第6讲 对数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数函数核心知识点，系统梳理概念定义及判断要点，详细阐述图象与性质（定义域、值域、定点、单调性），通过典例分析定义域值域、单调性应用等类型问题，构建从基础到应用的知识支架。 资料设计亮点突出，含思维导图梳理脉络，典例结合高考真题与阶段练习。通过图象绘制培养几何直观（数学眼光），复合函数单调性分析提升逻辑推理（数学思维），分层检测练习强化应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

XueDaEducationTechnology (Bei 高一年级数学2025年秋学期课程第6讲 对数函数 2025年 月 日 1、 知思维导图 2、 知识点梳理 1.对数函数概念：定义：一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 注意：判断所给函数是否为对数函数，即从所给函数的“系数、底数及真数”三处着眼，逐一分析是否同y＝logax(a>0，a≠1)相融合，若相同，则是对数函数；否则，不是对数函数． 2.对数函数图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0) 当0＜＜1时， ＜0；当＞1时， ＞0 当0＜＜1时， ＞0；当＞1时， ＜0； 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数 3、 典例分析 类型一　对数函数的定义域、值域 【例1】求下列函数的定义域： (1)f(x)＝logx－1(x＋2)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝． 【变1】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的定义域为 ． 【例2】求下列函数的值域： （1）f(x)＝log2(3x＋1)； （2）f(x)＝log2(－x2－4x＋12) 【变1】已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值域. 类型二　对数函数单调性的应用 【例3】（2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4】（25-26高三上·北京·阶段练习）若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是 . 类型三　对数函数的图象 【例5】画出下面函数的图象． （1）y＝lg|x－1| （2）y＝|lg(x－1)| 【变1】若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________． 【变2】函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 类型四　对数型复合函数的单调性问题 【例6】求下列函数的单调区间． （1）y＝ln （2） 【变式】（11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ． 【例7】已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围． 【变式】若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,3) C．(1,3] D．[3，＋∞) 类型五　对数型复合函数的奇偶性问题 【例8】判断函数f(x)＝ln 的奇偶性． 【变1】判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性． 【变2】已知f(x)＝log(x2－ax－a)． (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； (2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围． 类型七　对数函数性质的综合应用 【例9】（25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 四、自我检测 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数f(x)＝那么f 的值为(　　) A．27 B． C．－27 D．－ 3．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 4．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________． 5．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0<f(1－2x)－f(x)<1的解集为________________． 6．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)． (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围． 五、课后练习 1．给出下列函数：①；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx．其中是对数函数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　) A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1<x<1} D． 3．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的(　　) 4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(2)的值为(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 5．函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为( ) A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16] 6．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________． 7．函数f(x)＝lg (4x－2x＋1＋11)的最小值是________． 8．已知函数f(x)＝若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． 9．已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的单调递增函数，且f(x)的最大值为1，则满足f(log2 x)<1的解集为________． 10．函数在上是增函数，求实数的取值范围． 11．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围． 12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $XueDaEducationTechnology (Bei 高一年级数学2025年秋学期课程第6讲 对数函数 2025年 月 日 1、 知思维导图 2、 知识点梳理 1.对数函数概念：定义：一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 注意：判断所给函数是否为对数函数，即从所给函数的“系数、底数及真数”三处着眼，逐一分析是否同y＝logax(a>0，a≠1)相融合，若相同，则是对数函数；否则，不是对数函数． 2.对数函数图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0) 当0＜＜1时， ＜0；当＞1时， ＞0 当0＜＜1时， ＞0；当＞1时， ＜0； 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数 3、 典例分析 类型一　对数函数的定义域、值域 【例1】求下列函数的定义域： (1)f(x)＝logx－1(x＋2)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝． 【变1】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】先根据已知函数的解析式得的定义域，进而可得的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得或. 所以函数的定义域为. 所以要使函数有意义，则或，即或. 故函数的定义域为. 故答案为： 【例2】求下列函数的值域： （1）f(x)＝log2(3x＋1)； （2）f(x)＝log2(－x2－4x＋12) 【答案】（1）　(0，＋∞) 解析　f(x)的定义域为R.∵3x>0，∴3x＋1>1. ∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0.即f(x)的值域为(0，＋∞)． 点评：　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围． 【变1】已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值域. 解　要使函数式有意义，需解得定义域为(－3,1)． f(x)＝log2[(1－x)(x＋3)]＝log2[－(x＋1)2＋4]． ∵x∈(－3,1)，∴－(x＋1)2＋4∈(0,4]．∴log2[－(x＋1)2＋4]∈(－∞，2]． 即f(x)的值域为(－∞，2]． 类型二　对数函数单调性的应用 【例3】（2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得结论. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以，即. 综上可得：. 故选：D 【变式】（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对数函数、幂函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由， 由， 由，所以. 故选：C 【例4】（25-26高三上·北京·阶段练习）若函数的值域是，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】先求出当时，，则根据条件得到当时，恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当时，， 要使得函数的值域为，只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】分别讨论当，时，根据指数函数和对数函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】当时，， 令，则 因为，要使得此时函数没有零点， 则或，解得或； 当时，， 令，则， 因为，所以， 所以要使得此时函数没有零点，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 类型三　对数函数的图象 【例5】画出下面函数的图象． （1）y＝lg|x－1| （2）y＝|lg(x－1)| 【变1】若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________． 【答案】(2，1) 【变2】函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 【答案】(2，1) 类型四　对数型复合函数的单调性问题 【例6】求下列函数的单调区间． （1）y＝ln （2） 【答案】（1）　y＝ln 的定义域为(1，＋∞)，在区间(1，＋∞)上，y＝为减函数， ∴y＝ln 也为减函数．∴y＝ln 的减区间为(1，＋∞)，没有增区间． （2）　令1－|x|>0，即|x|<1. 解得的定义域为(－1,1)．＝ 在区间(－1,0]上，y＝1＋x为增函数， 故为减函数．同理在区间(0,1)上为增函数， ∴的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]． 点评：　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域． (2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”． 【变式】（11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性结合同增异减可求原函数的单调递增区间． 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【例7】已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围． 解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1， ∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数， ∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立， 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]． 点评：　若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域． 【变式】若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,3) C．(1,3] D．[3，＋∞) 答案　B 解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1<a<3.故选B. 类型五　对数型复合函数的奇偶性问题 【例8】判断函数f(x)＝ln 的奇偶性． 解　由>0可得－2<x<2， 所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称． 方法一　f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)， 即f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)＝ln 是奇函数． 方法二　f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln ＝ln＝ln 1＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)＝ln 是奇函数． 引申探究 若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？ 解　由>0得－b<x<a. ∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b. 当a＝b时，f(x)＝ln. f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝ln＝ln 1＝0， ∴有f(－x)＝－f(x)， ∴此时f(x)为奇函数． 故f(x)为奇函数时，a＝b. 点评：　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． 【变1】判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性． 解　方法一　由－x>0可得x∈R， 所以函数的定义域为R且关于原点对称， 又f(－x)＝lg(＋x)＝lg ＝－lg(－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)． 所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数． 方法二　由－x>0可得x∈R， f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)＝lg[(－x)(＋x)]＝lg(1＋x2－x2)＝0. 所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数． 【变2】已知f(x)＝log(x2－ax－a)．(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围． 类型七　对数函数性质的综合应用 【例9】（25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式. 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. 【变1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 点评：　对数不等式解法要点 (1)化为同底logaf(x)＞logag(x)． (2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0. 四、自我检测 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，即，解得， 因此，函数的定义域为，故选：D 2．已知函数f(x)＝那么f 的值为(　　) A．27 B． C．－27 D．－ 【答案】B 3．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 【答案】D 4．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________． 5．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0<f(1－2x)－f(x)<1的解集为________________． 6．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围． 五、课后练习 1．给出下列函数：①；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx．其中是对数函数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　) A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1<x<1} D． 【答案】C 3．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的(　　) 【答案】B 4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(2)的值为(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 【答案】B 5．函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为( ) A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16] 【答案】D 6．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________． 7．函数f(x)＝lg (4x－2x＋1＋11)的最小值是________． 【答案】1 8．已知函数f(x)＝若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． (2，3] 9．已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的单调递增函数，且f(x)的最大值为1，则满足f(log2 x)<1的解集为________． 10．函数在上是增函数，求实数的取值范围． 11．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围． 12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $