1.3 第1课时矩形的性质教学设计与同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦矩形的性质这一核心知识点，通过展示生活中矩形图片引入课题，回顾矩形定义及与平行四边形的从属关系，以平行四边形性质为学习支架，为探究矩形特殊性质奠定基础。 此资料以探究式教学为特色，通过教具操作引导学生观察猜想矩形角和对角线性质，经小组讨论证明性质培养推理意识，结合直角三角形中线性质推导渗透转化思想，例题变式联系坐标系等实际情境提升应用意识，助力学生构建几何知识体系，也为教师提供清晰教学流程与分层训练素材。

同步练习1.3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 夯实基础 1.如图，将矩形 放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位： 分别为1和7，则的 长为() D A C 6 8 A B. C. D 2.如图，长方形 中，点是边上一点，连接，过点作 交于点，若 ,则 的度数是() 0 FC B A. B. C. D 3.如图，在△ 中， ，点是的中点，则 长为一· A B D 4.如图，在长方形 中， ,则点的坐标为一· 第1页（共10页） 5.如图，在四边形 中， ,点是对角线 的中点，若 ,则 的长 为 D B 6.如图，在矩形 中，点是的中点，连接，，求证： D E 小 能力提升 7.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、 解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中， 的度数为(‘) G 图1 A. B C. D 8.如图，点是矩形 的对角线 上一点，过点作 ,分别交，于，，连 接 ，若 9 ,则图中阴影部分的面积为() E 第2页（共10页） A.10 B.12 C.16 D.8 9.如图，将矩形纸片 沿对角线 对折，使得点落在点处，交于点，若平分 ,则 长是一· A 10.如图，矩形 的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若 9 则 的长为一· A D F 0 B 11.如图，已知矩形 ，点是边 的中点，过点作直线交于点不与点，重合)， 交 的延长线于点. (1)求证：△ △ (2)连接 ，，若 时，求证： E 0 B 12.如图，矩形 中，对角线 的中点为，过作直线交于，交于· (1)求证： (2)如图：为上一点，连接、，若 .求证： 第3页（共10页） D 0 思维拓展 13.如图，墙面 与地面垂直，一块矩形木板 的顶点，分别在和 上滑动（点 ，均可与重合)，连接 (图中各点均在同一平面内)，若 ，则在木板滑动的 过程中，线段 长度的取值范围是一· MID A B N 第4页（共10页） 答案详解 1.解：根据矩形的对角线相等可知 由题意，顶点对应刻度 ,顶点对应刻度， 故选： 2.解：在长方形 中，点是边上一点， 交于点， 在△ 中， 在△ 中， 故选：。 3.解： ,且 是直角三角形，且 点是的中点， 故答案为： 4.解：在长方形 中， 轴， 轴， 点的坐标为 第5页（共10页） 故答案为： 5.解： ,点是对角线 的中点， ,则 的长为3， 故答案为：3. 6.证明：在矩形 中， 点为 的中点， 在△ 和△ 中， △ △ 7.解：如图： A E D G 5 F 2 B H 四边形 是矩形， 四边形 是平行四边形， 第6页（共10页） 故选：. 8.解：如图，过点作 ,交于点，交于点， A D E B W 则四边形 、四边形 、四边形 、四边形 为矩形， 故选： 9.解：四边形 为矩形， 由折叠可知， 平分 第7页（共10页） 若平分 ,则 故答案为： 10.解：四边形 是矩形， 点，分别为 的中点， 是△ 的中位线， 故答案为：16. 11.证明：（1)四边形 为矩形， 点是边的中点， 在△和△中， △ △ (2)△ △ 第8页（共10页） 12.证明：(1)对角线 的中点为， 四边形 是矩形， 在△ 和△ 中， △ (2)连接， A 0 B C 四边形 为矩形， 由(1)知，△ △ 第9页（共10页） △为等腰三角形， 13.解：取的中点，连接， MID A 卫 B N ，即 存在最大值为9， 当在上时，存在最小值，此时 线段 长度的取值范围是 故答案为： 第10页（共10页） 3　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 【课堂引入】 利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些常见的平面图形，从而引出矩形，进而探索矩形的性质． 【教学目标】 课题 第1课时　矩形的性质 授课人 素养目标 1.通过推理得到矩形的性质． 2．发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．会用矩形的性质进行有关证明和计算． 4．在探索矩形的性质的过程中，经历观察、思考、合作、探究等数学活动，逐步会用化归、建模、归纳等数学思想思考现实世界. 教学重点 掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 教学难点 矩形性质的灵活运用 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 　　教师提问：我们已经学过矩形的定义，谁能来说一说？