30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计围绕直线与圆的位置关系及切线相关知识展开，涵盖相离相切相交的定义与数量关系、切线的判定性质及切线长定理。通过“大漠孤烟直”图片直观引入位置关系，结合复习回顾切线定义，搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 资料突出学生主体地位，通过动手画圆移动笔、几何画板演示等活动培养几何直观，引导学生类比点与圆关系推理数量关系发展推理意识，例题中“有交点连半径证垂直”等技巧归纳强化模型意识。助力学生提升探究能力与逻辑思维，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

教学内容 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学目标 1.会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量表示及其运用。 2. 通过感受“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应着直线和圆的位置关系”从中体会位置关系与数量关系的转化，渗透转化的数学思想。 3、能运用直线与圆的位置关系解决实际问题，在解决问题过程中体会数学建模思想。 扫码看课 教学流程 （突出学生主体地位） 教师活动 学生活动 一、情境引入 借助多媒体展示“大漠孤烟直，长河落日圆”的图片从而展现直线与圆的三种位置关系.引入课题——直线与圆的位置关系. 2、 探索新知 活动一： 请在纸上画出一个圆，用一根笔代表一条直线，移动笔，观察在移动的过程中直线和圆会产生哪些位置关系. 探究提纲： 1.概括直线与圆的有哪几种位置关系，请画图表示； 2.你是怎样区分这几种位置关系的？ 3.如何用语言描述三种位置关系？ 分析总结： 1.直线与圆没有交点，称为直线与圆相离. 2.直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点. 3.直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交。此时这条直线叫做圆的割线.  活动二： 回顾点与圆的位置关系，你能不能探索圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系. 几何画板演示改变直线相较于圆的位置，同时显示圆的半径长度r、圆心和直线的距离d. 1.如何得到圆心到直线的距离？ 2.通过观察你发现了什么? 3.请你类比点和圆的位置关系，通过圆心与直线的距离来刻画圆与直线的位置关系. 4.反之是否成立？请举例说明. 分析总结：d＞r直线与圆相离 d=r 直线与圆相切 d＜r直线与圆相交 3、 例题分析：课本149页例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90o， AC=5,BC=12,以AB的中点D为圆心，以r为半径作圆D,若r=2.5，分别判断AC、BC与圆D的位置关系. 四、课堂练习： 1.填空： ⑴已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____; 直线a与⊙O的公共点个数是____. ⑵已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _;直线a与⊙O的公共点个数是____. ⑶已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _; 直线a与⊙O的公共点个数是____。 2.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。 五、课堂小结 请完成下列表格： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 0 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 切点 无 直线名称 切线 无 六、课后作业 课本P150练习. 学生观察图片从中初步感知直线与圆的位置关系. 学生通过实践操作积累活动经验，并从中感受直线和圆的位置关系；通过问题引导学生观察几种位置关系的特点，从而抓住直线和圆的交点情况来刻画直线和圆的位置关系. 观察动图及数据的变化，类比点与圆的位置关系刻画直线与圆的位置关系，培养学生的几何直观. 举例说明逆命题同样成立，考查学生对知识的灵活应用，培养学生的逻辑思维. 通过完善表格，回顾判断直线和圆位置关系的两种方法，进一步感知数形结合思想，培养学生的几何直观. 板书设计 教后反馈及优化设计 教学内容 30.1.2 圆的切线（第1课时） 教学目标 教学目标： 1.掌握切线的判定和性质定理，会用切线的判定和性质解决简单的证明问题； 2.经历切线判定和性质定理的探究过程，培养学生的观察能力和归纳概括能力；在解决问题的过程中培养学生严谨的思维习惯； 3.学生在积极参与，勇于探索的过程中，体验成功的乐趣，激发学习兴趣，并养成良好的思维习惯和书写习惯. 扫码看课 教学流程 （突出学生主体地位） 教师活动 学生活动 1、 复习回顾 1、 直线和圆有几种位置关系？如何判断？ 2、 直线与圆相切时产生了切线，如何判定一条直线是圆的切线？ (利用切线的定义判断显然不方便，本节课就来尝试研究切线的判定和性质） 2、 探索新知 活动一：如图，圆O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ （反证法或说明半径r=d） 总结切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言：∵l与圆O相切于点P ∴OP⊥l 活动二： 思考：如图，点P为圆O上一点，若直线l为圆O上过P点的切线，则l应该满足哪些条件？ 总结： ①和圆只有一个公共点P.l过P点. ②O到直线l的距离为半径OP的长.l⊥OP 实践：试着过P点作圆O的切线l. 归纳：通过刚才的思考与实践，说明满足什么条件的直线是圆的切线？ 判定定理：经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线.(其中“半径外端”和“垂直”缺一不可) 符号语言： ∵P在圆上，PC⊥OP ∴PC与圆O相切（PC为圆O的切线） 练习：判断下列三幅图中的l是不是圆过P点的切线. 活动三： 结合下列三幅图总结切线的判定和性质. 1 ② ③ 图 ① ② ③ 切线的性质 切线和圆只有一个公共点. 圆心到切线的距离等于圆的半径. 切线垂直于过切点的半径. 切线的判定 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 3、 应用新知 例1：课本151页例2：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与圆O相切于点D,求证：AC是圆O的切线.(引导学生分析问题，展示方法） 例2：如图，EC平分∠AEB，O为EC上一点，作OD⊥EA与D点，以O为圆心OD为半径作圆.求证：EB为圆O的切线. (引导学生分析问题，展示方法） 分析两问题的区别，总结归纳辅助线的方法： 有交点，连半径，证垂直； 无交点，做垂直，证半径. 例3：如图，△ABC中，AB=AC,O为BC边中点，圆O于AB边相切于点D.求证：AC为圆O的切线. (引导学生分析问题，展示方法） 方法提炼：有切点，做半径，得垂直. 课堂练习：课本P152页练习 4、 课堂小结 切线的判定和性质是什么？作辅助线有什么技巧? 5、 课堂作业：课本P155第3、4题. 学生复习回顾直线与圆相切的三种情况和两种表述，从而得到切线的两种判定方法.并感受两种方法的不便性，为本节课的学习做铺垫. 通过思考和实践，深刻感知切线判定定理中的两个条件缺一不 可结合图像回顾切线的判定和性质，梳理本节知识，培养学生的抽象能力和几何直观. 学生通过典例练习，应用新知、总结技巧、提炼方法 板书设计 教后反馈及优化设计 教学内容 30.1.2 圆的切线（第2课时） 教学目标 1.理解切线长的定义，掌握切线长定理内容，会用定理进行简单计算与证明。 2. 经理猜想、证明、归纳切线长定理的过程，体会全等三角形、直角三角形在圆中的运用。 3.感受几何图形的对称美，养成严谨的几何推理习惯。 扫码看课 教学流程 （突出学生主体地位） 教师活动 学生活动 一、复习回顾 1.提问：切线的判定定理、性质定理是什么？ 2.思考：过圆外一点，可以作出几条圆的切线？ 3.展示尺规作图思路：OA⊥PA，∠OAP=90o. （方法见课本152页） 二、探索新知 1.切线长概念： 圆外一点到切点的线段的长叫作这点到圆的切线长。 2. 猜想并证明切线长定理 ①设问：PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B，PA与PB，∠APO与∠BPO有什么数量关系？ ②引导连接:OA、OB，利用切线垂直半径得到直角 ③指导学生用HL证全等。 于是得到切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言： ∵PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B， ∴PA=PB,PO平分∠APB 3． 例题分析 例1：课本153页例3如图，PA、PB是圆O的切线，A、B是切点，连接AB，若∠APB=30o，OP=2,求△PAB的周长。 分步引导： ①判断△PAB的形状； ②在Rt△POA中求切线长； ③计算等边三角形的周长。 例2：如图，AB、BC、CD分别与圆O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO=6，CO=8，求BC的长。 4、 巩固练习：课本154页练习 5、 课时小结 引导学生自主梳理本节课知识点：切线长定义、切线长定理，几何语言的规范书写。 六、课堂作业：课本155页第5题。 回忆切线性质，思考直角存在的条件；观察图形，猜想过圆外一点有两条切线。 认读切线长概念，观察图形对称性，说出对称轴为直线OP. 小组合作猜想；独立写出全等条件，口述证明过程，齐读并识记切线长定理。 在老师的引导下，规范写出完整的解答过程。 独立完成简单练习，自主梳理课堂知识框架。 板书设计 教后反馈及优化设计 学科网（北京）股份有限公司 $