4.3 对数 题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，系统梳理对数的定义、性质（负数和0无对数、1的对数为0、底数的对数为1）、常用与自然对数、对数恒等式、指数与对数的关系，以及运算性质（积、商、幂的对数）和换底公式及其推论，构建从指数到对数的完整知识支架。 该资料知识梳理逻辑严谨，题型训练分层递进，详解过程规范。通过指数式与对数式互化题型培养抽象能力（数学眼光），运算性质应用训练发展推理能力（数学思维），换底公式题型提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

4.3对数 ● 知识梳理 一、对数的相关定义 般地，如果a=Na>0,且a≠1，那么x叫做以a为底N的对数，记作 定义 x=logaN,其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数. 负数和0没有对数，即N>0 性质 1的对数等于0，即1oga1=0 底数的对数等于1，即log。a=1 常用 以10为底的对数叫做常用对数，简记为：lgN 对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828，简记作lnN 特别提醒：log。a*=xa>0,且a≠1) 1.对数恒等式 a=N →ag.w=Na>0,且a≠1，N>0 logaN=x 2.指数与对数的关系 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当a>0,且a≠1时，a=Nx=log。N. 用图表示为： 指数对数 幂真数 a=N←→log。N=x 底数 二、对数的运算性质与换底公式 对数的运算法则 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 log MN)=log M+l0g N 正因数积的对数等于同一底数的各因数 对数的和 商的对数 M-log.M-log.N loga N 两个正数的商的对数等于同一底数的被 除数的对数减去除数的对数 幂的对数 loga M"=nlogaM 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的 幂的底数的对数 三、对数的换底公式及其推论 1换底公式：设Q>0,且a≠1，c>0,且c≠1，b>0则16g。b=1o3.a log b 2.换底公式的推论： ①log.b.log6a=1(a>0,且a≠1，b>0,且b≠1)片 ②logab~log6c~logd=log.d〔a>0,且a≠1，b>0,且b≠1，c>0,且c≠1，d>0): ③1gb'01og.b〔a>0,且a1,b>0,m,n∈N1 ●题型训练 题型一指数式与对数式互化 1.求下列各式中x的值： (1)l0g1x=-3 (2)10gx49=4 (3)lg0.00001=x (4)InYe=-x (5)若10°=5，b=lg2,则a+b=? 题型二利用对数恒等式化简求值 1.3+1ga5-1253 2.1ogn9+logo27+3品 4 3.计算10g2625 1-+lne+2lo823+lg100 题型三积、商、幂的对数 1.求下列各式的值： (1)log.2+log (2)1og318-log32 (3)lgV1000-lg25-lg4 (④)914-2g3+g7-g18 2已知x0,y0,为2+g8-g2.则时号的最小值是〈) A.2 B.22 C.16D.4V2 3已知xye0,+m.且log,X+lg,y-2,则的最小值是() A.4B.3C.2D.1 题型四混合运算 1.10g3V27+lg25+lg4+71og2+(-9.8)0 2.求值或化简： (1)0.252+ 8+2le3-(2-39 (2)(lg2)2+lg2·lg5-lg20 (3)93子+号g8+g5o20+g2 (4)1og327+lg25+lg4+71-og2 题型五完全平方 1.计算： (1)lg22+g52+lg4lg5 (2)(gV22-lg2+1 题型六换底公式 1.log35log46log57·log68·log79 og38 2.1og6432-l0g225 1og9 1 答案 ●题型训练 题型一指数式与对数式互化 1.求下列各式中x的值： (1)l081x=-3 ·答案：x=27 。详解：根据对数定义l1og。b=ca=b,此处a=3,c=-3, *份'3-27. (2)1ogx49=4 ·答案：x=V7 ·详解：由对数定义得x=49,因x>0且x≠1，故x=49=7=7克=/7。 (3)lg0.00001=x ·答案：x=-5 ·详解：lg是以10为底的对数，0.00001=105，故x=1og1o105=-5。 (4)InVe=-x 。答案：X=-月 。详解：n是以e为底的对数，e=c点，放ne号-X,解得X=号 2 (5)若10°=5，b=lg2,则a+b=? ·答案：a+b=1 ·详解：由10°=5得a=lg5,又b=lg2, 根据对数加法法则a+b=lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1 题型二利用对数恒等式化简求值 1.3+1oga5-1253 ·答案：10 。详解：拆分指数得31+1g5-1253=3×3og5-5=3×5-5=10 2.l0g939+l0g 27+ 11og46 答案 。详解：分别计算各项：10g9=log,32=2log332=2×2=4, 1og27=log3-号g,3-=3×3=2 4 故4++16-3 2 3.计算o8625+ha+2+od ·答案：3 。详解：逐项化简：1bg56251gs252=2,枚第一项为2；he=2；23-3: 1+1+3-2=3。 90=g10=-2,总和为号 题型三积、商、幂的对数 1.求下列各式的值： 。1 (1)log2+log ·答案：0 ·详解：由对数加法法则loga M+loga N=loga(MN), 得1o8,2+log.-lo82×2}=lg,1-0 (2)l1og318-log32 ·答案：2 M 。详解：由对数减法法则log.M-log,N=log.N, 得1log9-1og,9=lbg,3-2. (4)1gV1000-lg25-lg4 1 。答案：一2 3 。详解：93100-山102-多%25+g4=g25x4)-g10=2,故原式为 昌2克 2。 （④g14-2497+g7-g1s ·答案：0 ·详解： 化简得：与14-6+1g7-g18=g14=|写×7=18-1g1=0, 2已知x0,y0,g2+的8r=2,则号的最小值是《) A.2 B.2V2 C.16 D.4V2 ·答案：C ·详解：由对数法则得lg2×8'=lg2, 即2*×8'=2→2*×23y=2→2*+3y=2→=1。 根据基本不等式的“乘1法”得： k*3*引=15+2+92g+10-6+10=16 Vy x 则最小值为16，故答案选C)。 3.已知x,y∈(0，+o,且log2x+log2y=2,则+的最小值是() x V A.4B.3C.2D.1 ·答案：D 。详解：由对数法则得log2y)=2→y=2=4。 格基木个等式得：2于2吗2阳1 当且仅当x=y=2时取等号，故最小值为1，选D。 题型四混合运算 1.log3/27+lg25+lg4+71g2+(-9.8° ·答案昌 3 。详解：遂项化简：1og,32-号，g(25×4)-lg100=2,72=2, (-9.8°=1，总和为 3+2+2+1=13 ) 1.求值或化简： / (1)0.252+ 27 3+241og23-(2-9/30 。答案： 195 2 .详解025--16，多智是2-2==8,2-7=1 ,总和为16+3+81-1=195 2 2 (2)(lg2+lg2·lg5-lg20 。答案：-1 详解：提取公因式 lg2·g2+lg5-lg20=lg2lg10-lg20=lg2-lg20=lg2÷20=g101=-1 (3)lg52+3g8+lg5·g20+(1g22 ·答案：3 ·详解：化简得 lg52+lg83+lg5·lg2×10+(lg22 =lg25×4+lg5.lg2+lg10+(lg22 =lg100+lg5·lg2+lg5·lg10+(lg2)2 =2+lg2·lg5+lg2+lg5 =2+lg2+lg5 =2+1=3 (4)1og3V27+lg25+lg4+71-1g2 ·答案号 ·详解，0g,33 1g25+lg4=lg100=2, 71-1g2=71÷71g2=7 总和为号2+子=7 3 题型五完全平方 1.计算： (1)lg2+lg5+lg4·lg5 ·答案：1 。详解：lg2+lg5+lg4·lg5 =1g 2+1g 5+1g2-1g5 =1g2+1g52+21g21g5 =(1g2+21g21g5+(1g5P =(lg2+lg5)月 =1 (2)(lgV22-lg2+1 ·答案：1-lgV2 ·详解：(lgV22-lg2+1 =lg22-lgV22+1 =(lgV22-2lgV2+12 =lgV2-17 =1-lg/2 题型六换底公式 1.log35·log46·log57·log68log29 ·答案：3 ·详解：由换底公式lDg。b=gb Iga' 1g5 1g 6 1g7 1g 8 1g9_1g5 1g6 1g7 31g2 21g3 原式化为g31g4g5g61g71g321g21g51g61g7=3 ,11o8g 2lgw32lg5lo ·答案：-10 ·详解：由换底公式logb=gb lga' 原式化为932.925.g8.g91 1g64 1g2 1g3 1g5 -192.l952.g23.lg32-5g2.-2g5.-3g2.-2lg3-10 1g25 1g2 1g3 1g5 61g2 1g2 1g3 1g5