专题 1.4 正方形的性质与判定 基础知识专项突破讲与练 - 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理正方形四角直角、四边相等、对角线等且垂直平分的性质，以及从矩形、菱形出发的判定定理，构建从性质理解到判定应用的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，夯实基础部分涵盖性质理解、求值证明、折叠面积等题型，巩固提升融入动点、旋转问题，结合期末真题变式，培养几何直观与推理能力。同步检测全面覆盖选择、填空、解答题，助力课中教学实施与课后查漏补缺。

专题 1.4 正方形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正方形的性质 1 【知识点二】正方形的判定 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】正方形性质与判定的理解 3 【题型 2】利用正方形性质求值证明 4 【题型 3】正方形性质与折叠、面积问题 8 【题型 4】正方形的证明 13 【题型 5】利用正方形的性质与判定求值 17 【题型 6】利用正方形的性质与判定求值证明 21 三.题型精析（巩固提升） 26 【题型 7】正方形的性质与判定与动点问题 26 【题型 8】正方形的性质与旋转、平移问题 34 三.同步检测 42 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 42 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 50 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 55 一.知识梳理解读 【知识点一】正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 定理 图示 几何语言 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 在正方形中， 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 在正方形中， 且 【要点提示】（1）正方形中，对角线分得的四个全等小等腰三角形；（2）同时分得四个大的全等等腰直角三角形。 【知识点二】正方形的判定 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 定理 图示 几何语言 有一组邻边相等的矩形是正方形 在矩形中， ， 矩形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形 在矩形中， ， 矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形 在菱形中， ， 菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形 在菱形中， ， 菱形是正方形. 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】正方形性质与判定的理解 【例题1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】A 解：正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 【变式1】（25-26八年级下·湖南湘西·期末）下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故A错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故B错误； 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故C错误； 菱形的四条边已经相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的判定条件，因此有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确． 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 【变式3】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是正方形 C．若，则平行四边形是矩形 D．若，则平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断选项即可． 解：A、在平行四边形中，若，即有一个内角为直角，此时平行四边形是矩形，∴A错误； B、在平行四边形中，若，即对角线互相垂直，此时平行四边形是菱形，∴B错误； C、在平行四边形中，若，即对角线相等，此时平行四边形是矩形，∴C正确； D、在平行四边形中，若，即邻边相等，此时平行四边形是菱形，∴D错误． 【题型 2】利用正方形性质求值证明 【例题2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证； （2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案． 解：（1）略； （2）解：， ， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，， 又， ， 即， 故四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形， ． ， 故四边形的周长为． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 解：正方形中，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 （1）如图1，若，求的度数； 【规律探究】 （2）若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【答案】（1）；（2）是定值，推理过程如下： ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，得到，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）首先由正方形得到，，求出，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 解：（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）略 【题型 3】正方形性质与折叠、面积问题 【例题3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． （1）求证：； （2）求，的长． 【答案】（1）见分析；（2）， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 解：（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 【变式1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2023·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    （1）求证：． （2）【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】（1）见分析；（2）； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 解：（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 【题型 4】正方形的证明 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：正方形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 【分析】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 解：A．（1）处若填，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形是矩形，故A选项添加正确，不符合题意； B．（2）处若填，因为矩形的对边本身就相等，该条件无法判定矩形是正方形，应填等邻边相等的条件，故B选项添加错误，符合题意； C．（3）处若填，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知四边形是菱形，故C选项添加正确，不符合题意； D．（4）处若填，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知四边形是正方形，故D选项添加正确，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 【答案】正方形 【分析】利用正八边形的性质证明，即可得到结论． 解：∵正八边形， ∴，， ∴，， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接和． （1）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当是_____三角形时，四边形是正方形． 【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ，   ，  E是的中点，  ， 在和中，  ， ， ， 在中，是边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形，  是边上的中线，， ， 四边形是菱形． （2）以为斜边的等腰直角 【分析】（1）证明和全等，得到，推出，证明四边形是平行四边形， 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求解； （2）由（1）得，当时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质，结合正方形的判定定理，即可求解． 解：（1）略 （2）解：当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形， 理由：当是以为斜边的等腰直角三角形时，，， 由（1）得，四边形是菱形，  ，， ， 四边形是正方形，  当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形． 【题型 5】利用正方形的性质与判定求值 【例题5】（24-25八年级下·江西抚州·阶段检测）如图，，平分，以C为顶点作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）作，易得四边形为矩形，证明，即可得证； （2）根据正方形的性质，结合全等三角形的性质，推出，勾股定理求出的长，即可． 解：（1）解：作，垂足分别为，则：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：四边形为矩形，，， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，在等腰中，，，点为中点，，，则四边形的周长为（）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得四边形为矩形，连接，得出是等腰直角三角形，则，，四边形为正方形，进而即可求解． 解：如图所示，连接，   为等腰三角形， ， 点为中点， ， 是等腰直角三角形， ，，， ，，四边形是矩形， ， 又， 四边形为正方形， 正方形的周长为 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质与判定是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 解：（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 【题型 6】利用正方形的性质与判定求值证明 【例题6】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，，进一步证明，同理可证明，由此即可证明结论． 解：证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理可证明， ∴四边形是正方形． 【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论： ①∠COD＝45°； ②AE＝5； ③CF＝AD； ④△COF的面积是3． 其中正确的结论为（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③根据SAS证明△AOD≌△COF，进而利用全等三角形的性质即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 解：在正方形ABCO和正方形DEFO中 ①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确； ②∵EF＝， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝3， ∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确； ③由题意得：∵∠AOC＝∠DOF， ∴∠AOD＝∠COF， ∵AO＝CO，DO＝FO， ∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴CF＝AD，故③正确； ④△COF的面积S△COF＝S△AOD×3×1＝，故④错误； ∴其中正确的结论为①②③， 故选：C． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键． 【变式2】（2024·福建·三模）如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识．由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，利用证，可得，进而说明四边形是正方形；利用等角的余角相等证明；求得，不能比较与的大小关系，则；设，，则，求得，，说明②不正确． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，④说法正确； ∵，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵，不能比较与的大小关系， ∴，③说法不正确； ∵，四边形是正方形， ∴， 设，，则， ∴ ∴，， ∵，②说法不正确； 综上，一定正确的结论是①④； 故答案为：①④． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【分析】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 7】正方形的性质与判定与动点问题 【例题7】（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． （1）求证：； （2）如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． ． ， ． ． 即． （2）证明：如图2，延长，交于点，             四边形是正方形， ． 是的中点， ．     在和中， ． ． ， ． ， ．     是直角三角形． ． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明，得到，证明，即可证明； （2）如图，延长交于点H，证明，得到，则，由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． （1）略． （2）略． 【变式1】（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，已知边长为8的正方形，点是正方形内的一动点，若的面积等于正方形面积的，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，过点作的平行线，分别交于点，连接，易得四边形为矩形，可知，结合的面积等于正方形面积的，可解得，进而可得垂直平分，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后求解即可． 解：如下图，过点作于点，过点作的平行线，分别交于点，连接， ∵四边形为正方形，且边长为8， ∴， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积等于正方形面积的， ∴，即， 解得， ∴，即为中点， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 此时， ∴的最小值为． 【变式2】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，点A，点B分别为y轴，x轴正半轴上的动点，以为边在右侧作菱形，点的坐标为，，，，点． （1）如图1，当． ①若，求n的值； ②若，求直线的解析式． （2）如图2，若． ①求点的坐标（结果用含m，n的代数式表示）； ②直线的解析式为：__________； （3）如图2，若，则的最小值=__________． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①利用正方形的性质，结合一线三垂直模型可得出结果； ②同理利用一线三垂直模型求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出结果； （2）①利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出点C的坐标； ②在①的基础上利用待定系数法即可求出结果； （3）利用菱形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理得出，通过不等式的性质结合题意求出m的取值范围，从而将m的最小值代入的面积公式即可求出结果． 解：（1）解：①如图，过点D作轴交点H， ∵，， ∴，即， 又∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，解得：； ②如图，过点C作交于点K， 由①知，， ∴，， ∴， 同理可证得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，E分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：①如图，过点D作轴交y轴于点G，过点C作轴交x轴于点P，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； ②设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （3）解：如图，过点D作轴交y轴于点Q，过点C作轴交x轴于点M， 由（2）①易证得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴． 【题型 8】正方形的性质与旋转、平移问题 【例题8】（专题09期末解答题压轴题（1大题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（上海专用））常见的辅助线的添设方法最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等．在这里，向大家介绍一种方法，请仔细阅读材料，回答问题： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 请用“旋转”法解决下面两题： （1）如图1，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数； （2）如图2，为等腰斜边的中点，，、分别交、于点、． ①当绕点转动时，求证； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①见分析；②． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）延长使得，易证可得，进而求证可得，再求出即可解题； （2）①连接，根据等腰直角三角形的性质得到平分，，，，则，，由得，根据等角的余角相等得到，根据全等三角形的判定易得，即可得到结论； ②由，则，于是四边形的面积，由而可得，根据三角形的面积公式易求得，从而得到四边形的面积． 解：（1）解：延长使得，连接，如图1， 在和中， ， ∴， ，， 又，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：①证明：连接，如图2， 为等腰斜边的中点， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ， 四边形的面积， 而， ， 四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 解：∵，，根据题意点P也是绕正方形右下角的顶点按顺时针方向依次旋转， 过点P和点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一次旋转后， 同理第二次旋转后， 第三次旋转后， 第四次旋转后， 第五次旋转后， 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 【变式3】（23-24八年级下·山西晋城·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动问题情境. 如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 （1）如图1，的度数是____________； （2）如图1，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【答案】（1）；（2）四边形是正方形，理由见分析；（3）四边形是矩形，理由见分析 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题： （1）由旋转得，得，从而可得结论． （2）先证明四边形是矩形，再证明，可得结论． （3）先证明四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论． 解：（1）解：由旋转得，， ∴， ∵ ∴ 即 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形，理由如下： 如图1中， ∵， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． （3）解：结论：四边形是矩形． 理由：如图2中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．内角为 D．对角线互相垂直 【答案】A 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一分析各选项是否为四个图形共有的性质，即可得出答案． 解：A．对角线互相平分是平行四边形的基本性质，矩形，菱形，正方形作为特殊平行四边形，都保留该性质，符合题意； B．对角线相等，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意； C．内角为，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意； D．对角线互相垂直，平行四边形和矩形不具有该性质，不符合题意． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 5．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（25-26八年级下·广西玉林·期中）学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 7．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 解：如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 8．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，与交于点，根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为 ． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）正方形的边长为，对角线与交于点，为线段上一点连接并延长交于点，过作交于点．记，，则下列代数式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形的性质先证明得到，即可得出，最后利用正方形的性质求出即可． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴，即， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴的值保持不变． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图1，在正方形中，E是的中点，P是正方形内部一点（含正方形边上），且，连接并延长交边于点F，连接．设的长为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则a的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据y关于x的函数图象可知当时，点与点重合，此时点与点也重合，设正方形的边长为，则，根据勾股定理求出，则，即可求出正方形的边长为4，当时，．连接，由得出垂直平分．最后由全等三角形的判定和性质即可得出．即． 解：当时，点与点重合，此时点与点也重合，设正方形的边长为，则， 则 解得， ∴正方形的边长为4． ∴． 当时，． ∵， ∴． 连接．如解图1， ∵， ∴垂直平分． ∴， ∴， 又∵， ∴， 又有，， ∴ ∴．即． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 【答案】7 【分析】根据题意得出，在中，根据勾股定理即可求解． 解：∵正方形的面积为， ∴，， 在中，． 12．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】根据题意可知绳子长度为正方形的周长， 先由周长求出正方形的边长，再根据正方形面积公式得到与的函数解析式，结合实际意义确定自变量的取值范围． 解：由题意可得，正方形的周长为， 根据正方形周长公式，正方形的边长为， 根据正方形面积公式，得 ， 因为表示绳子长度， 所以， y与x的函数解析式为：． 13．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中由勾股定理建立方程求解即可． 解：连接，由已知，且， ， ， ， ，是的中点， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得，即． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定，解答即可； 解：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以添加条件，，答案不唯一； 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及中心对称性得出，从而求出正方形的边长及的长，过点作的垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算的长． 解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点为对称中心 点与点关于点对称， 在和中 四边形是正方形 ，， 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 ． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出，利用等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴ 在中，． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． （1）求的长度； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】考查了旋转的性质，正方形的性质， （1）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （2）根据旋转可得，然后求出，判断出． 解：（1）解：四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到， ，， ； （2）解：、的位置关系为：．理由如下： 延长交于一点H 按顺时针方向旋转后得到， ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形是判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合正方形的性质得，证明，即可作答． （2）结合，得出，根据，即，则，得证平分． 解：（1）解：∵四边形，都是正方形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点分别作，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则， 即点A在的平分线上， ∴平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． （1）猜想四边形的形状，并证明； （2）若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，可证得四边形是平行四边形，即可； （2）证明，可得，可证得四边形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，从而得到，即可． 解：（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解： ， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接，若，求出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 过点E作于点M，于点N，则， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， 即， ， ∴， 即， ， ，，， ， ， ， ， ∴． （2） 【分析】（1）先由正方形的性质有，，即可证明，得到．过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，即可得出结论； （2）连接，先证明矩形是正方形，进而可得，从而，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ， ， ， ，， ． ∵在正方形中，，， ， ， ∴在中，． ∵在正方形中，，， ∴， ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，，，点N、M分别在边、上，，过点A作，且点E在的延长线上．     （1）证明：； （2）求证线段之间的数量关系； （3）若四边形的边长是4，求的周长． 【答案】（1）证明见分析；（2）,证明见分析；（3）周长为8 【分析】（1）借助已知等角、正方形等边长、直角条件，用证明； （2）由第一组全等得边、角相等，结合推导出，再用证，通过线段代换得到； （3）将周长拆分为，代入第二问线段关系，整体化简后转化为正方形两条边长之和求值． 解：（1）解：在和中， ， （2）证明： ， ． 在和中， ， ． ， ，又， ； （3）解：由（2）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； 即周长为8． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）直线与轴交于点，与轴交于点，直线交轴于点，交轴于点，两条直线交于点． （1）如图1，求直线的解析式，点、、的坐标； （2）如图1，点是直线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，连接，点是直线上一点，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，，，；（2）点F的坐标为或；（3）点P的坐标为或 【分析】（1）设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式为，再根据一次函数与坐标轴的交点及联立两直线求交点即可； （2）设点，得出，分两种情况分析：当点F在点E的下方时，当点F在点E的上方时，结合图形及三角形面积之间的关系求解即可； （3）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在的延长线上时，当点P在线段上时，作出相应辅助线， 利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等进行求解即可 解：（1）解：设直线的解析式为， 代入得： ， 解得：，, 直线的解析式为， 对于直线， 交x轴于C：令，解得， ∴； 交y轴于D：令，解得， ∴， 联立两个直线解析式：， 解得：， ∴； （2）设点， ∵，， ∴， ∴， ∴当点F在点E的下方时， ， 即， 解得：， ∴， ∴； 当点F在点E的上方时，如图点的位置， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上：点F的坐标为或； （3）∵，， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，如图所示，过点B作，过点H作轴，轴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， 当时，， ∴， ∵， 同理得：直线的函数解析式为：， 联立两个函数： ， 解得：， ∴； 当时，， ∴， ∵， 同理得：直线的函数解析式为：此时交点P不在延长线上，不符合题意； 当点P在线段上时，如图所示，过点B作，过点H作轴，轴， 同理得：，，四边形为正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， 当时，， ∴（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， ∵， 同理得：直线的函数解析式为：， 联立， 解得： ∴； 综上可得：点P的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 正方形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正方形的性质 1 【知识点二】正方形的判定 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】正方形性质与判定的理解 3 【题型 2】利用正方形性质求值证明 3 【题型 3】正方形性质与折叠、面积问题 4 【题型 4】正方形的证明 6 【题型 5】利用正方形的性质与判定求值 7 【题型 6】利用正方形的性质与判定求值证明 8 三.题型精析（巩固提升） 9 【题型 7】正方形的性质与判定与动点问题 9 【题型 8】正方形的性质与旋转、平移问题 10 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理解读 【知识点一】正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 定理 图示 几何语言 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 在正方形中， 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 在正方形中， 且 【要点提示】（1）正方形中，对角线分得的四个全等小等腰三角形；（2）同时分得四个大的全等等腰直角三角形。 【知识点二】正方形的判定 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 定理 图示 几何语言 有一组邻边相等的矩形是正方形 在矩形中， ， 矩形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形 在矩形中， ， 矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形 在菱形中， ， 菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形 在菱形中， ， 菱形是正方形. 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】正方形性质与判定的理解 【例题1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【变式1】（25-26八年级下·湖南湘西·期末）下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【变式3】（25-26八年级下·湖北黄石·期末）关于平行四边形的叙述，正确的是（     ） A．若，则平行四边形是菱形 B．若，则平行四边形是正方形 C．若，则平行四边形是矩形 D．若，则平行四边形是正方形 【题型 2】利用正方形性质求值证明 【例题2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，直接写出四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 （1）如图1，若，求的度数； 【规律探究】 （2）若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【题型 3】正方形性质与折叠、面积问题 【例题3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． （1）求证：； （2）求，的长． 【变式1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【变式3】（2023·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    （1）求证：． （2）【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【题型 4】正方形的证明 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接和． （1）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当是_____三角形时，四边形是正方形． 【题型 5】利用正方形的性质与判定求值 【例题5】（24-25八年级下·江西抚州·阶段检测）如图，，平分，以C为顶点作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，在等腰中，，，点为中点，，，则四边形的周长为（）    A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是______． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【题型 6】利用正方形的性质与判定求值证明 【例题6】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形． 【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论： ①∠COD＝45°； ②AE＝5； ③CF＝AD； ④△COF的面积是3． 其中正确的结论为（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【变式2】（2024·福建·三模）如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 7】正方形的性质与判定与动点问题 【例题7】（25-26八年级下·广东湛江·期末）如图1，在正方形中，点E和F分别是边和上的动点（点E与点A，B不重合，点F与点A，D不重合），且，连接，，相交于点G． （1）求证：； （2）如图2，当点E，F运动到，的中点时，连接，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，已知边长为8的正方形，点是正方形内的一动点，若的面积等于正方形面积的，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，点A，点B分别为y轴，x轴正半轴上的动点，以为边在右侧作菱形，点的坐标为，，，，点． （1）如图1，当． ①若，求n的值； ②若，求直线的解析式． （2）如图2，若． ①求点的坐标（结果用含m，n的代数式表示）； ②直线的解析式为：__________； （3）如图2，若，则的最小值=__________． 【题型 8】正方形的性质与旋转、平移问题 【例题8】（专题09期末解答题压轴题（1大题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（上海专用））常见的辅助线的添设方法最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等．在这里，向大家介绍一种方法，请仔细阅读材料，回答问题： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 请用“旋转”法解决下面两题： （1）如图1，在正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数； （2）如图2，为等腰斜边的中点，，、分别交、于点、． ①当绕点转动时，求证； ②若，求四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为______． 【变式3】（23-24八年级下·山西晋城·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动问题情境. 如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 （1）如图1，的度数是____________； （2）如图1，判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．内角为 D．对角线互相垂直 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广西玉林·期中）学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 7．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 8．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）正方形的边长为，对角线与交于点，为线段上一点连接并延长交于点，过作交于点．记，，则下列代数式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图1，在正方形中，E是的中点，P是正方形内部一点（含正方形边上），且，连接并延长交边于点F，连接．设的长为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则a的值为（     ） A． B． C．2 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 12．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 13．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 14．（23-24八年级下·北京·期中）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______． 15．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 17．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，，且，则的度数为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． （1）求的长度； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证： （1）； （2）平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． （1）猜想四边形的形状，并证明； （2）若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接，若，求出的长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，，，点N、M分别在边、上，，过点A作，且点E在的延长线上．     （1）证明：； （2）求证线段之间的数量关系； （3）若四边形的边长是4，求的周长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）直线与轴交于点，与轴交于点，直线交轴于点，交轴于点，两条直线交于点． （1）如图1，求直线的解析式，点、、的坐标； （2）如图1，点是直线上一点，且，求点的坐标； （3）如图2，连接，点是直线上一点，且满足，直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $