5.1 任意角和弧度制 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“任意角和弧度制”为核心，通过分类梳理（正角、负角、零角）、表格对比（象限角集合、角度弧度对应表、弧长面积公式）及图示辅助（区域角、几何法分象限）构建知识体系，清晰呈现终边相同角、区间角等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计与方法创新，如用几何法将坐标系象限等分判断倍角象限，培养几何直观与推理能力，通过扇形面积公式应用题型强化数学语言表达。基础题巩固概念，综合题提升思维，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

5.1 任意角和弧度制 l 知识梳理 一、角的概念的推广 1. 角按其旋转方向可分为:正角，零角，负角. ① 正角:习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ② 负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③ 零角:当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. 例如，画出下列各角: ， ， . 2. 在直角坐标系中讨论角: ① 角的顶点在原点，始边在 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ② 若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角. 二、终边相同的角的集合 设 表示任意角,所有与 终边相同的角,包括 本身构成一个集合,这个集合可记为 . 集合 的每一个元素都与 的终边相同,当 时,对应元素为 . 例如,如图, 角、 角和 角都是以射线 为终边的角,它们是终边相同的角. 特别提醒: (1) 为任意角，“ ” 这一条件不能漏； (2) 与 中间用 “ + ” 连接， 可理解成 ； (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等. 终边相同的角有无数个,它们相差 的整数倍. 终边不同则表示的角一定不同. 三、区间角、区域角 1. 区间角、区域角的定义 介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如 . 终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角, 显然区域角包括无数个区间角. 2. 区域角的写法 (1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上 “ ” ，右端末注明 “ 即可. (2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角,在此区间角的两端分别加上 “ ” ,右端末注明 “ 即可. 例如, 求终边落在图中阴影内 (包括边界) 的角的集合, 可先求落在第一象限内的区间角 ，故终边落在图中阴影内(包括边界)的角的集合为 3. 各象限角的集合 象限角象限角的集合表示 象限角 象限角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 四、倍角和分角问题 已知角 的终边所在的象限，求 的终边所在象限. 1. 代数法 (1)由 的范围求出 的范围. (2)通过分类讨论把 写成 的形式，然后判断 的终边所在的象限. 2. 几何法 ( 1 )画出区域:将坐标系每个象限 等分，得 个区域 . (2)标号:自 轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上1、2、3、4，如图所示 (此时 ). (3)确定区域:找出与角 的终边所在象限标号一致的区域，即为所求. 题型训练 题型一 任意角的概念 1. 下列四个命题中，正确的是（    ） · A．第一象限的角必是锐角 B．锐角必是第一象限的角 · C．终边相同的角必相等 D．第二象限的角必大于第一象限的角 · 1. 给出下列命题： · ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； · ③锐角一定是第一象限的角； ④小于 90° 的角一定是锐角； · ⑤终边相同的角一定相等． · 其中正确命题的个数是（    ） · A．1 B．2 C．3 D．4 1. 设集合，，则？ 题型二 终边相同的角的集合 1. 下列各个角中与 2020° 终边相同的是（    ） · A．-150° B．680° C．220° D．320° · 1. 写出终边在图中直线上的角的集合。 1. 写出终边落在图中阴影部分 (包括边界) 的角的集合 1. 与 2021° 终边相同的最小正角是． 1. 写出角的终边在阴影中的角的集合 题型三 象限角的定义 1. 在 148°，475°，-960°，-1601°这四个角中，属于第二象限角的个数是（    ） · A．1 B．2 C．3 D．4 1. 若是第四象限角，则一定是第几象限角？ 题型四 角所在象限的研究 1. 已知 α 为第二象限角，则所在的象限是（    ） · A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 · C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 · 1. 已知 θ 为第二象限角，那么是（    ） · A．第一或第二象限角 B．第一或四象限角 · C．第二或四象限角 D．第一、二或第四象限角 1. 若是第二象限角，则是第几象限角？ 弧度制 l 知识梳理 一、弧度制和弧度制与角度制的换算 1. 角度制 角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的 ，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 ①1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角. ②弧度制 定义:以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法: 用符号rad表示, 读作弧度. 特别提醒: (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可,如角 可写成 . 而用度为单位表示角的大小时, “度”或 “。” 不可以省略. (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值. 二、角度与弧度的换算 1. 弧度与角度的换算公式 (1)关键:抓住互化公式 rad=180°是关键； (2)方法:度数 弧度数；弧度数 度数 2. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 135° 150° 180° 0 【注意】 ①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用； ② 弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如 ，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示， 即不用 表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数. 三、弧长公式、扇形面积公式 如图,设扇形的半径为 ,弧长为 ,圆心角为 . 1. 弧长公式: . 注意: 在应用弧长公式 时,要注意 的单位是 “弧度”,而不是 “度”,如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算. 2. 扇形面积公式: . 3. 弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 注意事项 是扇形的半径， 是圆心角的角度数 是扇形的半径， 是圆心角的弧度数 l 题型训练 题型一 弧度制与角度制互化 1. 与 - 660° 角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示） 1. 2000° 对应的弧度数为 1. 把 化为弧度的结果是 1. 如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角 1. 若 θ=-3rad，则 θ 的终边落在（    ） · A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 · 题型二 扇形的弧长、面积、与圆心角问题 1. 半径为 1cm，中心角为 150° 的角所对的弧长为（    ） · A．cm B．cm C．cm D．5πcm 1. 已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为 （    ） · A．2 B．4 C．6 D．8 1. 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2，则扇形的面积为？ 1. 一个扇形的弧长与面积都是 5，则这个扇形圆心角的弧度数为（    ） · A．2rad B．rad C．1rad D．rad 1. 设扇形的弧长为 4π，半径为 6，则该扇形的面积为？ 1. 已知扇形的周长为 12cm，面积为 8cm²，则扇形圆心角的弧度数为？ 答案 题型训练 题型一 任意角的概念 1. 下列四个命题中，正确的是（    ） · A．第一象限的角必是锐角 B．锐角必是第一象限的角 · C．终边相同的角必相等 D．第二象限的角必大于第一象限的角 · 答案：B · 详解：锐角是大于 0° 且小于 90° 的角，终边一定在第一象限，故 B 正确；第一象限角可能是 360°+30°=390°，不是锐角，A 错误； · 终边相同的角相差 360° 的整数倍，不一定相等，C 错误； · 120° 是第二象限角，390° 是第一象限角，120°<390°，D 错误。 · 2. 给出下列命题： · ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； · ③锐角一定是第一象限的角； ④小于 90° 的角一定是锐角； · ⑤终边相同的角一定相等． · 其中正确命题的个数是（    ） · A．1 B．2 C．3 D．4 · 答案：A · 详解：③正确，锐角是 0°<α<90°，终边在第一象限； · ①错误，如 120°（第二象限）<390°（第一象限）； · ②错误，三角形内角可能是 90°，终边在坐标轴上，不属于任何象限； · ④错误，小于 90° 的角可能是负角，如 - 30° 不是锐角； · ⑤错误，终边相同的角相差 360° 整数倍，不一定相等，故正确命题个数为 1，选 A。 3. 设集合，，则？ · 答案： · 详解：令，得，满足； · ，得，满足条件； · ，得，满足条件； · ，得，不满足； · ，得，不满足条件，故交集为。 · 题型二 终边相同的角的集合 1. 下列各个角中与 2020° 终边相同的是（    ） · A．-150° B．680° C．220° D．320° · 答案：C · 详解：终边相同的角相差 360° 的整数倍，2020° 除以 360° 得商 5，余数 220°，即 2020°=5×360°+220°，故与 220° 终边相同，选 C。 · 2. 写出终边在图中直线上的角的集合。 · 答案：终边在上的角的集合为；终边在上的角的集合为 · 详解：对应的角为或，终边相同的角相差（直线绕原点旋转 180° 重合），故集合为； · 对应的角为或，终边相同的角相差，故集合为 · 。 3. 写出终边落在图中阴影部分 (包括边界) 的角的集合 · 详解：阴影部分是从 30°到 135°的区域，终边相同的角相差 360°，故集合为。 · 4. 与 2021° 终边相同的最小正角是． · 答案：221° · 详解：2021° 除以 360°，商为 5，余数为 2021°-5×360°=2021°-1800°=221°，故最小正角为 221°。 · 5. 写出角的终边在阴影中的角的集合 · 详解：图1：集合为 图2：写法1： 写法2： 图3：写法1： 写法2： 图4：集合为 题型三 象限角的定义 1. 在 148°，475°，-960°，-1601°这五个角中，属于第二象限角的个数是（    ） · A．1 B．2 C．3 D．4 · 答案：C · 详解：148° 是第二象限角；475°=360°+115°，115° 是第二象限角；-960°=-3×360°+120°，120° 是第二象限角；-1601°=-5×360°+199°，199° 是第三象限角；故第二象限角有 3 个，选 C。 · 2. 若是第四象限角，则一定是第几象限角？ · 答案：第二象限角 · 详解：第四象限角满足（），则（）， · ，对应第二象限角。 题型四 角所在象限的研究 1. 已知 α 为第二象限角，则所在的象限是（    ） · A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 · 答案：C · 详解：方法① · 第二象限角满足（）， · 两边除以 2 得。 · k 为偶数时，在第一象限；k 为奇数时，在第三象限，故选 C。 方法②画图：分母为2，把每个象限分成2份，逆时针标上1、2、3、4循环，因为 α 原本是第二象限角，所以找出标“2”的在第几象限 故所在的象限是第一或第三象限 2. 已知 θ 为第二象限角，那么是（    ） · A．第一或第二象限角 B．第一或四象限角 · C．第二或四象限角 D．第一、二或第四象限角 · 答案：D · 详解：第二象限角满足（）， · 除以 3 得。 · k=0 时，（第一象限）；k=1 时，（第二象限）；k=2 时，（第四象限），故选 D。 · 方法②画图：分母为3，把每个象限分成3份，逆时针标上1、2、3、4循环，因为 原本是第二象限角，所以找出标“2”的在第几象限 故所在的象限是第一、二或第四象限角 3. 若是第二象限角，则是第几象限角？ · 答案：第三或第四象限角，或终边在 y 轴负半轴上 · 详解：第二象限角满足（），乘以 2 得。 · 当时，在第三象限； · 当时，在第四象限； · 当时，终边在 y 轴负半轴上。 弧度制 l 知识梳理 一、弧度制和弧度制与角度制的换算 1. 角度制 角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的 ，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 ①1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角. ②弧度制 定义:以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法: 用符号rad表示, 读作弧度. 特别提醒: (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可,如角 可写成 . 而用度为单位表示角的大小时, “度”或 “。” 不可以省略. (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值. 二、角度与弧度的换算 1. 弧度与角度的换算公式 (1)关键:抓住互化公式 rad=180°是关键； (2)方法:度数 弧度数；弧度数 度数 2. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 135° 150° 180° 0 【注意】 ①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用； ② 弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如 ，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示， 即不用 表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数. 三、弧长公式、扇形面积公式 如图,设扇形的半径为 ,弧长为 ,圆心角为 . 1. 弧长公式: . 注意: 在应用弧长公式 时,要注意 的单位是 “弧度”,而不是 “度”,如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算. 2. 扇形面积公式: . 3. 弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 注意事项 是扇形的半径， 是圆心角的角度数 是扇形的半径， 是圆心角的弧度数 l 题型训练 题型一 弧度制与角度制互化 1. 与 - 660° 角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示） · 答案： · 详解：-660°+2×360°=60°，60° ，故最小正角为。 · 2. 2000° 对应的弧度数为 · 答案： · 详解： 2000°。 · 3. 把 化为弧度的结果是 · 答案： · 详解：=，弧度为。 · 4. 如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角 · 答案：图 1： ； · 图 2： 5. 若 θ=-3rad，则 θ 的终边落在（    ） · A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 · 答案：C · 详解：-3≈-171.9°，终边落在第三象限，选 C。 题型二 扇形的弧长、面积、与圆心角问题 1. 半径为 1cm，中心角为 150° 的角所对的弧长为（    ） · A．cm B．cm C．cm D．5πcm · 答案：B · 详解：150°，弧长公式，故 · 2. 已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为 （    ） · A．2 B．4 C．6 D．8 · 答案：C · 详解：扇形面积公式，代入2，得，。 · 弧长，周长，选 C。 · 3. 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2，则扇形的面积为？ · 答案：4cm² · 详解：设半径为 r，弧长，周长，， · 即，。面积=4cm²。 · 4. 一个扇形的弧长与面积都是 5，则这个扇形圆心角的弧度数为（    ） · A．2rad B．rad C．1rad D．rad · 答案：B · 详解：设半径为 r，弧长，面积。由，得。 · 圆心角，选 B。 5. 设扇形的弧长为 4π，半径为 6，则该扇形的面积为？ · 答案： · 详解：扇形面积公式，代入，， · 得。 · 6. 已知扇形的周长为 12cm，面积为 8cm²，则扇形圆心角的弧度数为？ · 答案：1rad 或 4rad · 详解：设半径为 r，弧长，面积， · 即，，解得或。 · 当时，，圆心角； · 当时，，圆心角， · 故弧度数为 1rad 或 4rad。 学科网（北京）股份有限公司 $