2026年暑假复习高二升高三数学专项训练-利用导数证明不等式

**基本信息** 围绕导数证明不等式构建从单变量到双变量的递进式方法体系，以核心思路统领题型解法，强化逻辑推理与模型构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单变量无参不等式|4题（含三角函数不等式）|作差构造新函数，利用导数判断单调性|从基础无参不等式入手，通过移项构造函数，培养数学抽象与几何直观| |单变量含参不等式|2题|最值分析法，结合隐零点、参数放缩|进阶含参问题，通过求最值证明恒成立，发展推理能力与运算能力| |双变量・极值点偏移型|1题|对称构造法、比值/差值换元法|深化双变量关系，通过对称构造转化为单变量问题，提升逻辑思维| |双变量・条件等式型|1题|代数变形后换元转化，结合对数均值不等式|综合条件等式与不等式证明，强化数学语言表达与模型意识|

高二暑假复习回顾、查漏补缺- 利用导数证明不等式 一、单变量无参不等式：作差构造法 核心思路：不等式仅含变量 、无参数，通过移项作差构造新函数，求导判断单调性，结合区间端点的函数值完成证明。 1.证明不等式， 2.证明不等式，． 3.证明不等式：当0<x<1时，sin x<x. 4.证明不等式：当0<x<1时，x－x2<sin x 二、单变量含参不等式：最值分析法 核心思路：函数含参数，证明含参不等式恒成立；通常求出函数在定义域内的最小值，证明最小值恒大于（或小于）右侧式子，常结合隐零点、参数放缩技巧。 5.已知函数．当时，求证． 6.已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. 三、双变量・极值点偏移型 核心思路：函数有两个不同零点（或两个函数值相等的点），证明两变量的和/积满足不等式，是导数压轴高频题型；常用解法包括对称构造法、比值/差值换元法、对数均值不等式法。 7.已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2. 四、双变量・条件等式型 核心思路：给出两个不相等正数满足的等式关系，证明关于两数的不等式；一般先对等式做代数变形，再通过换元转化为单变量函数证明，部分题目可借助对数均值不等式快速推导。 8.已知函数．设为两个不相等的正数，且， 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假复习回顾、查漏补缺- 利用导数证明不等式解析 1.证明不等式， 证明：令，∴， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即，， ∴，得证. 2.证明不等式，． 证明：令，则， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即，∴在上恒成立， 令，则，∴时，，单调递增， 故在上恒成立，即，∴在上恒成立， 综上，，上恒成立. 3.证明不等式：当0<x<1时，sin x<x. 证明：令g(x)＝sin x－x(0<x<1)，则g′(x)＝cos x－1≤0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，又g(0)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<g(0)＝0， 即sin x<x. 4.证明不等式：当0<x<1时，x－x2<sin x 证明：令h(x)＝x－x2－sin x(0<x<1)，则h′(x)＝1－2x－cos x(0<x<1). 令p(x)＝1－2x－cos x(0<x<1)，则p′(x)＝－2＋sin x<0， 所以p(x)即h′(x)在(0，1)上单调递减，又h′(0)＝0， 所以当0<x<1时，h′(x)<h′(0)＝0，h(x)单调递减， 所以当0<x<1时，h(x)<h(0)＝0，即x－x2<sin x. 5.已知函数．当时，求证． 证明：当时,, 故只需证明当时,, 当时，函数与函数在上单调递增, 所以函数在上单调递增, 又,故在有唯一实数根，记为，且, 当时，单调递减;当时，单调递增, 从而当时，取得最小值,由得,即， 故>0 综上，当m≤2时，. 6.已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. 证明：f′(x)＝aex－1，当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a；令f′(x)<0，得x<－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增. 函数f(x)的最小值， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立. 7.已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2. 证明：由f(x)＝aex－x＝0，得 －a＝0，令g(x)＝－a，则g′(x)＝， 由g′(x)＝＞0，得x＜1；由g′(x)＝＜0，得x＞1. 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 由于x1，x2是方程g(x)＝0的实根，不妨设x1＜1＜x2.设0＜x1＜1＜x2， 由g(x1)＝g(x2)，得x1e－x1＝x2e－x2，等式两边取对数得ln x1－x1＝ln x2－x2. 令t＝＞1，则x2＝tx1，代入上式得ln x1－x1＝ln t＋ln x1－tx1， 得x1＝，x2＝.所以x1＋x2＝＞2⇔ln t－＞0， 设h(t)＝ln t－(t＞1)，所以h′(t)＝－＝＞0， 所以当t＞1时，h(t)单调递增，所以h(t)＞h(1)＝0， 所以ln t－＞0，故x1＋x2＞2. 8.已知函数．设为两个不相等的正数，且， 证明：． 证明：可得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． 由，得， 由在单调递增，在单调递减， 所以，且， 令，，则，为的两根，其中． 不妨令，，则， 先证，即证，即证， 令，则， 故函数单调递增，．，，得证． 同理，要证，即证， 令，，则，令， ，，单调递增，，，单调递减， 又，，且， 故，，， 恒成立，得证， 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $