第四节 第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据高考评价体系梳理了五点法作图、周期性、单调性、奇偶性、值域等核心考点，通过教材回顾与微点延伸明确定义域、单调区间、最值求解等高频考点权重，归纳“五点法作图”“整体代入求单调区间”等常考题型，体现高考备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导+素养培养”，如以2025年全国二卷真题为例，用“整体代入法”突破三角函数单调区间求解，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），设“易错陷阱警示”和“答题模板”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握学情，提升高考复习效率。

第四节 第四章　三角函数与解三角形 三角函数的图象与性质 【目标要求】　1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函 数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质. 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),, (π,0),_____________,(2π,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),, _____________,,(2π,1). 　 (π,-1) 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象       定义域 R R _______________ 　 值域 _____________ _____________ ___________ 周期性 T=_________ T=_________ T=_________ 奇偶性 _____________ _____________ _____________ 递增 区间 __________________ _______________ _______________ 递减 区间 __________________ _______________ 无 [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 　 [2kπ-π,2kπ] 　 　 [2kπ,2kπ+π] 对称 中心 _____________ _______________ (k∈Z) 对称轴 方程 _______________ _____________ 无 (kπ,0) 　 x=+kπ x=kπ 3.关于周期性 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=. y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z). 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点.(　　) (2)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线.(　　) (3)“五点法”作函数y=2sin在一个周期上的简图时,第一个点为.(　　) (4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　　) 解析 当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1. 解析 2.函数y=的定义域是(　　) A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(0,1) C.∪ D. 解析 3.函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图是(　　) 列表: 观察各图象发现A项符合.故选A. 解析 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 4.若函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为2,则ω=____. 解析 π 5.(人A必一P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是______. 解析 　 第1课时　三角函数的定义域、 值域与单调性 第四节 (1)函数y=tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 考点一 三角函数的定义域………………自练自悟 解析 解析 (3)已知x∈,则函数y=lg(2sin x+1)的定义域为________. 解析 　 (4)已知函数f(x)=,则定义域为 ______. 　 解析 三角函数的定义域的求法 1.求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式); 2.求三角函数的定义域经常借助两个工具:三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴; 3.对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式 (组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集. 考向❶求单调区间 【例1】　(2025·全国二卷)(13分)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π), f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)= f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 考点二 三角函数的单调性及应用………………规范答题 [思考] ❶求φ应注意什么? ❷如何求三角函数的值域? ❸如何求三角函数的单调区间? 【书写表达】————规范答题 步步为赢 得满分 (1)(第一给分点:4分) 因为f(0)=cos φ=,　[2分] 且0≤φ<π,　[3分] 所以φ=.　[4分] (2)(第二给分点:9分) 由(1)可知: f(x)=cos,　[5分] 则g(x)=cos+cos　[6分] =cos+cos 2x =cos 2xcos-sin 2xsin+cos 2x =cos 2x-sin 2x　[7分] = =cos.　[8分] 因为余弦函数y=cos θ的值域是[-1,1]❷, 令θ=2x+, 那么函数y=cos θ的值域就是[-,], 所以g(x)的值域为[-,].　[9分] 令-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z), 得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),　[10分] 所以g(x)的单调递增区间为 (k∈Z);　[11分] 令2kπ≤2x+≤π+2kπ(k∈Z), 得-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z),　[12分] 所以g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)❸.　[13分] 【教考衔接】————溯源教材 融合贯通 稳得分 (1)解决三角函数的应用问题的关键是发挥三角函数图象的力量,充分利用正弦型函数和余弦型函数与正弦函数和余弦函数的对应关系解题. (2)本题在解决过程中将余弦型函数中各个参数的意义与条件相结合,从而求得表达式.第一问直接由题意得cos φ=(0≤φ<π),结合余弦函数的单调性即可得解;第二问由三角恒等变换得g(x)=cos,由此可得值域,进一步由整体代入法可得函数g(x)的单调区间. (3)本题源于人教A版必修第一册第255页复习参考题5第21题. 考向❷比较大小 【例2】　(2026·石家庄模拟)(多选题)下列不等式成立的是(　　) A.sin<sin 　　B.sin<sin C.cos 400°>cos(-50°) 　　D.sin 3<sin 2 解析 三角函数值比较大小要把三角函数化为同名函数,而且自变量值化为同一单调区间内的值,有时也可以采用插值法,比如插入0,等特殊值. 考向❸求参数的取值范围 【例3】　函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π)的图象关于x=对称,且f(x)在上单调递增,则φ=(　　) A. B. C. D. 解析 根据三角函数的单调性求参数的方法 1.子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解. 2.反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解. 3.周期性:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ (1)函数f(x)=2cos的单调递减区间为(　　) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析 (2)设a=-ln sin 1,b=cos 1,c=,则(　　) A.a<c<b B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b 解析 (3)(2026·太原模拟)已知函数f(x)=在上单调递减,则正数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析 【例4】　(1)(2026·岳阳模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在区间上的值域是_______________. 考点三 三角函数的值域(最值) 　 解析 (2)函数y=tan2x-2tan x的值域为_____________. 令u=tan x,因为|x|≤,所以由正切函数的单调性可知u∈[-,],所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],因为二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为u=1,所以当u=1时,ymin=-1,当u=-时, ymax=3+2,所以原函数的值域为[-1,3+2]. 解析 [-1,3+2]　 求三角函数的值域(最值)的方法 1.形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值). 2.形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 【训练】　(1)已知函数g(x)=cos x+cos 2x的定义域为[0,2π],则g(x)的最小值为______,最大值为______. - 　 解析 (2)已知函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x+,则f(x)在区间上的值域为_______. 解析 [-2,1] 令x+=0,则x=-,故“五点法”作函数y=2sin在一个周期上的简图时,第一个点为. 由已知可得2x≠+kπ且x-x2>0,解得x≠+π且0<x<1,所以函数y=∪.故选C. 由正弦函数的最小正周期公式得函数f(x)的最小正周期T==2,解得ω=π. 因为0≤x≤,所以≤x+,所以cos≤cos≤cos.所以-≤ y≤,即值域为. 函数y=tan=-tan,令x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z,所以函数y的定义域是.故选D. (2)函数f(x)=定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 由题意,函数f(x)=有意义,则满足2cos x-1≥0,即cos x≥.解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域x∈(k∈Z).故选C. 要使函数有意义,则必有2sin x+1>0,即sin x>-,结合正弦函数的图象及x∈可知,0≤x<,所以函数y=lg(2sin x+1)的定义域为. 由题可知,2cos2x+sin x-1≥0,即2sin2x-sin x-1≤0,解得-≤sin x≤1,由正弦函数的性质可得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为. 因为-<-<-<0,且函数y=sin x在上单调递增,所以sin<sin,故A错误;因为<<<,且函数y=sin x在区间上单调递减,所以sin>sin,故B错误;因为cos 400°=cos 40°, cos(-50°)=cos 50°,且当0°≤x≤90°时,函数y=cos x单调递减,所以cos 40°> cos 50°,即cos 400°>cos(-50°),故C正确;因为<2<3<,且函数y=sin x在区间上单调递减,所以sin 3<sin 2,故D正确.故选CD. 由于f(x)的图象关于x=对称,所以f=sin=±1,+φ=kπ+, φ=kπ-,k∈Z,因为0≤φ<2π,所以φ=或φ=.若φ=,则2x+∈,所以f(x)=sin上单调递减,不合题意;若φ=,则2x+∈,所以f(x)=sin上单调递增,符合题意.故 选C. 令2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,所以f(x)= 2cos,k∈Z.故选B. 因为y=sin x在上单调递增,所以=sin<sin 1,又y=ln x在定义域上单调递增,所以ln sin 1>ln⇒a<ln =<,而y=cos x在上单调递减,所以b=cos 1>cos=,所以a<c<b.故选A. 原函数为f(x)=,相当于把y=2sin位于x轴下方的图象翻折到上方,则有π-⇒0<ω≤1,⇒ (k∈Z),当k=0时,≤ω≤.故选D. 依题意,g(x)=f=sin=sin,当x∈时,2x+∈,-≤sin≤1,所以g(x)在区间. g(x)=cos x+cos 2x=cos x+(2cos2x-1)=cos x+cos2x-,令t=cos x,因为x∈[0,2π],所以t∈[-1,1],构造函数y=t2+t-,t∈[-1,1],抛物线开口向上,对称轴为t=-=-,函数y在对称轴t=-处取得最小值,ymin=+-=-,当t=-1时,y=(-1)2+(-1)-=-;当t=1时,y=12+1-=.所以,当t=1时,y 取得最大值 .综上,g(x)的最小值为-,最大值为. f(x)=2sin xcos x-2cos2x+=sin 2x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x= 2sin.因为x∈,所以2x-∈.则当2x-=-时,即x= -时,f(x)取得最小值f(x)min=-2;当2x-=时,即x=时,f(x)取得最大值f(x)max= 1.所以f(x)在区间上的值域为[-2,1]. $