1.2.1空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高中数学选择性必修第一册

1.2.1　空间向量基本定理　同步练习

第四课时

一、考点梳理

基本定理：若 , , 不共面，则对任一空间向量 ，存在唯一有序实数组 (x, y, z)，使 = x + y + z。

基底：{, , } 称为空间的一个基底，a, , 称为基向量。

正交基底：若 , , 两两垂直，则称为正交基底。

推论（四点共面）：P, A, B, C 四点共面 当且仅当存在实数 x, y, z，x+y+z = 1，使 = x· + y· + z·。

共面判定：向量 与 , 共面 当且仅当 = x + y（, 不共线）。

基底唯一性：同一向量在同一基底下的坐标是唯一的。

空间基本定理是平面向量基本定理的推广，是建立空间坐标系的理论基础。

二、基础巩固

填空题

1. [基础] 已知{, , }是空间基底，若 = 2 − + 3，则 的坐标为        。

2. [基础] 在四面体 中， = , = , = ，则 =        （用 , 表示）。

3. [基础] 已知 , , 不共面，若 = 2 + λ + 与 = − + μ 共线，则 λ =      ，μ =      。

4. [基础] 判断：若{, , }是空间的一个基底，则 , , 中任两个不共线。    （填“正”或“错”）

5. [基础] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，则 BD1 =        （用 , , 表示）。

选择题

6. [基础] 下列说法正确的是   

A. 空间任意三个向量都可作基底 B. 若{a, b, c}是基底，则 a, b, c 两两垂直

C. 空间任一向量在给定基底下的表示唯一 D. 三个非零向量一定构成基底

7. [基础] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，则 AC1 用{a, b, c}表示为     

A. a + b + c B. a + b − c

C. a − b + c D. −a + b + c

8. [提升] 已知 O 为空间一点， = , = , = ，若 = 2 + 3 − 4，则 P, A, B, C 的位置关系是     

A. P, A, B, C 共面 B. P, A, B, C 共线

C. P 在 ABC 外 D. 不确定

三、能力提升

9. [提升] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，M 为 BC 中点，N 为 A1C 中点。

(1) 用 , , 表示

(2) 用 , , 表示

10. [提升] 已知{, , }是空间基底，设 = + + ，q = + − ，r = − + 。

(1) 判断{, , }是否也能构成基底

(2) 用{, , }表示

四、拓展探究

11. [拓展] 在四面体 中， = , = , = ，M 为 中点，N 为 中点。

(1) 用 , , 表示 和

(2) 判断 与面 C 的关系，并证明