5.2.1 第2课时 三角函数值的符号及诱导公式一（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦三角函数值的符号判断、诱导公式一及综合应用，从三角函数定义切入，先梳理各象限正弦、余弦、正切值的符号规律，再通过终边相同角关系建立诱导公式，构建“定义-符号-公式-应用”的递进学习支架。 以问题驱动情境导入，结合坐标点分析（如例1判断点P所在象限）和大角转化（如训练2计算-1395°三角函数值），培养逻辑推理与数学运算素养。口诀“一全正、二正弦”等简化记忆，课中助教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，方便学生查漏补缺。

第二课时　三角函数值的符号及诱导公式一 课标要求 1.会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）. 2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题（数学运算）. 情境导入 　　从三角函数的定义及实例可知，任意一个角的正弦、余弦与正切值可能为正数，也可能为负数，也可能为0，它们的符号与什么有关？你能总结出任意一个角三角值的符号的变化规律吗？ 知识点一｜三角函数值在各象限内的符号 问题1　根据三角函数的定义，你能判断α在不同象限时，sin α的符号特点吗？ 提示：由sin α＝y，则可知当α在第一或第二象限时，sin α＞0；当α在第三或第四象限时，sin α＜0. 【知识梳理】 如图所示： 正弦：　一、二　象限正，　三、四　象限负； 余弦：　一、四　象限正，　二、三　象限负； 正切：　一、三　象限正，　二、四　象限负. 　　提醒：（1）简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦；（2）终边落在x轴上角的正弦值为0，正切值也为0；终边落在y轴上角的余弦值为0，正切值不存在. 【例1】　（1）已知点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α在（　B　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：因为点P（tan α，cos α）在第三象限，因此tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限. （2）sin 285°·cos（－105°）＞.（填“＜”或“＞”） 解析：因为285°是第四象限角，所以sin 285°＜0，因为－105°是第三象限角，所以cos（－105°）＜0.所以sin 285°·cos（－105°）＞0. 【规律方法】 1.正弦、余弦函数值的正负规律 2.正切函数值的符号取决于角α终边上点的横、纵坐标x，y的符号，即“同号为正，异号为负”. 训练1　（1）若－＜α＜0，则点P（tan α，cos α）位于（　B　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由－＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，所以点P在第二象限. （2）已知sin θcos θ＜0，且｜cos θ｜＝cos θ，则角θ是（　D　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：由｜cos θ｜＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，cos θ＞0，所以角θ是第四象限角，故选D. 知识点二｜诱导公式一 问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 提示：由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 【知识梳理】 终边相同的角的同一三角函数的值　相等　，由此得到一组公式： sin（α＋k·2π）＝　sin α　， cos（α＋k·2π）＝　cos α　， tan（α＋k·2π）＝　tan α　， 其中k∈Z. 　　提醒：诱导公式一的结构特点：①其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α；②三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，说明三角函数中自变量α与函数值的对应关系为多对一的关系；③k∈Z即k可取正整数、负整数或0. 【例2】　计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； 解：tan 405°－sin 450°＋cos 750° ＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°） ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. （2）sin＋tan（－）. 解：sin＋tan ＝sin（＋4×2π）＋tan（－2×2π） ＝sin＋tan＝＋1. 【规律方法】 利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 训练2　计算下列各式的值： （1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）·sin 750°； 解：原式＝sin（－4×360°＋45°）·cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°） ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋×＝＋＝. （2）sin（－）＋costan 4π. 解：原式＝sin（－2π＋）＋cos（2π＋）tan（4π＋0）＝sin＋cos×0＝. 知识点三｜三角函数值符号与诱导公式一的综合应用 【例3】　确定下列三角函数值的符号： （1）tan 505°； 解：tan 505°＝tan（360°＋145°）＝tan 145°＜0. （2）tan（－）； 解：tan（－）＝tan（－8π＋）＝tan＞0. （3）cos 950°； 解：cos 950°＝cos（230°＋2×360°）＝cos 230°＜0. （4）sin（－）. 解：sin（－）＝sin（－4π＋）＝sin＞0. 【规律方法】 　　对于绝对值较大的角先利用诱导公式一转化为[0，2π）范围内的角，然后再判断符号. 训练3　已知角θ满足sin（360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，则θ位于第二象限. 解析：因为sin（360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，所以sin θ＞0，tan θ＜0，故θ位于第二象限. 1.sin 390°的值为（　　） A.　　　　　　　　B. C. D.－ 解析：C　sin 390°＝sin（360°＋30°）＝sin 30°＝，故选C. 2.已知sin α＞0，cos α＞0，则α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：A　由三角函数的定义可知，sin α＞0⇒α为第一、二象限角或终边在y轴正半轴上；由cos α＞0⇒α为第一、四象限角或终边在x轴的正半轴上，两个条件同时成立，则α为第一象限角，故选A. 3.下列三角函数值的符号为正的是（　　） A.sin（－100°） B.cos（－220°） C.tan 10 D.cos π 解析：C　因为－100°角是第三象限角，所以sin（－100°）＜0；因为－220°角是第二象限角，所以cos（－220°）＜0；因为10∈（3π，），所以tan 10＞0；cos π＝－1＜0.故选C. 4.求下列三角函数值： （1）sin＋cos； （2）sin2＋tan2（－）tan. 解：（1）sin＋cos ＝sin（4π＋）＋cos（6π＋） ＝sin＋cos＝＋＝1. （2）原式＝sin2（＋4π）＋tan2（－2π）·tan（＋2π） ＝sin2＋tan2tan ＝（）2＋（）2×1＝＋＝. 课堂小结 1.理清单 （1）三角函数值在各象限内的符号； （2）诱导公式一； （3）三角函数值符号与诱导公式一的综合应用. 2.应体会 转化与化归、分类讨论. 3.避易错 正切函数的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}. 1.cos（－300°）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　cos（－300°）＝cos（－360°＋60°）＝cos 60°＝，故选D. 2.（2025·宝鸡期中）当α为钝角时，－＝（　　） A.1 B.0 C.2 D.－2 解析：C　因为α为钝角，所以sin α＞0，cos α＜0，故－＝－＝2，故选C. 3.已知点P（sin α，tan α）在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，则角α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　因为点P（sin α，tan α）在第三象限，所以所以角α的终边在第四象限.故选D. 4.（2025·龙岩期末）在第24届冬季奥林匹克运动会自由式滑雪比赛中有个新的滑雪动作叫“空中逆时针”旋转1 620°，则cos 1 620°＝（　　） A.1 B.－1 C. D.－ 解析：B　1 620°＝9π，所以cos 9π＝cos π＝－1.故选B. 5.〔多选〕下列函数值的符号为正的是（　　） A.sin 105° B.cos 325° C.tan D.tan 解析：ABD　∵105°为第二象限角，∴sin 105°＞0，符号为正；∵325°为第四象限角，∴cos 325°＞0，符号为正；∵∈（，π），∴为第二象限角，∴tan＜0，符号为负；∵∈（π，），∴为第三象限角，∴tan＞0，符号为正. 6.〔多选〕（2025·南京期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值一定小于0的是（　　） A.sin α＋cos α B.sin α－cos α C.sin α·cos α D. 解析：BCD　由题意，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），可得sin α＜0，cos α＞0，故sin α＋cos α符号不定，值可能大于0，A错误；sin α－cos α＜0，B正确；sin αcos α＜0，C正确；＜0，D正确.故选B、C、D. 7.（2025·九江期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin 420°，cos 45°），则tan（－2π＋α）＝. 解析：sin 420°＝sin（360°＋60°）＝sin 60°＝，cos 45°＝，故P（，），tan（－2π＋α）＝tan α＝＝. 8.已知sin＝，cos＝－，且∈[0，π]，则α＝πrad. 解析：∵sin＝＞0，cos＝－＜0，∴为第二象限角且∈[0，π]，由特殊角的三角函数值可得＝π，∴α＝π. 9.（2025·临泉期末）已知角α的终边经过点P（3，4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t＝－. 解析：sin（2kπ＋α）＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t＜0，又sin α＝，所以＝－，所以t＝－. 10.化简下列各式： （1）sin＋cos＋cos（－5π）＋tan； （2）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°. 解：（1）原式＝sin＋cos＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1. （2）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2. 11.（2025·天津北辰期中）式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为（　　） A.正 B.负 C.零 D.不能确定 解析：B　∵1，2，4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，∴sin 1·cos 2·tan 4＜0，符号为负. 12.（2024·仙桃月考）“tan x＜0，且sin x－cos x＜0”是“角x的终边在第四象限”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若tan x＜0，则角x的终边在第二、四象限，因为sin x－cos x＜0，所以角x的终边在第四象限，反之也成立. 13.（2025·潍坊期中）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是（－2，3]. 解析：法一　因为cos α≤0，所以角α的终边在第二或第三象限内，或y轴上，或x轴的非正半轴上.因为sin α＞0，所以角α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上.综上，点P在第二象限内或y轴的非负半轴上，所以所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3]. 法二　由三角函数的定义可知，cos α＝≤0，sin α＝＞0，所以所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3]. 14.（2025·南京期中）试确定下列式子的符号： （1）tan 108°·cos 305°； （2）； （3）tan 191°－cos 191°. 解：（1）因为108°是第二象限角，所以tan 108°＜0. 又305°是第四象限角，所以cos 305°＞0，从而tan 108°·cos 305°＜0. （2）因为是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角， 所以cos＜0，tan＜0，sin＞0，从而＞0. （3）因为191°是第三象限角，所以tan 191°＞0，cos 191°＜0，所以tan 191°－cos 191°＞0. 15.已知角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，并满足：＝，且lg（cos α）有意义. （1）试判断角α的终边在第几象限； （2）若角α的终边上一点M（，m），且｜OM｜＝1（O为坐标原点），求m的值及sin α的值. 解：（1）由＝－，得sin α＜0，由lg（cos α）有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角. （2）因为｜OM｜＝1，所以（）2＋m2＝1， 解得m＝±， 又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－， sin α＝＝＝＝－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $