1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 限时训练-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《用空间向量研究直线、平面的位置关系》同步练以基础巩固-中档应用-综合探究分层，覆盖向量运算、位置关系证明等核心知识，通过梯度设计培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量、向量垂直等单一运算|单选1-5直接考查概念应用，填空11-12强化基础计算| |中档|三点共线、线面关系等综合应用|单选6-7结合几何情境，多选8-9辨析位置关系| |综合|多面体中复杂位置关系证明|解答14-15需构建模型论证，多选10提升空间想象|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系限时训练 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 4．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 6．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 9．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（    ） A．直线∥平面 B．直线平面 C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 13．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 14．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 15．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系限时训练 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面法向量与平面内向量垂直，即且，设，求得关系后判断. 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 2．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】A 【详解】因为，所以，解得 4．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 6．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据三点共线得出空间向量平行，应用平行坐标关系计算求解. 【详解】因为三点共线， 所以，且， 所以， 则. 故选：B. 7．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 9．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（    ） A．直线∥平面 B．直线平面 C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于 【答案】BCD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得到各个点的坐标，对于A，只需验算是否成立即可，其中是平面的法向量；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，只需求出即可判断；对于D，只需结合面面平行的性质定理即可判断. 【详解】以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则由题意可得，， ， 对于A，设平面的法向量为，因为， 所以，令，解得， 所以平面的法向量可以为， 注意到， 而， 从而直线与平面不平行，故A错误； 对于B，注意到，，所以， 所以，这表明也是平面的法向量， 故直线平面，故B正确； 对于C，， 所以直线与的夹角的余弦值为， 所以直线与的夹角为，故C正确； 对于D，设平面与平面的交线为， 因为平面平面，平面平面，平面平面直线， 所以直线直线，即平面与平面的交线平行于，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可． 【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 11．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 13．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 14．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 15．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $