27.3实际问题与反比例函数第一课时工程问题和行程问题分层训练2026年暑假预习人教版九年级数学

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，分层设计工程与行程问题，从基础建模到综合应用，强化知识迁移与问题解决能力，适配暑假巩固提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一工程/行程问题的函数关系建立与简单计算|直接应用概念，如工程问题第1题求v与t关系| |提升|含数据表格、图象的问题及简单变式|结合图表分析，如行程问题第2题利用限速求时间范围| |综合|跨情境综合应用及中考真题|对接中考，如2026江苏扬州中考题研究视野与速度关系|

27.3实际问题与反比例函数（第1课时） 工程问题和行程问题分层训练 1、 工程问题 1.某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 2.某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 3.镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要多少台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 4.某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系． (1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？ 5.一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． (1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 6.某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 2、 行程问题 1.某条公路上有甲、乙两个测速点，从甲到乙汽车平均行驶速度（）与行驶时间（）呈反比例函数关系，其图象如图所示．若某辆汽车从甲到乙所用时间为，则该汽车平均行驶速度是______． 2.如图，是某高速路上的测速区间，小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在此路段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图），已知这条高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定驾驶小型载客汽车通过该测速区间段的时间可能是（    ）． A． B． C． D． 3.元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 4.从A地到B地，我们可以乘坐不同的列车：特快、动车、高铁．设列车的平均速度为，全程运行的时间为．若乘坐特快列车以的平均速度行驶需要． (1)写出t与v之间的函数表达式； (2)若某动车走此路段的平均速度为，那么它全程运行需要多长时间？ (3)如果全程运行时间控制在内，那么乘坐的高铁的平均速度至少应为多少？ 5.李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 6.超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 7.12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 1.某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 2.综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 3.甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 4.某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 1.（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 2．（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 27.3实际问题与反比例函数（第1课时） 工程问题和行程问题分层训练答案 一、工程问题 1.（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 2.（1）解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 3.（1）解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， ， ∴与之间函数表达式为， 故答案为：． （2）将代入， 解得， 答：用小时卸完所有货物，求卸货速度为吨小时； （3）解：∵只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时， ∴每台吊机的卸货速度吨小时， 由（1）可得货物的重量为吨 设需要台吊机同时作业 ∴为了实现小时内完成卸货， 解得： ∵为正整数， ∴最小为， 故至少需要5台吊机同时作业． 4.（1）解：设关于的反比例函数解析式为， 当时，， 将其代入函数解析式可得， 关于的函数解析式为； （2） 解：当时，代入可得， 解得， 时随的增大而减小，且要将生产成本控制在30元以内（不包含30元）， 需要大于， 又为零件的生产数量，应为正整数， 至少为167，故至少需要生产167个零件． 5. （1）解：由题意，， ∴， 若以最快速度装船，需1小时完成， 得，则， 故自变量x的取值范围为； （2）由题意得， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，装船速度的取值范围为． 6. （1）解：设原计划每天加工个零件，根据题意得：， 解得，(舍去)， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划每天加工零件个． （2）解：不妨设原计划完成任务的天数为，那么，实际每天加工的零件个数为 个， ∵实际每天至少要加工20个零件， ∴， ∴， ∵的图象在时，随的增大而减小， ∴当取最小值时，天数最多， 此时天数 (天) ， 答：原计划完成任务的天数最多为天． 二、行程问题 1. 2. B  3.（1）解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； （2）解：当时，． 答：小汽车速度为时，从乙地到甲地需要． 4. （1）解：设A地与B地的路程为， 则， 把，代入上式，得， 解得， 与v之间的函数表达式为； （2）解：当时， （h）， 所以它全程运行需要； （3） 解：令，则， 解得（）， 对于函数，当时，t随着v的增大而减小， 所以当时，， 所以乘坐的高铁的平均速度至少应为． 5. （1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2） 解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 6. （1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时，， ∴不能． 7.（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 1. （1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3） 解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 2. （1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2） 解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3） 解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4） 解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 3.（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 4.（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2） 解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 1.（1） （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 2．（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）②③ 学科网（北京）股份有限公司 $