导数-2026年高二暑假专项练习

高二暑假数学专项练习-导数 一．求切线方程 1（2026新高考1卷）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2（2022新高考2卷）（过型） 写出曲线过坐标原点的切线方程：_______，_________． 3（2022北京卷节选） 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； 4（2022全国乙卷理节选）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 5（2023全国乙卷理节选）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 二．由曲线的切线求参数的值(范围) 6（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 7（2024全国甲卷理）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______ 9（2024新高考1卷） 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______ 10（2022全国甲卷文） 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围． 11．（2026新高考2卷节选）已知函数，曲线在点处的切线为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)略． 三．求函数的单调性、单调区间 12（2022新高考2卷节选）已知函数当时，讨论的单调性; 13（2022浙江卷节选） 设函数．（1）求的单调区间； 14（2021新高考1卷节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 15（2020全国1卷理节选）已知函数.（1）当时，讨论的单调性； 16（2023全国甲卷理节选）已知 （1）若，讨论的单调性； 17（2021新高考2卷节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 18（2020全国3卷文节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 19（2017全国1卷文节选）已知函数=ex(ex−a)−a2x．（1）讨论的单调性； 20（2017全国1卷理节选）已知函数ae2x +(a﹣2) ex﹣x.（1）讨论的单调性； 四．根据函数的单调性求参数的取值范围 21（2023新高考2卷）函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 五．求函数的极值、最值 22（2025·新高考2卷）若是的极值点，则_______． 23（2013全国1卷文）f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 24（2024全国甲卷节选）已知函数． （1）当时，求的极值； 25（2021新高考1卷）函数的最小值为　　　　　 26（2022全国乙卷文节选） 函数．（1）当时，求的最大值； 27（2025·新高考Ⅰ卷节选）（1）求函数在最大值； 六．证明不等式 28（2023新高考2卷节选）（1）证明：当时，； 七．利用导数求解综合问题 29（2022全国甲卷文）当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 30（2022新高考1卷多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 31（2022新高考1卷多选）已知函数及其导函数的定义域为R，记若，均为偶函数，则 A. B. C. D. 32（2023新高考2卷多选）若函数既有极大值也有极小值， 则（ ） A. B. C. D. 33（2024新高考1卷多选） 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 34（2024新高考2卷多选）设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 35（2022新高考1卷） 函数和有相同最小值．（1）求a； 36（2024新高考1卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 37（2024新高考2卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 38（2023新高考1卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 39（2021新高考1卷）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：． 40（2022全国乙卷文） 已知函数． （1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围． 41（2022全国甲卷理）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 42(2025新高考2卷)已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假数学专项练习-导数 一．求切线方程 1（2026新高考1卷）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即. 2（2022新高考2卷）（过型） 写出曲线过坐标原点的切线方程：_______，_________． 【答案】               【详解】当 时，点 上的切线为 若该切线经过原点，则 ，解得 ， 此的切线方程为 ； 由函数为偶函数，可得当 时，切线方程为 3（2022北京卷节选） 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； 【详解】因为，所以，即切点坐标为， 又，∴切线斜率为 ∴切线方程为 4（2022全国乙卷理节选）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 【详解】的定义域为，当时,, 所以切点为， , 所以切线斜率为 所以曲线在点处的切线方程为 5（2023全国乙卷理节选）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； 【详解】当时，，所以，所以切点为， ， 可得，切线斜率为 函数在处的切线方程为，即. 二．由曲线的切线求参数的值(范围) 6（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时， 有两条切线，可知．选D 7（2024全国甲卷理）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【详解】， 则切线的斜率为， 则该切线方程为，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 选A 8（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】 ，设切点为 ， 因为切线过原点，所以，故 ， 即 ，即 ， 即 ， 由题意可得，方程在 上有两个不相等的实数根 . 所以 ，解得或 ，显然此时 0 不是根，故满足题意. 9（2024新高考1卷） 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______ 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 10（2022全国甲卷文） 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，，， 则在点处的切线方程为，即， 设该切线与切于点，，则， 解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则， 令，解得或，令，解得或， 则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 11．（2026新高考2卷节选）已知函数，曲线在点处的切线为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)略． 【详解】（1），由切点在直线上，也在函数图象上，可知且，可得；由，则切线的斜率为，解得；故. （2） 由（1）知，，则，故题意可转化为对任意恒成立，令，， 则， 当时，由且， 则，即，则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立，则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减，又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 三．求函数的单调性、单调区间 12（2022新高考2卷节选）已知函数当时，讨论的单调性; 【详解】当时，，则， 令，得；令，得 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 13（2022浙江卷节选） 设函数．（1）求的单调区间； 【详解】， 令，得，得 ；令，得，得 故的单调递减区间为，的单调递增区间为 14（2021新高考1卷节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 【详解】 令，得，得；令，得，得 在区间上单调递增，在区间上单调递减 15（2020全国1卷理节选）已知函数.（1）当时，讨论的单调性； 【详解】当时，，， 显然单调递增，且，则 当时，单调递减， 当时，单调递增. 在区间上单调递减，在区间上单调递增 16（2023全国甲卷理节选）已知 （1）若，讨论的单调性； 【详解】 令,则，则 当 当,即；当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 17（2021新高考2卷节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 【详解】， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 18（2020全国3卷文节选）已知函数．（1）讨论的单调性； 【详解】， ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增. 19（2017全国1卷文节选）已知函数=ex(ex−a)−a2x．（1）讨论的单调性； 【详解】 的定义域为，， ①当时，则在单调递增． ②当时，， 令，得，得，得；令，得，得 故在单调递减，在单调递增． ③当时，， 令，得，得，得； 令，得，得； 故在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增；当时， 则在单调递增；当时，在单调递减，在 单调递增． 20（2017全国1卷理节选）已知函数ae2x +(a﹣2) ex﹣x.（1）讨论的单调性； 【详解】的定义域为，， ①当时，，则，所以在单调递减. ②当时， 令，得，得，得； 令，得，得； 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增. 四．根据函数的单调性求参数的取值范围 21（2023新高考2卷）函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以， 所以在上单调递增， ，故，即， 即a的最小值为．选C 五．求函数的极值、最值 22（2025·新高考2卷）若是的极值点，则_______． 【答案】－4 【详解】由是的极值点得，所以 23（2013全国1卷文）f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 【详解】(1) f’ (x)＝ex(ax＋b)＋a ex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4 ∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4， ∴f’(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4， ∴a＝4，b＝4. (2)由(1)知f’ (x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1) ,令f’ (x)＝0 得x1＝－2，x2＝ln ，列表： ∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，； 单调减区间为. ∴f(x)的极大值为f(－2)＝4－4e－2 24（2024全国甲卷节选）已知函数． （1）当时，求的极值； 【详解】当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 25（2021新高考1卷）函数的最小值为　　　　　 【答案】1 【详解】函数的定义域为． 当时，， 此时函数在，上为减函数，所以； 当时，，则， 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时取得最小值为． ，函数的最小值为1． 26（2022全国乙卷文节选） 函数．（1）当时，求的最大值； 【详解】当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以时，的最大值为 27（2025·新高考Ⅰ卷节选）（1）求函数在最大值； 【详解1】令 得 在的最大值是 【详解2】 ， 在的最大值是 六．证明不等式 28（2023新高考2卷节选）（1）证明：当时，； 【证明】设，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 设， 则， 设，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. 七．利用导数求解综合问题 29（2022全国甲卷文）当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【详解】因为函数定义域为，所以最大值也是极大值，因此，， ，所以， 所以，所以， 因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意， 即有 30（2022新高考1卷多选）已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】，令得或，令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以有两个极值点 为极大值点，为极小值点 ，故 A 正确 ; 又 ， ， 所以仅有 1 个零点 如图所示 ，故 B 错 ; 又 ， 所以关于 对称，故 C 正确 ; 对于 D 选项，设切点 ， 在 P 处的切线为 ， 即 ， 若 是其切线，则 ，方程组无解，所以 D 错 . 31（2022新高考1卷多选）已知函数及其导函数的定义域为R，记若，均为偶函数，则 A. B. C. D. 【答案】BC 【详解】由为偶函数可知关于直线对称， 由为偶函数可知关于直线对称， 结合，根据关于直线对称可知关于点对称， 根据关于直线对称可知：关于点对称， 综上，函数与均是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确; ，，，故，所以C正确. ，，所以B正确; 又，所以，所以D不正确. 32（2023新高考2卷多选）若函数既有极大值也有极小值， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，， 因为函数既有极大值也有极小值， 则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，， 显然，即，A错误，BCD正确. 33（2024新高考1卷多选） 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时， ， 所以，正确； 34（2024新高考2卷多选）设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点， A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心， D选项正确. 35（2022新高考1卷） 函数和有相同最小值．（1）求a； 【详解】的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，. 令，得，故在上为减函数， 令，得，故在上为增函数， 故 的定义域为，而. 令，得，所以，故在上为减函数， 令，得，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而，故的唯一解为， 故的解为， 综上，. 36（2024新高考1卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【详解】(1)当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为. (2)的定义域为， 设为图象上任意一点，关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而 ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. (3)因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设，则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍去； 综上，在上恒成立时. 37（2024新高考2卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【详解】(1)当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. (2)因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 设，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为 38（2023新高考1卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 【详解】(1)因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减；当时，在上 单调递减，在上单调递增. (2)由(1)得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 39（2021新高考1卷）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【详解】(1)可得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 则在单调递增，在单调递减． 【证明】(2)由，得，即， 由(1)在单调递增，在单调递减， 所以，且， 令，，则，为的两根，其中． 不妨令，，则， 先证，即证，即证， 令，则， 故函数单调递增，．，，得证． 同理，要证，即证， 令，，则，令， ，，单调递增，，，单调递减， 又，，且， 故，， ，恒成立，得证， 综上，． 40（2022全国乙卷文） 已知函数． （1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围． 【详解】(1)当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； (2)，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为. 41（2022全国甲卷理）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【详解】(1)的定义域为， 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 【证明】(2)由题知,一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设，要证,即证 因为,即证 因为,即证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以，所以在单调递增 即,所以 令， 所以在单调递减，即,所以； 综上, ,所以. 42(2025新高考2卷)已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在区间上单调递减； （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $