25.3 实际问题与一元二次方程（第一课时）几何问题分层训练 2026年暑假预习人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进的几何问题设计，从基础建模到综合应用，适配暑假巩固与能力提升，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一几何情境列方程|选择填空为主，融入杨辉问题、黄金分割等传统文化情境，强化抽象能力| |提升层|复杂图形与动态问题|含参数矩形、运动点问题，如矩形耕地挖水渠、装裱尺寸计算，发展推理能力| |拓展层|中考真题与综合应用|结合羊圈围栏、停车场规划等实际场景，需分类讨论与验证，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

25.3实际问题与一元二次方程（第一课时） 几何问题（分层训练） 1.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 2.黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB//NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，若NP = 2 cm，设AC的长cm.则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3.芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 5.用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 6.如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（   ） A． B． C． D． 7.若直角三角形三条边长是连续的三个正整数，则这个直角三角形的周长是_______． 8.用一根长为40cm的细绳，围成一个面积为96 cm2的矩形，此矩形的长是_____cm． 9.《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．设道路的宽为，可列方程为________． 10.如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园，其中一边靠18米的墙，另外三边是周长为30米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长 为___米． 11.如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 12.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 13.小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2 ， 小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2 ． ”他的说法对吗？请说明理由． 1.如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 2.如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 3.如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 4.如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 5.现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 6.如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 1.（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2.（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    4.（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5.（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25.3实际问题与一元二次方程（第一课时） 几何问题（分层训练）答案 1.A 2. A 3. D 4.A 5.B 6.C 7. 12 8. 12 9. 10.10 11.解：设水渠的宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：水渠的宽为． 12.（1） （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 13.（1）解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm， 由题意，得 ， 解得：x1=12，x2=28， 当x=12时，较长的为40﹣12=28cm， 当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去） ∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm （2）解：设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm， 由题意，得 ， 变形为：m2﹣40m+416=0， ∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根， ∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2． 1.米或米 2. A    3.（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 4.（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 5.（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①拼图如下： ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 6.（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，， ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 1.C 2. A 3. 4.解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 5.  （1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 学科网（北京）股份有限公司 $