1.2.1空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-能力提升-拓展探究”三层设计，覆盖空间向量基本定理及应用，以概念辨析、综合运算到几何证明的递进路径，培养数学推理能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（坐标表示、向量线性运算、基底性质）|填空选择结合，直接应用定理（如基底坐标书写、共线参数计算）| |能力提升|综合应用（中点向量表示、基底判定）|平行六面体情境，融合多步运算（如中点坐标推导、基底行列式判断）| |拓展探究|空间几何应用（位置关系证明）|四面体载体，深化逻辑推理（如线面平行证明，体现空间观念）|

人教版高二数学选择性必修第一册·空间向量同步练习 人教A版高中数学选择性必修第一册 1.2.1　空间向量基本定理　同步练习 第四课时 一、考点梳理 基本定理：若 , , 不共面，则对任一空间向量 ，存在唯一有序实数组 (x, y, z)，使 = x + y + z。 基底：{, , } 称为空间的一个基底，a, , 称为基向量。 正交基底：若 , , 两两垂直，则称为正交基底。 推论（四点共面）：P, A, B, C 四点共面 当且仅当存在实数 x, y, z，x+y+z = 1，使 = x· + y· + z·。 共面判定：向量 与 , 共面 当且仅当 = x + y（, 不共线）。 基底唯一性：同一向量在同一基底下的坐标是唯一的。 空间基本定理是平面向量基本定理的推广，是建立空间坐标系的理论基础。 二、基础巩固 填空题 1. [基础] 已知{, , }是空间基底，若 = 2 − + 3，则 的坐标为 。 2. [基础] 在四面体 中， = , = , = ，则 = （用 , 表示）。 3. [基础] 已知 , , 不共面，若 = 2 + λ + 与 = − + μ 共线，则 λ = ，μ = 。 4. [基础] 判断：若{, , }是空间的一个基底，则 , , 中任两个不共线。 （填“正”或“错”） 5. [基础] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，则 BD1 = （用 , , 表示）。 选择题 6. [基础] 下列说法正确的是 A. 空间任意三个向量都可作基底 B. 若{a, b, c}是基底，则 a, b, c 两两垂直 C. 空间任一向量在给定基底下的表示唯一 D. 三个非零向量一定构成基底 7. [基础] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，则 AC1 用{a, b, c}表示为 A. a + b + c B. a + b − c C. a − b + c D. −a + b + c 8. [提升] 已知 O 为空间一点， = , = , = ，若 = 2 + 3 − 4，则 P, A, B, C 的位置关系是 A. P, A, B, C 共面 B. P, A, B, C 共线 C. P 在 ABC 外 D. 不确定 三、能力提升 9. [提升] 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = a, AD = b, AA1 = c，M 为 BC 中点，N 为 A1C 中点。 (1) 用 , , 表示 (2) 用 , , 表示 10. [提升] 已知{, , }是空间基底，设 = + + ，q = + − ，r = − + 。 (1) 判断{, , }是否也能构成基底 (2) 用{, , }表示 四、拓展探究 11. [拓展] 在四面体 中， = , = , = ，M 为 中点，N 为 中点。 (1) 用 , , 表示 和 (2) 判断 与面 C 的关系，并证明 参考答案 填空题 1. [基础] (2, −1, 3) 解析： = 2−+3，坐标为 (2, −1, 3)。 2. [基础] − 解析： = − = −。 3. [基础] −2，1/2 解析： ∥ 设 = kq，2 = k，λ = −k = −2，1 = kμ = 2μ，μ = 1/2。 4. [基础] 正 解析：若 , 共线，则{, , }不构成基底。因此任两个不共线。 5. [基础] − + + 解析：BD1 = BA+AD+DD1 = −a+b+c。 选择题 6. [基础] C 解析：A 错（需不共面）；B 错（正交基底需两两垂直，但一般基底不必）；C 对（基本定理保证唯一性）；D 错。 7. [基础] A 解析：AC1 = AB+BC+CC1 = a+b+c。 8. [提升] A 解析：2+3−4 = 1，x+y+z = 1，由推论知 P, A, B, C 共面。 能力提升 9. [提升] (1) M 为 中点， = + = +(1/2)。 (2) A1C = A1A+AC = −c+(a+b) = a+b−c。 AN = AA1+A1N = c+(1/2)A1C = c+(1/2)(a+b−c) = (1/2)(a+b+c)。 = − = (++)/2 − (+/2) = (−)/2。□ 10. [提升] (1) 在{,,}基底下，p = (1,1,1)，q = (1,1,−1)，r = (1,−1,1)。 行列式 = 1(1+1)−1(1+1)+1(−1−1) = 2−2−2 = −2 ≠ 0，故{,,}不共面，能构成基底。 (2) 设 = xp+yq+zr，则： x+y+z = 1，x+y−z = 0，x−y+z = 0。 解得 x = 0，y = 1/2，z = 1/2。 故 = (1/2)+(1/2) = (1/2)(+−)+(1/2)(−+) = 。□ 拓展探究 11. [拓展] (1) = (+)/2 = (+)/2， = (+)/2 = (+)/2。 (2) = − = (+)/2−(+)/2 = (−)/2 = (1/2)。 故 ∥ 。由于 ⊂ 面 C，且 ⊄ 面 C（M 在 上，N 在 上），故 ∥ 面 C。□ 学科网（北京）股份有限公司 $