查漏补缺 数列 专项训练-2026年暑假复习高二升高三数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列核心考点，通过高考真题与自主训练结合，覆盖等差等比定义、通项、求和及综合应用，注重数学抽象与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题|5道（含2025-2026新高考卷）|情境化（如一百零八塔）、综合性（存在性问题）|从基本量运算到实际问题建模，体现概念应用拓展| |自主训练|11道（多选/填空/解答）|基础（通项/求和）、综合（证明/最值/新数列）|从等差等比定义到公共项、三角垛等新数列生成，构建概念-运算-应用链条|

高二暑假复习回顾、查漏补缺-数列解析 高考真题 （2026·新高考Ⅰ卷）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求. （2026·新高考Ⅰ卷）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为.设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为. （2026·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】24 【详解】由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故. （2025·新高考Ⅱ卷）（多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误；对C，，故C错误；对D，，，则，故D正确；故选：AD. （2025·新高考Ⅰ卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． (1)证明：由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即，在中， ， ∴， 当且时，∴， ∴ ∴. 自主训练 1(多选题).已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则(　　) A.an＝－2n＋12 B.Sn＝－n2＋11n C.当n＝5或6时，Sn取得最小值为30 D.数列{|an|}的前10项和为50 【答案】ABD 【详解】　因为a1＝10，d＝－2， 所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，A正确 Sn＝＝－n2＋11n，B正确 因为Sn＝－n2＋11n＝－＋， 根据二次函数的对称性及开口向下可知，Sn取得最大值为S5＝S6＝－＝30，故C错误； 记{|an|}的前10项和为T10， 因为an＝－2n＋12，当an＝－2n＋12≥0时，解得n≤6， 当an＝－2n＋12<0时，解得n>6， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10 ＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10， 因为Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10，所以T10＝2×30－10＝50，故D正确 2(多选题).Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 【答案】ABC 【详解】设等比数列{an}的公比为q. 当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误； 当q≠1时，Sn＝＝－·qn， 所以c＝，a＝－，b＝q， 即a＋c＝0，ac＝－<0，所以A，B，C正确. 3.已知两个等差数列2，6，10，…，206及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．则这个新数列的各项之和是______． 【答案】1872 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，206及2，8，14，…，212， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，206是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列，它们的和为， 这个新数列的各项之和为1872 4.已知等比数列的首项为，公比, 前n项和为．若，则公比q=______ 【答案】 【详解】由首项为，公比, ，得． 整理得，所以． 5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．写出数列的一个通项公式________． 【答案】. 【详解】由题意可知， ， ， ，， 所以； 由题意，， 故， 所以数列的一个通项公式为. 6.数列2，22，222，2222，22222，…．的一个通项公式是_________ 【答案】 【详解】设该数列为 ， 因为 所以该数列的一个通项公式为 7.已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最大值时n的值是______． 【答案】7 【详解】当，解得：， 当时，，所以取得最大值时，. 8. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值是______ 【答案】7 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ，当， 当时，，所以取得最大值时，. 9.在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列．（2）求数列的前n项和． 【详解】（1）由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，所以， 所以， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得， 综上可得，. 10. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）求数列的前项和为． 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即，又由，所以， 所以数列表示首项为3，公比为2的等比数列. （2）由（1）可得，所以 则数列的前项和为 11. 已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【详解】（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假复习回顾、查漏补缺-数列解析 高考真题 （2026·新高考Ⅰ卷）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 （2026·新高考Ⅰ卷）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． （2026·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，，则__________． （2025·新高考Ⅱ卷）（多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． （2025·新高考Ⅰ卷）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 自主训练 1(多选题).已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则(　　) A.an＝－2n＋12 B.Sn＝－n2＋11n C.当n＝5或6时，Sn取得最小值为30 D.数列{|an|}的前10项和为50 2(多选题).Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 3.已知两个等差数列2，6，10，…，206及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．则这个新数列的各项之和是______． 4.已知等比数列的首项为，公比, 前n项和为．若，则公比q=______ 5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．写出数列的一个通项公式________． 6.数列2，22，222，2222，22222，…．的一个通项公式是_________ 7.已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最大值时n的值是______． 8. 已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值是______ 9.在数列的首项为 ，且满足． （1）求证：是等比数列．（2）求数列的前n项和． 10. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列．（2）求数列的前项和为． 11. 已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证：（1）数列为等差数列；（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $