是或． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作旋转图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得； （2）由题意可得边扫过的面积为扇形，且，，则边扫过的面积为以长为半径的圆面积的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，边扫过的面积为扇形，且，， 边扫过的面积为． 20．（本题8分）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论； （2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：水面的最大深度是． （2）解：①当水面在与水面平行的直径下方． 过点作于点， 且与交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴； 在中， ， 上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴上升的距离为：． 答：排水管水面上升了或． 21．（本题8分）如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度． 【答案】图中管道的展直长度约为6142mm． 【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可． 【详解】解：3000＋≈6142（mm）. 答：图中管道的展直长度约为6142mm. 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：(其中为圆心角的弧度数，R为半径)是解题的关键． 22．（本题10分）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到． 【详解】解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∴，即 ∴ 23．（本题12分）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与相交于点． (1)求证：点为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到，再由平行线性质得到，即，从而由垂径定理即可得证； （2）结合（1）的证明过程，结合垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， 则， 是的弦，是的半径， 由垂径定理可得， 即点为的中点； （2）解：根据（1）中的证明过程，由垂径定理可得， 在中，，由勾股定理可得， 设的半径为，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理的推论、平行线性质、垂径定理、勾股定理及解方程等知识，熟记圆的相关性质是解决问题的关键． 24．（本题14分）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 25．（本题14分）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． (2)证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：见答案 （2）证明：见答案 （3）解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《圆》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 2．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 3．已知在平面直角坐标系中，P点坐标为，若以原点O为圆心，半径为画圆，则点P与的位置关系是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 4．下列说法正确的是(   ) A．直径所对的角是直角 B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 5．圆心角为，半径为1的弧长为(　　) A． B． C． D． 6．如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 8．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．甲、乙两个扇形的面积相等，如果扇形甲的弧长是扇形乙弧长的，那么扇形甲的半径长是扇形乙的半径长的（    ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．倍 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设_________ 12．用半径为圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________． 13．如图，的半径于点D，连接并延长，交于点B，连接．    （1）若，则∠A的度数为________； （2）若，，则的长为________． 14．如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为_____． 15．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转90°得到，交AB于点E，其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为______． 16．如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接，，则线段的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 18．（本题6分）已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是多少？请画图并计算． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 20．（本题8分）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 21．（本题8分）如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度． 22．（本题10分）如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？    23．（本题12分）如图，是的直径，点是上的点，且，分别与相交于点． (1)求证：点为的中点； (2)若，求的长． 24．（本题14分）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 25．（本题14分）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $