5.1任意角和弧度制 同步练- 2026暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合拓展”分层设计，覆盖任意角、弧度制等核心知识点，通过选择、填空、解答题梯度递进，强化数学抽象与运算能力，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|角的分类、象限角判定、角度弧度互化|单选题（1-8）、多选题（9-10）聚焦概念辨析，如锐角与第一象限角关系| |技能应用|终边相同角表示、弧长公式|填空题（11-12）训练基本运算，如已知圆心角求弧长| |综合拓展|扇形面积最值、终边位置集合表示|解答题（13-14）综合多知识点，如结合周长条件求扇形面积最大值，培养推理与模型意识|

5.1 任意角和弧度制 知识点梳理 一、任意角的概念 1. 角的定义与推广 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。旋转开始位置的射线称为始边，终止位置的射线称为终边，端点称为顶点。 将角的概念推广后，角的大小不再局限于0°~360°范围，可以形成任意大小的角。 2. 角的分类 按旋转方向不同，角分为三类： 类型 定义 图示说明 正角 按逆时针方向旋转形成的角 旋转方向为逆时针 负角 按顺时针方向旋转形成的角 旋转方向为顺时针 零角 射线没有做任何旋转形成的角 终边与始边重合 注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，零角无正负。 3. 角的加法与减法 · 角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。 · 相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α。 · 角的减法：α-β = α+(-β)，即减去一个角等于加上这个角的相反角。 二、象限角与轴线角 1. 象限角 在平面直角坐标系中研究角时，将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。此时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。 各象限角的集合表示： 象限 集合表示 第一象限 {α | k·360° < α < k·360°+90°, k∈Z} 第二象限 {α | k·360°+90° < α < k·360°+180°, k∈Z} 第三象限 {α | k·360°+180° < α < k·360°+270°, k∈Z} 第四象限 {α | k·360°+270° < α < k·360°+360°, k∈Z} 2. 轴线角（界限角） 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角（或象限界角）。 轴线角的集合表示： 终边位置 集合表示 x轴非负半轴 {α | α = k·360°, k∈Z} x轴非正半轴 {α | α = k·360°+180°, k∈Z} y轴非负半轴 {α | α = k·360°+90°, k∈Z} y轴非正半轴 {α | α = k·360°+270°, k∈Z} x轴 {α | α = k·180°, k∈Z} y轴 {α | α = k·180°+90°, k∈Z} 坐标轴 {α | α = k·90°, k∈Z} 3. 易混淆概念辨析 ① 锐角：0°<α<90°的角，是第一象限角，也是小于90°的角。 ② 第一象限角：可以是锐角，也可以大于360°或为负角。 ③ 小于90°的角：包括锐角、零角、负角，不一定是锐角。 ④ 钝角：90°<α<180°的角，是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。 三、终边相同的角 1. 定义与表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： S = {β | β = α + k·360°, k∈Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2. 注意事项 ① 研究终边相同角的前提：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。 ② 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边一定相同。 ③ k∈Z是必要条件，不能省略。 ④ k·360°与α之间用"+"连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)。 四、弧度制 1. 弧度制的定义 把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 2. 角度制与弧度制的换算 基本关系：360° = 2π rad，180° = π rad 换算公式： 角度化弧度：1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad 弧度化角度：1 rad = 180°/π ≈ 57.30° = 57°18′ 常用特殊角的弧度值： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π 3. 弧度制下的重要结论 ① 正角的弧度数是一个正实数，负角的弧度数是一个负实数，零角的弧度数是0。 ② 在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系。 ③ 用弧度制表示角时，"弧度"和"rad"可以省略不写；但角度制中的"°"不可省略。 五、弧长公式与扇形面积公式 1. 弧长公式 设扇形的半径为r，圆心角为α（弧度制），弧长为： = |α|·r 2. 扇形面积公式： 3. 角度制与弧度制下的公式对比 公式 角度制 弧度制 弧长公式 = nπr/180 = |α|·r 扇形面积公式 S = nπr²/360 其中r为半径，n为圆心角的角度数，α为圆心角的弧度数，为弧长，S为扇形面积。 六、常见题型与易错点 1. 任意角的概念辨析 小于90°的角不一定是锐角（可能是零角或负角）。 第一象限角不一定是锐角（如390°是第一象限角但不是锐角）。 钝角一定是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。 2. 角度与弧度互化 角度化弧度：度数 × π/180 弧度化角度：弧度数 × 180°/π 同一式子中不可混用角度制和弧度制。 3. 终边相同的角求值 对于给定角α，在0°~360°范围内找出与其终边相同的角的方法是：用α除以360°，取余数。 求适合特定范围的终边相同角时，对k赋值即可。 4. 象限角的判定 将角化为α = β + k·360°（0°≤β<360°）的形式，由β所在象限确定原角所在象限。 终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 同步训练 一、单选题 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】扇形的弧长. 2．终边落在直线上，且在第三象限的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接写出终边落在直线上且在第三象限的角的集合即可求解． 【详解】解：终边落在直线上且在第三象限时， 则角的集合为． 故选：D． 3．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 4．已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用面积公式得到，结合基本不等式可求周长最小值，从而可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. 故选：D 5．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D 6．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】， 因为是第四象限角，所以是第四象限角. 7．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 8．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（    ） A．是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 【答案】AB 【分析】结合象限角的定义逐一分析即可得. 【详解】，故是第四象限角，选项A正确； 锐角是第一象限角，故B正确； 第二象限角为， 第一象限角为， 故第二象限角不一定大于第一象限的角，故C错误； 若角为第二象限角，则， 故， 即可能为第一象限角也可能为第三象限角，故D错误. 故选：AB. 10．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 三、填空题 11．已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 【答案】 【分析】直接代入扇形公式求解即可. 【详解】，. 12．角在第_____________象限． 【答案】一 【分析】结合终边相同的角的概念即可求出. 【详解】与角终边相同的角可表示为，， 当时，，所以角与角的终边相同，故角的终边在第一象限． 故答案为：一. 四、解答题 13．（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②；③； （3） 【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出． 【详解】（1）与终边相同的角的集合为． 取；取；取，． （2）①； ②； ③ 即 . （3） 终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为. 14．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 任意角和弧度制 知识点梳理 一、任意角的概念 1. 角的定义与推广 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。旋转开始位置的射线称为始边，终止位置的射线称为终边，端点称为顶点。 将角的概念推广后，角的大小不再局限于0°~360°范围，可以形成任意大小的角。 2. 角的分类 按旋转方向不同，角分为三类： 类型 定义 图示说明 正角 按逆时针方向旋转形成的角 旋转方向为逆时针 负角 按顺时针方向旋转形成的角 旋转方向为顺时针 零角 射线没有做任何旋转形成的角 终边与始边重合 注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，零角无正负。 3. 角的加法与减法 · 角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。 · 相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α。 · 角的减法：α-β = α+(-β)，即减去一个角等于加上这个角的相反角。 二、象限角与轴线角 1. 象限角 在平面直角坐标系中研究角时，将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。此时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。 各象限角的集合表示： 象限 集合表示 第一象限 {α | k·360° < α < k·360°+90°, k∈Z} 第二象限 {α | k·360°+90° < α < k·360°+180°, k∈Z} 第三象限 {α | k·360°+180° < α < k·360°+270°, k∈Z} 第四象限 {α | k·360°+270° < α < k·360°+360°, k∈Z} 2. 轴线角（界限角） 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角（或象限界角）。 轴线角的集合表示： 终边位置 集合表示 x轴非负半轴 {α | α = k·360°, k∈Z} x轴非正半轴 {α | α = k·360°+180°, k∈Z} y轴非负半轴 {α | α = k·360°+90°, k∈Z} y轴非正半轴 {α | α = k·360°+270°, k∈Z} x轴 {α | α = k·180°, k∈Z} y轴 {α | α = k·180°+90°, k∈Z} 坐标轴 {α | α = k·90°, k∈Z} 3. 易混淆概念辨析 ① 锐角：0°<α<90°的角，是第一象限角，也是小于90°的角。 ② 第一象限角：可以是锐角，也可以大于360°或为负角。 ③ 小于90°的角：包括锐角、零角、负角，不一定是锐角。 ④ 钝角：90°<α<180°的角，是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。 三、终边相同的角 1. 定义与表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： S = {β | β = α + k·360°, k∈Z} 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2. 注意事项 ① 研究终边相同角的前提：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。 ② 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边一定相同。 ③ k∈Z是必要条件，不能省略。 ④ k·360°与α之间用"+"连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)。 四、弧度制 1. 弧度制的定义 把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 2. 角度制与弧度制的换算 基本关系：360° = 2π rad，180° = π rad 换算公式： 角度化弧度：1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad 弧度化角度：1 rad = 180°/π ≈ 57.30° = 57°18′ 常用特殊角的弧度值： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π 3. 弧度制下的重要结论 ① 正角的弧度数是一个正实数，负角的弧度数是一个负实数，零角的弧度数是0。 ② 在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系。 ③ 用弧度制表示角时，"弧度"和"rad"可以省略不写；但角度制中的"°"不可省略。 五、弧长公式与扇形面积公式 1. 弧长公式 设扇形的半径为r，圆心角为α（弧度制），弧长为： = |α|·r 2. 扇形面积公式： 3. 角度制与弧度制下的公式对比 公式 角度制 弧度制 弧长公式 = nπr/180 = |α|·r 扇形面积公式 S = nπr²/360 其中r为半径，n为圆心角的角度数，α为圆心角的弧度数，为弧长，S为扇形面积。 六、常见题型与易错点 1. 任意角的概念辨析 小于90°的角不一定是锐角（可能是零角或负角）。 第一象限角不一定是锐角（如390°是第一象限角但不是锐角）。 钝角一定是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。 2. 角度与弧度互化 角度化弧度：度数 × π/180 弧度化角度：弧度数 × 180°/π 同一式子中不可混用角度制和弧度制。 3. 终边相同的角求值 对于给定角α，在0°~360°范围内找出与其终边相同的角的方法是：用α除以360°，取余数。 求适合特定范围的终边相同角时，对k赋值即可。 4. 象限角的判定 将角化为α = β + k·360°（0°≤β<360°）的形式，由β所在象限确定原角所在象限。 终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 同步训练 一、单选题 1．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．终边落在直线上，且在第三象限的角的集合为（    ） A． B． C． D． 3．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 4．已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 5．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 6．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 8．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（    ） A．是第四象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．第二象限角大于第一象限的角 D．若角为第二象限角，那么为第一象限角 10．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 三、填空题 11．已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 12．角在第_____________象限． 四、解答题 13．（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来； （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 14．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $