5.5 三角恒等变换 题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学三角恒等变换核心知识点，系统梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式，辅助角公式，角的变换（拆角、凑角）及二倍角公式，形成从公式直接运用到逆运用，再到角的变换技巧，最终拓展至二倍角公式应用的递进式学习支架。 该资料以题型分类（直接运用、逆运用等）为特色，结合记忆口诀与例题详解，培养学生数学思维（推理意识、运算能力）和数学语言（符号表达、模型意识）。如拆角凑角题型通过具体例题引导分析角的关系，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5.5三角恒等变换 ●知识梳理 一、两角和与差的的正弦公式 sina+β=sina cosβ+cosa sinβ. sina-β=sina cosβ-cos a sinβ. 上述两个公式的记忆口诀是：“正余余正，符号相同”. 二、两角和与差的余弦公式 cosa+B=cosa cosβ-sina sinβ. cosa-β=cos a cosβ+sinasinβ. 上述两个公式的记忆口诀是：“余余正正，符号相反”. 三、两角和与差的的正切公式 1.两角和与差的的正切公式 mo*g品 tan(a-B)=tan a-tan B 1+tana tanβ 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”，如下图所示： tanaB)=tanc+tanB tan(-B=tana-tanB 1-tan atanβ 1+tana tanβ 重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年 的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有： q-q+B)-B:q-B-lB-al:q-I2q-Bl-la-B);q-jl@+B)-(B-al 五、辅助角公式 对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： asinx+bcosx=Va2+b2 b'sinx+ a 6 +bcosx -Va2+b2sin(x+0). -cos0 b (其中9由a2+b =sin6来确定) 通常称上式为辅助角公式，它可以将含多个三角式的函数问题转化为形如 y=Asin @x+p+k的函数问题. 常用形式： sina±cosa=/2sina±4 sin±3cos&=2sina±3 V3sina±cosa=2sina± π 6 题型一公式的直接运用 1.计算sin75°、cos15°、sin105°的值。 2.已知tana,tanB是方程3x2-7x+1=0的两实数根，则tan(a+B)=? 3.若ana克，则ana-牙？ 4已知cosa=-手a∈受，则am景-a)等T? 5已知oa-号ue受0则wa 13 的值为？ 6已知sna号c0sB=一&，B均为统二象限有，求m口B的值？ 7.已知cosB=子cosa+B=号，其中a,B∈0，受则sna的值为？ 8.已知a,B均为锐角，且sina-5 ,c0s,B=0 10,求a-B的值？ 9.已知cosa+p)=3cos&-p)=-3,则cosacosB=-? (8乙e+[)(.LTe1+I)葛19 Euel,Lt uel-T 葛1S .EEue+LZ ue (0+.9E)uIs(刀-S)so+(0+.9E)s0(0-.bS)uIs点1五 (.SI+)us(-.st)uIs-(SI+)so(-st)so .8tS00.8IS-.8Ts00.8buS点1乙 0buIs.0ZuIs-.0bs0.0乙s03莫1T 出县年7二虚暗 1-tan75° 7.计算 1+tan75° 8.计算sin47°cos17°+cos47°cos107° 题型三辅助角公式 1.化简下列各式： (四2cosx+ 吸smx (2) V3sin x+cos x (3)2cosx-6sinx (4) 2(sin x-cosx) (5)3sina+4cosa 2.已知函数fx)=sinx+cosx,那么f() 的值是？ 3.已知号≤x≤兀，若3sinx+cosX=m,则m的取值范围是？ 题型四两角互余，正弦值等于余弦值 1.化简求值：cos41°cos79°-sin41°cos11°： 2.化简求值：snm骨-3xons-3x-os +3xsm经+3x 题型五拆角、凑角 1.计算2s1n46-3cos74 C0s16 的值。 2.己知为锐角，且tan +e-2,求ana的值 3.已知tan(a+B=2,tanc=-1,则tanB=? 4.已知sma号，sin(a-B=-0 10,a,B均为锐角，则角B等于？ i=(d-D)e,M‘T-=(d-DZ)ue‘8=ue某L i=9 M是80‘台=0某q-m-日道X9 gus xuIs =日fra(是03a部=d+0jm片ns0 8.已知子B<a<3平，cos(-B1-号sna+B)-是则cs2a=? 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ●知识梳理 一、二倍角的正弦、余弦和正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a=2sina cos a cos 2a=cos2a-sin2a=2 cos2a-1=1-2sin2a tan 2a=- 2tana 1-tana 2.关于这组公式的注意事项 ①二倍角公式不仅可以运用与a的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α看成2 的2倍，讲&看作号的2倍将号看作异的2倍的情况例如：sin氵=2sn景c0s 4· ②要熟悉这组公式的逆用，例如： sincos asin6:4sin os=2sin cos22a-sin 2a=cos 4a 1±sin2a=sin'a+cosa±2sina(cosa=sina±cosa2. 题型一直接运用公式 1若n号--台则cos2a的值为？ 2.已知co β_3 65,求cos 9 3若sin-a分且受sas,则5n2a的值为？ 4.设sina=2cosa,则tan2a的值为？ 1+c0s2a-1 5.已知sin2=2,则tama=? 6已知sna=是g∈爱，则o号等于 7若an0=2,则加20as0=? 2 cos20 8.已知sin0+cos0=号，则sin29等于？ 题型二公式的逆运用 1.计算sin15°cos15°的值为？ 2.计算sin35°+cos10°cos80°的结果为？ 3.求下列各式的值： (1)1-2sin2750 2tan150° (2)1-tan2150 3)1 3 sin10°cos10 (4)cos20°cos40°cos80° (5)sin10°sin50°sin70 题型三拆角、凑角 1.已知a,B∈0，，且tan(c-B)=2tanB=-元，则tam2a-Bl的值为？ 2.若cos -aF亏则sin2a=? 3已知sna+-是子a<3,则os2a的值为？ 45’4 答案 题型一公式的直接运用 1.计算sin75°、cos15°、sin105°的值。 4c0s15°=V6+2 ·答案：sin75=6+2 4'；sin105°=6+2 4 ·详解：利用两角和差公式， sin7万=sin(45+30')=sin45°cos30°+cos45'sin30=2×5+22x1_y6+2 22224 cos15=cos45-30'")=c0s45'cos30+5in45*sin30=2/6+2 4 sin105*=sin(60'+45)=sin60cos45+c0s60'sin45-2/6+2 49 2.已知tana,tanβ是方程3x2-7x+1=0的两实数根，则tan(a+β)=？ 。答案：子 ·详解： 根据两角和的正切公式tan(a+B)=ancr+anB 1-tana tanβ' 由韦达定理得ama+mB-子，wnctnA--片 7 代入得an(a+B)=3=Z 1- 12° 3 3.若ama=克，则tana-z ·答案：日 ·详解：根据两角差的正切公式tan(A-B)=anA-tanB 1+tan Atan B' 1一1 代入ma分m经1，得ma-引 2 4 、1 1+x13 2 4已知cosa=手ae停， ,则an径-a)等于？ ·答案：7 。详解：先求如1石1公布第二象限，n0),则 tana=sina-3 cosa 4 tan-tanc 1+3 π tan()- 4 4=7。 1+tan tand 1-3 4 i已知oma-是ae号0，则ema-到 的值为？ 7V2 。答案：26 ·详解：sina=-1-cos2a=-5 (c在第四象限，sina负)。 根据两角差的余弦公式cos(A-B)=cos A cos B+sin A sin B, 得引岩要-要 226 6.已知sina= ，。、B均为第二象限角，求cosa-B)的值？ 13,COsB=- 。答案： 63 65 。详解：先求cosa=-门-sna=一是，dnB=1-QosB号（第二象限角正弦 正、余弦负)。 f代入sa=coas0+nanR,行音x-+号号-得 7已知cos8片cosa+B-导其a,Be0,引则 sina的值为？ 2/2+45 ·答案： 9 。详解： a,B∈0,2 .∴.a+β∈0，π sinB=1-cos(a-B)-2V2 3 （第一象限角正弦正) sin(a+B)=-sin() 3(第一、二象限角正弦正) sina-sin[(a+B)-B]-sin(a+B)cosB-cs(a+B)sinB-x1-2x225-4 3333 9 8.已知&，B均为锐角，且sna= 5,0s,g=70 10,求a-B的值？ 。答案： 。详解： :a,B∈02 ∴a-Be受 (可能在第一、四象限角，所以要选sin进行判断) cosa-V1-sin'a= 5, (第一象限角余弦正) sin B=V1-cos2B-310 10。 (第一象限角正弦正) sin(a-B)=sin ar cos B-cosasin B=5x51 510510 2’ 又a-Be受引故a-B=罩。 9.已知cosa+B=专csa-B)=-号，则c0 oswcosB=-? ·答案：0 ·详解：将两角和差的余弦公式展开： cos(a+B)-cosac-sin@sin-cos(a-B)-cosacos+sinaim- 两式相加得2 cos a cos B:=0,故cos a cos B=0。 题型二公式的逆运用 1.计算cos20°cos40°-sin20°sin40 。答案：2 。详解：逆用两角和的余弦公式cos(A+B)=cos AcosB-sin Asin B,原式 co200sin20in0040)o0 2.计算sin48°cos18°-sin18°cos48° 。答案：方 。详解：逆用两角差的正弦公式sin(A-B=sin Acos B-cos Asin B,原式 sin8'cos 8sin csin()=sin 30 3.计算cos(45°-a)cos(a+15)-sin(45°-a)sin(a+15°) 。答案：2 。详解：逆用两角和的余弦公式，原式=c0s(45-a+a+15月=c0s60=克 4.计算sin(54°-a)cos(36°+a)+cos(54°-a)sin(36°+a) 。答案：1 ·详解：逆用两角和的正弦公式，原式=sin[(54°-ax)+(36°+a)]=sin90°=1。 5第"部 ·答案：V3 ·详解：逆用两角和的正切公式an(A+B48原式 =tan(27°+33)=tan60°=3。 6.计算(1+tan17°)(1+tan28) ·答案：2 ●详解：展开得1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°。因17°+28°=45°， tan45°=1=tan17'+tan28° 1-an17tan28,故tan17+a28=1-tan17an28,代入得 1+(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2。 7.计算 1-tan75 1+tan 75' ·答案：-3 ·详解：将1化为tan45°，逆用两角差的正切公式，原式 -tan45"-tan75=tan(45-75")=tan(-30)=-/3。 1+tan45°tan75 8.计算sin47°cos17°+cos47°cos107 。答案：方 ·详解：cos107°=cos(90°+17°)=-sin17°，原式化为 sin47cos17-cos47°sin17°=sin(47°-17°)=sin30°= 29 题型三辅助角公式 1.化简下列各式： (1)co sin x ·答案：Cosx 。详解： 05x+ 1 +空sinx-cos号osx+sn写snX-usx-号 (2)3sin x+cos x 。答案：2snx+周 。详解：辅助角公式asinx+bcosx=√a+bsin(x+p) a2+b2=V3+12=2, 3sin x+cos x=2 1 π -sinx+- 2 cosx-2 cossinx+sin c cosx -2sinx+ 6 故原式=2sinx+ 6° (3)2cosx-V6sinx 。答案：282ox+骨 ·详解：(V2+-6=2V2, 2cosx-6sinx =2V2 3 sinx 2 -2cos sin x -282 icox+号 (4)2(sinx-cosx) ·答案：2sinx子 ·详解：(1+(1=2 =2 2 V -sin x- -COSX 2 2 -2cos sin x-sin cosx 4 =2sinx-4° π (5)3sina+4cosa 、答案：5sna+p}(其中amp-学) 。详解：32+42=5， 3sina+4cosa=5 设p满足sinp= 5,cos0=3 ,原式=5sin(a+p)。 2.已知函数f(x)=sinx+cosx,那么f)1 的值是？ 6 。答案：2 。详解：(1}+(1=2 ()=sinx+cosx=2sim x+ 2 2 cosx=V2sinx+ 4 直接代入x=2,得f受=只2sim受+-2sm-2×3.6 124 3 22 3.已知2≤x≤兀，若3sinx+cosx=m,则m的取值范围是？ ·答案：[-1,2] ·详解：辅助角公式化简左边3sinx+cosx=2 2 2cossinx+sincosx=2sin+ 6 6 6 因受x≤x,故≤x+悟召 66 [_13 sinx+e22 则2inx+号e[-1,3,即me[-1,3。 题型四两角互余，正弦值等于余弦值 1.化简求值：cos41°cos79°-sin41°cos11; ·答案，是 ·详解：第一式：cos11°=sin79, 原式=c0s41°c0s79-sin41°sin79°=cos41°+79)=cos120°=- 2 2化荷求佰：sn-3m3x-+3x小sm3x ·答案：1 。详解： 则o+3x-sn骨-3x,sn+3x子-3 4 原式=sn-3xo肾3x-snl3xo-3x 经旨3 4 3 4 题型五拆角、凑角 1.计算 2sin46°-V3cos74 的值。 c0s16° 。答案：1 。详解：cos74=sin16,sin46=sin(30+16)= 2c0s16*+3 sin16。 代入分子：2号ms16+3sn1635in16=c016,蔽原式=o5761. c0s16° 2.已知&为锐角，且an?+a=2,求ana的值。 4 。答案：3 tan 亚+c-tan .1 。详解：tana=tan 4 1+tan.tan +a 3 4 4 3.已知tan(a+阝=2，tana=-1,则tanB=? ·答案：-3 。￥：8me,子-3 4.已知sina= sin(a-B)=-Y10 5 0,,B均为锐角，则角B等于？ 。答案：4 π 。详解：：a,B∈0，受<-B<0 .a-β∈ ππ 22 (可能在第一、四象限角) .∴.cosQ= 25 5， cos(a-B)=3910 10 (第一、四象限角，余弦为正)。 sinB=sin[a-(a-B)] =sinacos(a-β)-cosasin(a-B） -5×3⑩-25x_i0-2 10 510 若cosacasa+=ae0,受，a+Be受.则B= 。答案：3 ·详解：sina=43 3,sin(at)=53 14° cos3=cos[(a+β)-a] =cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina 6定义运算日日=ad-bc,若osa sina sinβ_3P3 7, cosa c0sβ14， 0<B<a<受，则 B=? 。答案：号 ·详解：由定义得sin&cosB-=sin(a-B)=33 14° 山0Aa号gna-45,osa叭-是 cs=csa-a-g-es8ca-)shcsnie-8异4p2要- 放B景 7.若tana=3,tan(2a-B)=-1,则tan(a-β)=？ ·答案：2 。详解：ana-B)=tan[(2a-B)-a]=an2a-Btand=,-1-3=-4-2 1+tan(2c-β)tana1+(-1)×3-2 8已刻子pa,use--号。sna+p=景则s2a=7 。答案裙 ·详解：因为<B<a<3 41 则3<-B<- 4 0a-82是a+g 2 则snla-e-是，cosa+p=-手 cas2a=cose-pi+a+p=osa-B)cos1c+a)-sing-B)sinia+p=号×--是×(- 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ·知识梳理 一、二倍角的正弦、余弦和正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a=2sinacos a cos 2a=cos2a-sin2a=2 cos2a-1=1-2sin2a tan2g=_2tana 1-tan a 2.关于这组公式的注意事项 ①二倍角公式不仅可以运用与a的2倍的情况，还可以运用于诸如将4a看成2a 的2信，讲&看作号的2倍将号看作景的2倍的情况.例如：sin受=2sncs异 4· ②要熟悉这组公式的逆用，例如： sin3 g cos 3a-sin6 a:4sin 4 cos4-2sin 4 cos22a-sin22a=cos 4a 1±sin2a=sina+cosa±2 sina cosa=sina±cosa2. 题型一直接运用公式 1若sn罗-Q=-子则cos2a的值为？ 。答案：g 。详解：sin)c=cosQ=3 由二倍角公式cos2a=2cosa-1=2×3/-1=乙 9 2已知csE=3 65,求cos 7 。答案：25 。详解，s号-2s号1-2×号1-2子 6 3若mra学且子≤，则s咖20的值为？ ·答案：-42 9 ·详解：sinn-a=sina= 3 由号s≤得osa=-1-na-2 3 则sin2a=2 sinc=2x是× 22=-42 33 9 4.设sina=2cosa,则tan2a的值为？ 。答案：3 ·详解：sina=2cosa sinc=2→tanc=2 coSa mtan 2a= 2tana=2×2=-4 1-tan2a1-22-3。 1+cos2a1 5.已知 sin2a 2,则an=? ·答案：2 ·详解：左边化简为 1+2cos2a-1_cosa=_1=1. 2 2sin acosa singtan之，故tana=2。 5 π 6.已知sina= 13, a∈ g等于？ 则cos21 V26 ·答案： 26 π ●详解：c∈ 2.n ππ → 4’2 cosa=-1-sin2a=- 12 13' 12 1 由半角公式cosg-1+cosa 13V26 °2-V2 、 26 7若m9=克则如20n0- 2cos20 ·答案：0 。详解：5in20-c0s9_2sin9cs0-c0s9 ,2tan0-1=0 2cos-0 2cos20 5日，同时除以cos20得2 8已知5h9+cs0-号，则sn20等丁9 24 。答案：25 。详解，平方得sn'0+2sin8cos6+cos0=六，1+sn20=石，故smn29=- 259 题型二公式的逆运用 1.计算sin15°cos15°的值为？ 。答案 ·详解：逆用二倍角正弦公式， sin15cos15=×2sin15cos15°=2sin30°= 4° 2.计算sin35°+cos10°cos80°的结果为？ ·答案： 。详解：sin35E9570cos10cos80=cos10sin10'号in20=c0s70 原式120+70-月 2 3.求下列各式的值： (1)1-2sin750 。答案：2 ·详解：逆用二倍角余弦公式， 原式=c0s150'=c0s4×360+60=c0s60= 2tan150° (2) 1-tan2150 ·答案：-V3 。详解：逆用二倍角正切公式，原式=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-3。 3)1 3 sin10°cos10 。答案：4 。详解：通分行os10,93si10-2os10-223sn10-4sin3010）-4. sin10°cos10 2sin10°cos10° sin20 (4)cos20°cos40°cos80 。答案：日 ·详解：cos20°c0s40c0580°=2sin20cos20c0s40c0s80 2sin 20 =sin40'cos40'cos80 2sin 20 =2sin40°cos40°cos80 4 sin 20 =sin80'cos 80" 4 sin 20 =2sin80'cos80" 8sin20 =sin160=sin20°_1 8sin20°8sin20°8° (5)sin10°sin50sin70° 。答案：8 。详解：sin10°=cos80°，sin50°=cos40°，sin70°=cos20 原式 =cos20cos40cos80=2sin20'cos20'cos 40'cos 80=sin40 cos 40'cos802sin40cos40cos80 2sin20° 2sin20 4sin 20 题型三拆角、凑角 1.已知a,B∈0，，且tan(c-B)=,tanB=-子，则an2a-Bl的值为？ ·答案：1 详解：an2(a-B)=,2ancB 、 2x1 2 4 3 别 tan(2a-B)=tan[2(a-B)+B]= =1 2.若c0s 则sin2a=? 。答案：25 ·详解：sin2c=cos 2dj-2肾。小-12-1 3已知sna+号子a3亚，则cms2a的值为？ 45’4 ·答荣： 24 。详样，因为好a3票所以写a+元则oma+引专