1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

基础练习

题组一　用空间向量求空间距离

1.(2025河南漯河部分学校联考)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,则点A1到直线DE的距离是(　　)

A.　　B.　　

C.　　   D.

2.(2026福建厦门外国语学校月考)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面ABCD内的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD=,则异面直线BD与PC间的距离为(　　)

A.　　B.　　

C.　　D.

3.(2026江苏镇江第一中学月考)在空间直角坐标系中,已知O为坐标原点,A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5),则三棱锥O-ABC的体积为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

4.(2026山东潍坊段考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中点,则平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

5.(2026北京顺义牛栏山第一中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在正方体内部且满足=++,则点M到直线AD的距离为　　　　. 

6.(教材习题改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为D1C1的中点.

(1)求异面直线D1B与A1E间的距离;

(2)求点B1到平面A1BE的距离;

(3)求直线D1C到平面A1BE的距离;

(4)求平面A1DB与平面D1CB1间的距离.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题组二　用空间向量求空间角

7.(2026河南青桐鸣大联考月考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,点P为底面ABCD的中心,Q为线段AB1的中点,则异面直线D1P与C1Q所成角的大小为(　　)

A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°

8.(2026广东广州增城月考)在空间直角坐标系中,已知点A(1,2,-1),C(0,1,3),B为x轴正半轴上的点,且直线CA与直线CB所成角的余弦值为,则点B的坐标为(　　)

A.　　B.(1,0,0)　　

C.(3,0,0)　　D.(2,0,0)

9.(2026河北唐山阶段测试)在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,PB=AC=2,E是AB的中点,则二面角B-PC-E的余弦值为(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

10.(2026山西晋中段考)已知矩形ABCD中,AB=,AD=1,将△ACD沿AC折起到△PAC的位置,使得PB=,则平面PAC与平面ABC的夹角的余弦值为　　　　. 

11.(易错题)(2024安徽天一大联考期中)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,F为棱BB1的中点.

(1)求异面直线AB1与FC1所成角的余弦值;

(2)求直线AA1与平面AB1E所成角的正弦值.

 

 

 

12.(2026江苏无锡第六高级中学月考)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;

(2)求证:BF∥平面ADE;