1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(第3课时)面面角、二面角同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 课时作业(十二)通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，聚焦空间向量与立体几何，从单一知识点应用到综合问题探究，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量求二面角、线面角、点面距离等基础应用|选择、填空、解答题结合，直接应用向量运算公式，夯实概念理解| |更上层楼|几何体中垂直关系、体积与空间角综合应用，高考真题改编|多选题与综合解答题，需结合几何体性质建立方程，提升逻辑推理| |探究发现|直线与平面所成角和二面角大小关系探究|比较性单选题，考察空间想象与数学思维，发展创新意识|

课时作业(十二) 1．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面的夹角为(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．120° C．60°或120° D．90° 答案　A 2．在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 解析　当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝. 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 4．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，则tan θ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　过点C作CD⊥β交β于D，作CO⊥AB交AB于O，连接OD，由题意得CD＝3，OC＝4，∴OD＝，由题意得tan θ＝tan∠COD＝＝. 5．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　建系如图，设PA＝AB＝1，则P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0)，则＝(1，0，－1)，＝(0，－1，0)． 由题意平面PAB的法向量为n1＝(1，0，0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)， 则得令x＝1，则z＝1.所以n2＝(1，0，1)，cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为，所以此角的大小为45°. 6.【多选题】如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，平面AED1与平面AED的夹角为α，则(　　) A．DF⊥平面AED1 B．d＝ C．sin θ＝ D．cos α＝ 答案　BCD 解析　以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图， 则A(0，0，0)，E(2，1，0)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)，A1(0，0，2)，F(2，0，1)，所以＝(2，1，0)，＝(0，2，2)，＝(2，－1，0)，＝(2，－2，1)． 设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则由得 令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2，2)． 因为＝(2，－2，1)，不存在λ使m＝λ，即与m不共线，所以DF与平面AED1不垂直，故A不正确． 又因为＝(0，0，2)，所以d＝＝＝，故B正确． 又＝(2，－1，0)， 所以sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝，故C正确． 又＝(0，0，2)为平面AED的一个法向量， 所以cos α＝＝＝，故D正确． 7.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________． 答案　 8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________． 答案　 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点． (1)求证：CF∥平面A1DE； (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 解析　(1)证明：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)， 则＝(2，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，－2，1)， 设平面A1DE的法向量n＝(a，b，c)， 则 取n＝(－2，1，2)， ∴·n＝(0，－2，1)·(－2，1，2)＝0， 又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE. (2)由题意＝(0，2，0)是平面A1DA的法向量，∴cos〈n，〉＝＝， 即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为. 10.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点． (1)求证：A1C⊥BN； (2)求二面角B－A1N－C的正弦值． 解析　(1)证明：取AC的中点O，连接BO，A1O.由题意知BO⊥AC，A1O⊥AC.又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则B(，0，0)，A1(0，0，)，N，C(0，1，0)，＝(0，1，－)，＝. 因为·＝0＋＋(－)×＝0，所以A1C⊥BN. (2)由(1)得＝，＝(，0，－)．设平面A1BN的法向量为n1＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n1＝. 又平面A1NC的法向量n2＝(1，0，0)．设二面角B－A1N－C的平面角为θ，则|cos θ|＝＝. 所以sin θ＝. 即二面角的正弦值为. 11.【多选题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，BB1＝5，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上且靠近A1，当CE⊥B1E时，则(　　) A．BE＝2 B．DE＝ C．S△ACE＝3 D．二面角A1－B1E－D的余弦值为 答案　BD 解析　依题意可知BA⊥BC，BB1⊥BA，BB1⊥BC，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设AE＝t，<t≤5，则B(0，0，0)，B1(0，0，5)，C(0，4，0)，E(2，0，t)，C1(0，4，5)，D(1，2，5)， 所以＝(2，－4，t)，＝(2，0，t－5)． 因为CE⊥B1E，所以·＝2×2－4×0＋t(t－5)＝0，即t2－5t＋4＝0， 解得t＝4或t＝1(舍)， 所以E(2，0，4)， BE＝＝2，A不正确． DE＝＝，B正确． 因为AC＝＝＝2， 所以S△ACE＝×AC×AE＝×2×4＝4，C不正确． 取平面A1B1E的一个法向量为＝(0，4，0)， 设平面DB1E的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(1，2，0)，＝(1，－2，－1)， 由即 取y＝1，则x＝－2，z＝－4，所以n＝(－2，1，－4)， 显然二面角A1－B1E－D为锐二面角， 所以二面角A1－B1E－D的余弦值为＝＝，D正确． 12．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若AC＝2，二面角P－BC－A的大小为60°，三棱锥P－ABC的体积为，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 解析　以点C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，z轴⊥平面ACB，建立空间直角坐标系，如图所示， ∵PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， ∴BC⊥PC， ∴∠ACP即为二面角P－BC－A的平面角． 又二面角P－BC－A的大小为60°， ∴∠PCA＝60°. 在Rt△PAC中，AC＝2，∠PAC＝90°，∠PCA＝60°， ∴PA＝2，即P(2，0，2)， ∴S△PAC＝×2×2＝2. ∵三棱锥P－ABC的体积为，∴V三棱锥P－ABC＝S△PAC×||＝×2×||＝， ∴||＝2，即B(0，2，0)． ∵BC⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为n＝(0，1，0)， 又＝(－2，2，－2)，||＝2， ∴|cos〈n，〉|＝＝＝， ∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为. 13．(2019·天津，理)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长． 解析　依题意，可以建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)． 可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)． 设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)． (1)证明：依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量， 又＝(0，2，h)，可得·＝0， 又因为直线BF⊄平面ADE， 所以BF∥平面ADE. (2)依题意，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)， 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则即 不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1)， 因此有|cos〈，n〉|＝＝. 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. (3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量， 则即 不妨令y1＝1，可得m＝. 由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝. 所以线段CF的长为. 14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC.若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1－BC－A的大小为φ，则θ与φ的大小关系为(　　) A．θ>φ B．θ<φ C．θ＝φ D．不确定 答案　B 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(十二) 1．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面的夹角为(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．120° C．60°或120° D．90° 2．在三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，则tan θ的值为(　　) A. B. C. D. 5．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6.【多选题】如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，平面AED1与平面AED的夹角为α，则(　　) A．DF⊥平面AED1 B．d＝ C．sin θ＝ D．cos α＝ 7.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________． 8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________． 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点． (1)求证：CF∥平面A1DE； (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 10.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点． (1)求证：A1C⊥BN； (2)求二面角B－A1N－C的正弦值． 11.【多选题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，BB1＝5，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上且靠近A1，当CE⊥B1E时，则(　　) A．BE＝2 B．DE＝ C．S△ACE＝3 D．二面角A1－B1E－D的余弦值为 12．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若AC＝2，二面角P－BC－A的大小为60°，三棱锥P－ABC的体积为，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值． 13．(2019·天津，理)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长． 14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC.若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1－BC－A的大小为φ，则θ与φ的大小关系为(　　) A．θ>φ B．θ<φ C．θ＝φ D．不确定 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $