第二十六章（二次函数） 练习A卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配九年级上册第26章复习，有效检测抽象能力、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|二次函数定义、图像性质（如第4题平移）、与x轴交点（第6题）|基础概念辨析，突出几何直观| |填空题|6题18分|方程解（第12题）、销售利润函数（第14题）|结合表格数据与实际情境，体现数据意识| |解答题|7题72分|解析式求解（17题）、利润问题（22题抗疫基金）、动点面积最值（23题）|综合应用与创新探究，强化模型观念与推理能力|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度九年级上册数学第26章练习卷（二次函数）参考答案 注意事项： 本试卷满分 120 分.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数关系式中，一定为二次函数的是(　C　) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋ 2．若二次函数y＝axa2－1的图象开口向上，则a的值为(　C　) A．3 B．－3 C. D．－ 3．下列各点中，在抛物线y＝－x2＋1上的是(　A　) A．(1，0) B．(0，0) C．(0，－1) D．(1，1) 4．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是(　C　) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x＋2)2－3 C．y＝3(x－2)2＋3 D．y＝3(x－2)2－3 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　A　) A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x1＝x2＝－3 D．x1＝x2＝1 6．下列抛物线中，与x轴无公共点的是(　D　) A．y＝x2－1 B．y＝x2－4x＋4 C．y＝－x2＋4x＋5 D．y＝x2－2x＋2 7．函数y＝ax2＋1和y＝ax＋a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　D　) 8．二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是(　C　) A．a＝4 B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C．当x＝－1时，b＞－5 D．当x＞3时，y随x的增大而增大 (第8题)　　　　　 (第10题) 9．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是(　D　) A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，结合图象给出下列结论： ①a＋b＋c＝0；②a－2b＋c＜0； ③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－3和1； ④若点(－4，y1)，(－2，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3； ⑤a－b＜m(am＋b)(m为任意实数)． 其中正确的结论有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 0或1或2 12．若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 13．已知二次函数的图像与直线交于点两点，则关于的不等式的解集为 ． 14．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ． 5．已知抛物线y＝x2与直线y＝（k+2）x+1﹣2k的两个不同交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1和x2均为整数，则实数k的值为 　 2 　． 16．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　 　米，水面宽8米． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5， ∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2． 18．（10分）已知二次函数y＝(x－1)2－3. (1)写出二次函数图象的开口方向和对称轴； (2)y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值． 解：(1)在y＝(x－1)2－3中，∵a＝>0， ∴二次函数图象开口向上，且对称轴为直线x＝1； (2)∵二次函数图象开口向上，∴y有最小值， ∵其顶点坐标为(1，－3)，∴y的最小值为－3. 19．（10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，2)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，1. (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 解：(1)依题意可得抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋3)(x－1)． 把点(－1，2)的坐标代入，得2＝a·(－1＋3)×(－1－1)， ∴a＝－. ∴抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋3)(x－1)， 即y＝－x2－x＋. (2)∵y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2, ∴抛物线的顶点坐标为(－1，2)． 20．（10分）已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． （1）解：令，则 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当时，， ∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 21．（10分）如图，抛物线y与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明△ABC为直角三角形． （1）解：对于抛物线y，当y＝0时，则0， 解得x1，x2＝2； 当x＝0时，y＝2， ∴A（，0），B（2，0），C（0，2）． （2）证明：连接AC，BC， ∵OA，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴AC2＝（）2+22＝6，BC2＝（2）2+22＝12， ∴AC2+BC2＝6+12＝18； ∵AB＝2（）＝3， ∴AB2＝（3）2＝18， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 22．（10分）某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值． 解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元， 每月的实际销售量为（1000100）， 则w＝（200﹣x﹣80）（1000100）＝20x2十1400x+120000， ∵， ∴0≤x≤120， ∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）； （2）设捐款后的实际利润为p元， 则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000100）n， 整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n， 则p是x的二次函数，其对称轴为直线x， ∵0＜n≤6， ∴3235， ∵﹣20＜0， ∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小， ∴当x＝40时，p有最大值135000， 即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000， 解得：n＝5． 23．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． （1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图所示，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴的面积最大值为． 第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度九年级上册数学第26章练习卷（二次函数） 注意事项： 本试卷满分 120 分.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数关系式中，一定为二次函数的是(　　) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋ 2．若二次函数y＝axa2－1的图象开口向上，则a的值为(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 3．下列各点中，在抛物线y＝－x2＋1上的是(　　) A．(1，0) B．(0，0) C．(0，－1) D．(1，1) 4．将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是(　　) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x＋2)2－3 C．y＝3(x－2)2＋3 D．y＝3(x－2)2－3 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　) A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x1＝x2＝－3 D．x1＝x2＝1 6．下列抛物线中，与x轴无公共点的是(　　) A．y＝x2－1 B．y＝x2－4x＋4 C．y＝－x2＋4x＋5 D．y＝x2－2x＋2 7．函数y＝ax2＋1和y＝ax＋a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 8．二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是(　　) A．a＝4 B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C．当x＝－1时，b＞－5 D．当x＞3时，y随x的增大而增大 (第8题)　　　　　 (第10题) 9．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，结合图象给出下列结论： ①a＋b＋c＝0；②a－2b＋c＜0； ③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－3和1； ④若点(－4，y1)，(－2，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3； ⑤a－b＜m(am＋b)(m为任意实数)． 其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 . 12．若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 13．已知二次函数的图像与直线交于点两点，则关于的不等式的解集为 ． 14．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ． 5．已知抛物线y＝x2与直线y＝（k+2）x+1﹣2k的两个不同交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1和x2均为整数，则实数k的值为 　 　． 16．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　 　米，水面宽8米． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 18．（10分）已知二次函数y＝(x－1)2－3. (1)写出二次函数图象的开口方向和对称轴；(2)y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值． 19．（10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，2)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，1. (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 20．（10分）已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 21．（10分）如图，抛物线y与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明△ABC为直角三角形． 22．（10分）某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值． 23．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $