1.3.2 空间向量运算的坐标表示（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，以题型分层构建“基础巩固-综合应用”路径，通过各地期中期末真题强化运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|共线、模长、数量积等单一概念|选用河北张家口、北京海淀等地期中题，直接套用公式，巩固运算能力| |中档层|坐标运算与模长、夹角等双知识点综合|设置参数计算题型（如题型07），培养推理意识| |综合层|垂直、平行与投影向量等多知识点融合|含多选题及法向量结合题（如2026山西太原二模），发展空间观念与创新意识|

分层作业 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 目 录 1 题型01 由空间向量共线求参数或值 1 题型02空间向量模长的坐标表示 3 题型03求空间向量的数量积 4 题型04空间向量夹角余弦的坐标表示 5 题型05空间向量垂直的坐标表示 7 题型06空间向量平行的坐标表示 8 题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 9 10 12 14 题型01 由空间向量共线求参数或值题型01 1.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 2.（25-26高二上·北京海淀·期末）已知，，若，以下向量中可以作为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形， 作，，如下图所示： 作，，则、是分别与向量、同向的单位向量， 以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分， 由向量加法的平行四边形法则可知，且有， 因为，且，则，设，即， 因为、不共线，则，所以，故， A选项合乎题意， 故选：A. 3.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 题型02空间向量模长的坐标表示题型02 4.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 5.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 6.（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【解析】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 题型03求空间向量的数量积题型03 7.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得． 故选：A. 8.（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 9.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得． 故选：A. 题型04空间向量夹角余弦的坐标表示题型04 10.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 11.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 12.（24-25高二上·江西抚州·期末）（多选题）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 题型05空间向量垂直的坐标表示题型05 13.（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 14.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 15.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 题型06空间向量平行的坐标表示题型06 16.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题可得. 因，则.故选：B 17.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题可得. 因，则.故选：B 18.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【解析】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示题型07 19.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为 故选：A. 20.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为 故选：A. 21.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】由向量加法得， 所以. 1.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 2.（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为. 故选：B. 3.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 4.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 5.（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，解得：， 故. 6.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以，解得，所以. 1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的投影向量为 . 故选：C 2.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的投影向量为 . 故选：C 3.（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 4.（25-26高二下·福建福州·期中）（多选题）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【解析】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 1.（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 2.（25-26高二上·山东济南·期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．在方向上的投影向量的模为 D．的面积为 【答案】BD 【解析】，故A错误； ，，，故B正确； 设，的夹角为， 在方向上的投影向量的模为， 故C错误； ， 又，所以， 所以的面积为， 故D正确. 故选：BD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.3.2空间向量运算的坐标表示 目录 A组 巩固过关 题型01由空间向量共线求参数或值 题型02空间向量模长的坐标表示.… .3 题型03求空间向量的数量积… ..4 题型04空间向量夹角余弦的坐标表示.… .5 题型05空间向量垂直的坐标表示… .7 题型06空间向量平行的坐标表示.… .8 题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 9 B组 能力进阶 m.a..m 10 C组 思维拔高 12 拓展 链接高考 ..14 1/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01由空间向量共线求参数或值 1.(25-26高二上河北张家口期中)设不yeR 向量a=(x1,6=),c=2,42）,且a1e, 6∥，则2a--() A25 B,3V2 C.4 D.3 2(25.26高二上北京海淀期末)已知a=,2同)，c=20+i,若a网-伍，以下向量中可以作为6 的是() A. (4,0,4) B.(2,02) c.(5,12 D.(3,2) 3(25.26高=上河北张家口期中)设yeR,向a=(,1山，.6=，=24,2），且a1C, 6∥c,则2a-=() 2V5 B.3V2 C.4 D.3 题型02 题型02空间向量模长的坐标表示 4(2526高=上河北衡水期末)设x,yeR,向量a=(x1山，6=L0,c=2,-2,2),且a1 ,i1G,则a+ () 4.2V2 B.3 c v5 D.4 5(2526高二上河北衡水期末)设，∈R,向量a=(),石=，c=22,2）,且a1 ,/,则+=（) 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2v2 B.3 c.v5 D.4 6.(25-26高二下浙江·期中)下列命题错误的是（) A.若向量8=0-22).6=(-2,44)，则6 B.若向量a=0-2),则=3 c.若向量a=(4-2,2.6=(2-10),则“在6上的投影向量是26 122Y D.若向量ā=(，-2,2)，则与ā共线的单位向量是3’3'3 题型03 题型03求空间向量的数量积 7(25-26高=上安微期中)已知i=3,4).6=L,22),则0在5上的投影向量坐标为() 51010 A.(333 B.(5,10,10) 111 151515 c.（26'13'13 D.（26'13'13 &(2526商二上广东满江期末)已知向量9=(2，)，6=-1，-2），且向量0与0夹角的余弦信为 5 6,则元的值为() -5 A.-5 B C v5 D.5V5 或 9(2526高=上安教期中)已知=L34),6=(2,2),则0在6上的投影向量坐标为() 51010 A.(333 B.(5,10,10) 111 151515 C.（26'13'13 D.（26'13'13 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04空间向量夹角余弦的坐标表示 10.(25,26高二上江苏镇江阶段检测）在空间直角坐标系中，向量8=(21m),万=(21,2），下列 结论正确的是(). A.若a6,则m=2 B.若后L6,则m= 2 3 D若行在6上的教影狗量为点5.则m=号 1 C.若(a,b)为锐角，则m> 2 11.(25-26高二上江苏镇江阶段检测)在空间直角坐标系中，向量 =2,1m）万=(-2,12），下列 结论正确的是()， A.若a/6,则m=2 B.若后L万，则m= 2 c.若(a,6)为锐角，则m>2 D.若行在6上的投影向量为5.则m=号 12.(2425高二上江西抚州期末)《多选题)已知空同向量瓜=(，2,4)，员=(24，则下列选 项中正确的是() A当m1时，K=3 时，8 B.当m/n C.当m+列=6时，x=-3 D.当x=1时， si(,=35 1 颗型05 题型05空间向量垂直的坐标表示 13.(2526商二上r广东深圳期胖)设xeR,向量a=(,h).6=化-2，且a1五，则a+=() A.2V2 B.25 C.4 D.3 14(25-26高=上浙江期)设5yeR,向量a=(12),6=(2.c=(44,2),且1c6E 则五-=() A.3 B 2V3 c.4 D.26 15.(25-26高=上浙江期中)设yeR,向量i=(k,L2),6=(2,1.d=4,-4,2）,且i1c.61E, 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.2V5 2 D 颗型06 题型06空间向量平行的坐标表示 16(25-26高=下江苏南京阶段检测设a=(2-),五=(-2,32)，若(a+6(a-6）,则无的 值是() A.3 B. C.3 D.-3 17.(2526高二下江苏南京阶段检测)设=L,2-),6=(-232),若a+6a-30),则的 值是() 1 A. 3 B.3 C.3 D.-3 18(25-26高二上辽宁朝阳期末)设yeR,向量i=(2,6=(-2月，6=(2，-4)，且 a1b,b11,则 +b 等于() 2W2 B,3V2 C.3 D.4 颗型07 题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 19(2526商=上天津武清阶段检测已知向量=(25.02），向量5-(0)， 则向量a在向量6 上的投影向量为() A. (N50,3 B.（5,0则 c.(0, D.(5,0 20(2526高二上天津武清阶段检测)已知向量0=(25.0,2），向量6=(0，). 则向量a在向量b 上的投影向量为() A.(5.0,3 B.（5,01 c.(0, D.(（5,0 5/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(25-26高二下-河南平顶山期末)己知空间直角坐标系中的△4BC满 AB=(0,2,1) Bc=(-12,0),则4C=() A V6 B.3 C.32 D.5 B组 能力进阶 1(2526商=上辽宁朝啊期末)设”yeR,向量i=(B,6=-2月，=2-44，且 a16,61c,则+6等于() 2W2 B32 C.3 D.4 2(25-26高二上陕西渭南期中)己知向量a=2-1,6=4,.c=0,-2-》,当a16时向量6在 向量°上的投影数量为() 6v11 6W11 A.6 B.-V6 c.11 D.11 3(25-26高二上山西期中)已知向是a=(0-1,2,万=(1,3，-2)，若81（日+）， 则实数入的值为 () A.-2 B.-1 C.1 D.2 4(25-26高二上山西期中)已知向量a=L-12),万=-(13，-2)，若a1(+),则实数元的值为 () A.-2 B.-1 C.1 D.2 5(2526高二下江苏盐藏期末)已知空间向量a=(mm8),万=(-21,9，且a/历，则m+1= () A.2 B.-1 C.1 D.-2 6(2526高二下河南许昌期末)已知响量i=(2,3利)，6=(m风8)，若a5,则加+川的省为 () A.14 B.10 C.8 D.7 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1(252ǒ高=上景龙江哈尔滨期末)已知空间向量4=2，-1)，6=2-12)， 则向量a在向量b上 的投影向量为() 424 424 A.（99'9 B.(2,-1,2) 2.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期末)已知空间向量 =0,2-10万=(2-12）， 则向量“在向量b上 的投影向量为() 424 A.(9’9'g B.(2,-12) 3(24-25有二上云南玉溪阶段检测)在空间直角坐标系中，向量0=（亿，-山m),万=(4,2，，下列 结论正确的是() A.者06 则m2 B.若a16,则m= 2 C.若a,）为钝角，则m<2 1 D.若a在6上的投影向量为石6，则m=4 4.(25-26高二下·福建福州期中)（多选题）已知空间中三点 01.B(22,,c2,10),则() A.AC-5 15 0, B. CB方向上的单位向量是2'2 C.元=0，-2,2)是平面4BC的一个法向量 5 D.BC在AC上的投影向量的模为5 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1(2026山西太原二模》已知空同向量a=(7,-川)，平面“的一个法向显为=(00，则向量“在 平面C上的投影向量是() 4 A.（-4,1,3) B c.(4,-1,-3) 2.(25-26高二上山东济南期末)（多选题）在空间直角坐标系Oz中，40,1，)，B(1,12),则() A.A=2 B.04.OB=3 3 V3 C.OA在OB方向上的投影向量的模为2D.AOAB的面积为 818