矩形作为特殊的平行四边形，它和平行四边形的关系是什么？ 学生口答后，教师引导回顾： 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形． 关系：矩形是特殊的平行四边形，所以它一定具备平行四边形的所有性质. 通过回顾矩形的定义，明确“矩形是特殊平行四边形”的逻辑关系，为后续探究矩形独有的特殊性质做好知识与思维铺垫，同时避免重复定义教学. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 互动探究： 提出探究问题：既然矩形是特殊的平行四边形，那它除了具备平行四边形的性质，还拥有哪些独有的特殊性质呢？ 操作观察：出示活动平行四边形教具，定格在矩形形态，引导学生观察、猜想：矩形的四个角有什么特点？矩形的两条对角线长度有什么关系？ 明确本课任务：本节课我们将通过观察、测量和推理，验证并证明矩形在角、对角线上的特殊性质. 通过观察与操作，激发学生探究欲望，为后续性质的猜想与证明搭建思维桥梁. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．矩形的性质定理 师：请同学们画出一个矩形，结合图形思考：矩形是特殊的平行四边形，除去平行四边形的性质，它还有哪些特殊性质？大家画图观察思考。 （学生画图思考，汇报结论） 师：我们从边、角、对角线三个方面整理。刚才同学们说到的对边平行相等、对角相等、对角线互相平分，都是平行四边形就具备的性质。（出示矩形图）那矩形特殊在哪里？请大家观察，提出你的猜想。 生：矩形四个角都是直角，对角线相等。 师：这两个猜想是否正确？我们先来验证猜想：矩形的四个角都是直角。 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠C＝90°. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D，AB∥CD.∠B＋∠C＝180°. ∴∠B＝180°－∠C＝90°. ∴∠D＝∠B＝90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 活动2：实践探究、交流新知 师：得到角的特殊性质之后，我们再来研究对角线。刚才大家猜想矩形的对角线相等，这个猜想又该如何证明呢？请大家看自己画的矩形，标出顶点 A、B、C、D，两条对角线 AC、BD，小组内互相交流，想一想证明思路。 （学生小组讨论，尝试寻找全等三角形进行证明，教师巡视点拨） 师：哪个小组来分享你们的证明思路？ 生：可以证明△ABC≌△DCB，利用矩形四个角都是直角，AB=DC，BC 为公共边，通过 SAS 证全等，就可以得到 AC=BD。 师：思路很清晰！利用三角形全等完成推理。由此我们得到矩形第二条特殊性质：矩形的对角线相等。 已知：如图，四边形ABCD是矩形． 求证：AC＝BD. 证明：在矩形ABCD中， ∵∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS)．∴AC＝BD. 师生共同分析并由课件展示证明过程． 教师：我们证明了这两个性质，那么我们就可以在解决问题的过程中使用了，如果使用这两个定理的话，同学们会用数学符号表示吗？ 学生口答，同时教师板书． (1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD. 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 教师：下面请同学们结合矩形的性质来填空．(课件展示) 练一练：如图，在矩形ABCD中， ①AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC； ②∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°； ③AC＝BD＝2OA＝2OB＝2OC＝2OD． 学生口答填空． 教师：请同学们看下图并思考：在Rt△ABC中，O是AC的中点，则斜边AC上的中线是________，它与斜边的关系是OB＝________AC. 学生：斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB＝AC. 教师：我们用语言文字叙述一下就是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 教师：这个结论是不是对于任意直角三角形都正确呢？ 学生：是，因为任意一个直角三角形都可以看作是矩形的一半． 教师：同学们说得非常好，这就是我们解决问题的思路，将直角三角形转化到矩形中进行证明． 教师：通过上面的练习大家想一下：OA，OB，OC，OD之间有什么关系？ 学生：它们都相等． 教师：那么图中有没有特殊的三角形呢？ 学生：有等腰三角形，它们分别为△OAB，△OBC，△OCD，△OAD. 1.通过证明验证猜想的结论，让学生更深刻地理解并掌握相关的性质，同时感受数学的严谨性与规范性，培养学生良好的数学思考能力，让学生感受矩形与平行四边形的关系，最后归纳验证矩形的性质，培养了学生观察、猜想、归纳、验证的数学思维． 2．通过对矩形对角线的探索，引导学生发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的结论．让学生感受学习数学不仅仅是简单做题，而应该是不断地优化知识结构，完善知识体系． 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第12页例1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠DAB＝90°. ∴OA＝OD. ∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°. 又∵∠DAB＝90°， ∴BD＝2AB＝5. 例2　如图，在△中，点在边上，且，点是的中点，，求证：． 证明：， ， △是直角三角形， 又， ， ， ， ． 【变式训练】 如图，四边形是矩形，，．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，则点的坐标是（　D　） A． B． C． D． 2．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：，则的长度为　2　 ． 如图，在矩形中，，，过对角线的中点，作直线分别交，于，两点，连接，． （1）求证：△△； （2）当时，求的长． 证明：四边形是矩形， ， ，， 点是对角线的中点， ， 在△和△中，， △△． （2）解：由（1）知，△△， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ，， 设，则， 在△中，， 即，解得， 即． 在思考的同时可以引导学生进一步加深对矩形性质的理解. 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(B) A．对边相互平行 B．对角线相等 C．对角线相互平分 D．对角相等 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E为AB，AC的中点，则下列结论中错误的是(D) A．CD＝AD B．∠B＝∠BCD C．∠AED＝90° D．AC＝2DE 3如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 证明：， ， ， ， 在△和△中， △△． （2）解：，△△， ， 矩形 ，， 根据勾股定理，， ． 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到检查学生学有所成、了解学生课堂学习效果的目的. 课堂小结 1.课堂小结： (1)矩形有哪些性质？ (2)学习完本节课，你还有哪些感到困惑的地方？ 2．布置作业： 教材第15页习题1.3第1，2，3题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 教学反思 　　本节课依托学生已掌握的平行四边形知识与矩形定义开展教学，整体教学流程清晰、逻辑严谨。教学中，以平行四边形性质为铺垫，通过图形变化自然引入矩形，引导学生从角、对角线角度自主探究矩形的特殊性质，帮助学生明确矩形与平行四边形的从属关系，构建起基础的几何知识体系，顺利达成了本节课的核心教学目标。 结合课堂实际授课情况，本节课仍存在诸多不足。其一，课堂探究节奏偏快，在矩形性质的猜想与证明环节，留给学生独立思考、小组合作探究的时间有限，学生未能完整经历知识探究过程，对性质推导的逻辑理解不够扎实，不利于几何思维的循序渐进培养。其二，学生课堂参与度不均衡，课堂互动多集中于优等生，学困生参与课堂探究和发言的机会较少，未能兼顾全体学生的学习状态。 其次，课堂练习设计缺乏层次感，题型较为单一，以基础习题为主，缺少综合性、拓展性习题，无法适配不同层次学生的学习需求，分层教学落实不到位。同时，我对学生几何推理表达的规范指导不足，部分学生虽能理解矩形性质，但在书面证明、几何语言表述上存在步骤残缺、逻辑混乱、格式不规范等问题。 针对以上问题，后续教学我将针对性优化改进。首先，合理放缓课堂探究节奏，科学分配教学时间，预留充足的探究、交流时间，让学生深度参与知识生成过程，吃透性质推导原理，杜绝机械记忆。其次，落实分层教学，设计分层提问与分层任务，主动关注学困生，调动全体学生的课堂积极性。最后，优化习题梯度设计，兼顾基础巩固与能力提升，同时强化几何推理的规范训练，培养学生严谨的几何思维，切实提升课堂教学实效。 反思，更进一步提升. 【拓展阅读】 为什么窗户大多是矩形 观察我们身边各式各样的建筑，无论是民居楼房，还是学校教室，绝大多数窗户都设计成矩形。有人会说：“这只是建筑的习惯。” 再问：“为什么从古至今，建筑大多优先选用矩形窗，而很少大量使用圆形、菱形窗户？” 我们可以从结构、采光、实用等角度进行分析。 首先，窗户要嵌入墙体之中，墙体本身是由砖石、砖块砌成，砖块都是矩形。矩形的窗洞和墙体砌块可以很好地配合，施工时开凿、砌造窗框都更加方便，墙体受力均匀，不容易出现开裂，建筑结构更加稳固。圆形或者不规则形状的窗洞，会打断砖块的排布，施工难度会明显增大。 其次，窗户最重要的作用是采光通风。矩形窗户可以很好的利用墙面空间，横向加宽可以获得更宽的采光面，竖向加高可以增加进光高度。矩形窗框分割玻璃也十分方便，玻璃原本就是平板裁切而成，裁成矩形损耗最少。弧形、异形玻璃加工成本高，在普通建筑中很难大规模普及。 再者，矩形窗户便于日常使用。矩形窗开关、安装窗扇、纱窗、窗帘都很适配。窗帘、窗纱都是矩形织物，适配矩形窗口，制作简单。同时矩形窗户视野规整，上下左右边界清晰，人向外观望时视觉感受自然，符合人的观察习惯。 当然建筑上也会有圆窗、拱形窗作为艺术装饰，但这类窗户多用于特殊造型。兼顾建筑结构、施工成本与日常使用，矩形就成为窗户最普遍的形态。 学科网（北京）股份有限公司 $