三角函数的定义域、值域与单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的定义域、值域与单调性核心考点，依据高考评价体系梳理了定义域求解、值域最值、单调性分析三大考查维度，通过模拟题与经典题型归纳，明确了单调性与值域综合应用占比达50%的高频考点，构建了从基础到综合的完整复习体系。 课件亮点在于“真题模拟+素养提升”的备考策略，如第6题通过二倍角公式化简与变量替换培养数学思维，第12题用整体代换法突破单调区间考点，特设易错点警示（如忽略定义域周期性）。帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺高考。

三角函数的定义域、值域与单调性 一、单项选择题 1.函数f(x)=tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 基础过关 由2x-≠+kπ,k∈Z,可得x≠π+kπ,k∈Z.故选D. 解析 2.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 由题意,函数f(x)=有意义,则满足-2cos x-1≥0,即cos x ≤-,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域x∈ (k∈Z).故选A. 解析 3.a=(1,sin θ),b=(cos θ,),其中θ∈R,则|a-b|的最大值是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 因为a=(1,sin θ),b=(cos θ,),θ∈R,所以a-b=(1-cos θ,sin θ-),所以|a-b|=== ≤3,当且仅当sin=-1时取等号,所以|a-b|的最大值是3.故选B. 解析 4.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 因为tan 5=tan(5-π),<5-π<2<3<π,且函数y=tan x在区间上单调递增,所以tan(5-π)<tan 2<tan 3,所以tan 5<tan 2<tan 3,即c<a<b. 解析 5.(2026·温州模拟)已知函数f(x)=cos x,若关于x的方程f(x)=a在上有两个不同的根,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 如图,作出函数y=cos x,x∈的图象及直线y=a,由图可知当a∈时,直线y=a与曲线y=cos x,x∈有两个交点,即关于x的方程f(x)=a在区间上有两个不同的根.故选C. 解析 6.(2026·长沙模拟)已知函数f(x)=(sin x-cos x)cos x,若f(x)在区间上是单调函数,则实数θ的取值范围是(　　) A. B. C. D. f(x)=sin xcos x-cos2x=sin 2x-=sin 2x-cos 2x-= sin-,令t=2x-,则y=sin t-,因为x∈,所以t∈ ,又因为f(x)在区间上是单调函数,则y=sin t-上是单调函数,所以-π<2θ-≤-,即-<2θ≤-,解得-<θ≤-.故选C. 解析 二、多项选择题 7.下列函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递增的是(　　) A.y=|sin x| B.y=|tan x| C.y=sin 2x D.y=tan x 对于A,作出函数y=|sin x|的图象,如图①,最小正周期为π,且在上单调递增,故A正确;对于B,作出y=|tan x|的图象,如图②,最小正周期为π,且在上单调递增,故B正确;对于C,当x∈时, 解析 2x∈(0,π),y=sin 2x不单调,故C错误;对于D,y=tan x的最小正周期为π,且在上单调递增,故D正确.故选ABD. 解析 8.已知函数f(x)=|cos 2x|+cos|x|,有下列四个结论,其中正确的结论为 (　　) A.f(x)在区间上单调递增 B.π是f(x)的一个周期 C.当x∈时,f(x)的值域为 D.f(x)的图象关于y轴对称 因为y=cos x是R上的偶函数,所以f(x)=|cos 2x|+cos x.A错误,当x∈时,f(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1.设cos x=t,则t∈,则g(t)=2t2+t-1=2-,g(t)在上单调递减,又y=cos x在上单调递增,所以f(x)在上单调递减.B错误,f(x+π)=|cos(2x+2π)|+cos(x+π)=|cos 2x|-cos x≠f(x),所以π不是f(x)的 解析 一个周期.C正确,当x∈时,f(x)=-cos 2x+cos x=-2cos2x+cos x+1.设cos x=t,则t∈,则h(t)=-2t2+t+1=-2+.因为t∈ ,所以h(t)∈.D正确.f(x)的定义域为R,因为f(-x)= |cos(-2x)|+cos(-x)=|cos 2x|+cos x=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称.故选CD. 解析 三、填空题 9.(2026·衡水模拟)y=sin2x-cos x的最大值为　　　　.  函数y=sin2x-cos x=-cos2x-cos x+1,令t=cos x,t∈[-1,1],则y=-t2-t+1= -+,t∈[-1,1],所以当t=-时,函数取得最大值为. 解析 10.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x-,x∈R,则其最小值为　　　　;单调递增区间为　　　　　　　　　　　　.  因为f(x)=sin xcos x-cos2x-=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,当sin=-1时,函数f(x)取得最小值,所以函数f(x)的最小值为-2,由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 解析 -2 (k∈Z) 11.已知函数f(x)=sin x-x,x∈(0,π).若f(x)在(a,a+1)上不单调,则实数a的取值范围为　　　　　　.  由f(x)=sin x-x,得f'(x)=cos x-,令f'(x)=0,得cos x=,因为x∈(0,π),所以x=,当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0;所以f(x)在区间上是增函数,在上是减函数.若f(x)在(a,a+1)上不单调,则a<<a+1,解得-1<a<.即a的取值范围为. 解析 四、解答题 12.已知函数f(x)=2sin. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)⇒kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z); 解 (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值,并求出取得最值时对应x的取值. (2)令2x-=t,因为x∈,所以t∈,因为函数g(t)=2sin t在单调递增,在单调递减,g=,g=2,g=-,所以g(t)min=-,g(t)max=2,因此当t=时,即当x=时,函数f(x)有最小值 -,当t=时,即当x=时,函数f(x)有最大值2. 解 13.已知f(x)=2sin xcos x-2cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间; (1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1,令+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,则+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 解 (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域. (2)由题意得g(x)=f=2sin-1=2sin-1=2cos 2x-1,因为≤x≤,有≤2x≤,则-1≤cos 2x≤,可得 -3≤2cos 2x-1≤-1,故g(x)在上的值域为[-3,-1]. 解 14.已知函数f(x)=cos x,若A,B是锐角三角形的两个内角,则一定有(　　) A.f(sin A)>f(sin B) B.f(cos A)>f(cos B) C.f(sin A)>f(cos B) D.f(cos A)>f(sin B) 素养提升 因为A,B是锐角三角形的两个内角,所以A+B>,所以0<-B<A<,因为y=sin x在上单调递增,所以0<sin=cos B<sin A<1,又函数f(x)=cos x在[0,1]上单调递减,所以f(cos B)>f(sin A),同理f(cos A) >f(sin B),所以C错,D对;因为A,B的大小关系不确定,所以A、B两项不确定.故选D. 解析 15.(2026·石家庄模拟)已知函数y=sin在区间[0,a],上的值域均为[-1,b],则实数a的取值范围是　　　　　.  当x∈[0,a] 时,x-∈,当x∈ 时,x-∈.因为函数y=sin在区间[0,a],上的值域均为[-1,b],而 解析 sin=-1,sin=-1,所以≤a≤,即实数a 的取值范围是. 解析 16.已知函数f(x)=sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立,且在区间上无最小值,则ω=　　　　.  由题意知直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,所以ω+=+2kπ (k∈Z),所以ω=+3k(k∈Z)　①.因为函数f(x)在区间上无最小 解析 值,所以(k∈Z),解得6k-≤ω≤2k+(k∈Z)　②.又ω>0,所以由①②可得,ω=. 解析 $