1.2 空间向量基本定理 限时训练-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础概念辨析、几何体中向量运算到综合应用的三阶分层设计，强化空间观念与运算推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基底概念、向量性质判断|单选形式考查基底构成条件与共面性质，如第1-2题| |中档|几何体向量表示、共面与投影|平行六面体中向量分解（第3-7题）、多选共面判断（第8-10题）及系数计算（第11-13题）| |拔高|综合应用与探究|解答题结合基底表示证明垂直、求长度（第14题）及动态参数问题（第15题）|

1.2 空间向量基本定理限时训练 1．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 3．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 11．（25-26高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 12．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 13．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 14．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理限时训练 1．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 3．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 7．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 8．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 9．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：BD 10．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 11．（25-26高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 12．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 13．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 14．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设基向量，利用基底表示，根据三点共线即可求出； （2）根据基底以及得出即可求出. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，得. （2）因为，且， 所以， 得，即， 故，即，所以的最大值为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $