1.1.1空间向量及其线性运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层覆盖空间向量概念、线性运算及共线应用，梯度从基础认知到综合应用，适配新授课概念巩固与能力提升，培养抽象能力、空间观念及推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|空间向量概念及性质|选择、填空题为主，如单位向量判断、命题真假辨析，强化概念理解| |运算理解层|线性运算及几何表示|结合长方体、三棱锥情境，如向量加减运算、几何表示，培养空间观念| |综合应用层|共线定理及推论应用|含证明、参数求解及体积计算，如三点共线参数求法、线面平行证明，发展推理能力|

1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的有关概念 1．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 2．下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 3．四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 【答案】/ 【分析】法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解. 【详解】法一：如图1，将四棱锥放入正方体中， 延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接， 过点作与交于点， 此时，，，，四点共面，则与的交点为点， ，又，则，，， ，. 法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点， 连接交于点，过点作交于点， 则点为上靠近点的四等分点． ，，则，，， 又，． 4．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 题型二 空间向量的加减运算 5．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 6．在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 7．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 8．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 【答案】， 【分析】利用空间向量的加法运算及数乘运算求解即可． 【详解】如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为是的中点， 所以， 因为是的中点， 所以． 题型三 空间向量加减运算的几何表示 9．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 10．四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则（    ） A．直线与平面有一个交点 B． C． D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【分析】根据两直线平行确定一个平面和线面平行的判定可判断A；由线面平行的判定得平面，再由线面平行的性质可判断B；利用空间向量和四点共面的条件可判断C；利用等体积法求解可判断D 【详解】取PC的中点Q，连接EQ，DQ， 因为E是棱PB的中点，则， 因为，则，即A、D、E、Q四点共面，则直线l为直线EQ， 因为平面，平面，， 则平面，即平面，故A错； 因为底面，平面，则， 又底面为正方形， 所以，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以是等腰直角三角形， 又PC的中点Q，所以， 因为，平面，，， 则平面，又平面，所以，故B对； 设，， 平面，所以四点共面， 则，得，即，故C错； 由，故D对； 故选：BD 11．平行六面体中，，，则实数的值为______ 【答案】2 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 12．如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 【答案】， 【分析】利用空间向量的加减法即可求解. 【详解】由题意得. ＝＝. 题型四 空间向量共线的判定 13．在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 14．下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 15．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 16．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 题型五 由空间向量共线求参数或值 17．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 18．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 B．若，是两个不共线的向量，且（，，，），则构成空间的一个基底 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 【答案】CD 【分析】对于A选项：由四点共面的充要条件即可验证；对于B选项：由构成基底的条件即可判断；对于C选项：由三点共线的充要条件即可判断；对于D选项：若两个平面平行，则它们的法向量也对应平行，然后由向量平行的充要条件即可判断. 【详解】对于A选项：若P，A，B，C四点共面，由于A，B，C三点不共线， 所以由平面向量基本定理有， 进一步有，整理得， 所以此时的系数之和恒为1， 若，则有的系数之和；故A选项不符合题意. 对于B选项：若，是两个不共线的向量，且（，，，），则 共面， 所以不能构成空间的一个基底；故B选项不符合题意. 对于C选项：若，则有，整理得，即， 所以A，B，C三点共线；故C选项符合题意. 对于D选项：若，则它们对应的法向量与也平行， 所以，有，即，解得；故D选项符合题意. 故选：CD. 19．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，， 平面，平面，∴平面，∵平面， ∴，由（1）可知，在中，，∴， 则与相似，则，在中，，， ∴，∴， ∴. 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 21．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 22．如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于，      可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 23．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________． 【答案】 －1 0 【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n. 【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由，得， 由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0． 故答案为：-1；0. 24．如图，已知是平面外两点，. (1)求证：平面； (2)若，求该几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，由线面平行的判定可得∥平面，∥平面，再由面面平行的判定可得平面∥平面，然后由面面平行的性质可得结论， （2）取的中点分别为，连接，则由已知条件可得四边形和四边形都是平行四边形，从而可得四边形是平行四边形，则可得该几何体为三棱台，然后结合已知数据可求出棱台的体积 【详解】（1）证明：， ， ∵平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∴平面∥平面， ∵平面， ∥平面. （2）取的中点分别为，连接，如图. ， ， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ， 则四边形是平行四边形， ， 结合（1）证知，该几何体为三棱台， ∵，， ∴平面， ， 故该几何体的体积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的有关概念 1．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 3．四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 4．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 题型二 空间向量的加减运算 5．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 6．在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 7．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 8．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 题型三 空间向量加减运算的几何表示 9．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 10．四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则（    ） A．直线与平面有一个交点 B． C． D．三棱锥的体积为 11．平行六面体中，，，则实数的值为______ 12．如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 题型四 空间向量共线的判定 13．在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 14．下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 15．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”） 16．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 题型五 由空间向量共线求参数或值 17．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 18．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 B．若，是两个不共线的向量，且（，，，），则构成空间的一个基底 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 19．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 21．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 23．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________． 24．如图，已知是平面外两点，. (1)求证：平面； (2)若，求该几何体的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $