3.2.1 单调性与最大（小）值（1）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的概念、判断及证明，课堂导入先回顾函数表示法，通过绘制f(x)=x、f(x)=x²图像观察变化趋势，从具体函数到抽象定义，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以图像观察培养数学眼光，通过定义证明发展数学思维，结合物理实例强化数学语言。如用f(x)=x²从图像特征到符号语言定义，步骤清晰的证明题（如对勾函数）培养推理能力，玻意耳定律应用体现模型观念。学生能提升抽象与推理能力，教师可依托完整环节高效教学。

3.2.1单调性与最大（小)值（1） 第三章 函数概念与性质 常用表示法 函数的表示法 分段函数 函数的实际应用 解析法 列表法 图象法 定 义 图 象 成绩的分析 个税的计算 回顾旧知 前面我们学习了函数的一些基本概念和函数的表示法，下面我们再来研究函数的一些性质. 我们知道，函数的图象千姿百态，有些地方象山峰，有些地方象山凹，有些关于轴对称，有些关于点对称，等等… 新知探究 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质. 请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法. 图（1） 图（2） 可观察到的图象特征： 图（1）中函数f(x)=x的图象由左至右是上升的； 新知探究 新知探究 x≤0时,y随x的增大而减小 x≥0时,y随x的增大而增大 f(x)在(-∞,0]上单调递减 f(x)在[0,+∞)上单调递增 归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势可能不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也可能不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映. 图（1） 图（2） 新知探究 问题2 函数 和函数 各有怎样的单调性？     在区间上单调递减，区间上单调递增. 在区间上单调递增，区间上单调递减. 新知探究 单调性的定义   单调递增 单调递减 定义 图示 ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 区间D为f(x)的单调递减区间. 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 单调性是局部性质 ②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 区间D为f(x)的单调递增区间. 概念生成 8 【补充说明】 （1）区间可以是整个定义域. 如函数，他在定义域上单调，. （2）区间可以是定义域的真子集，如函数，，当时，函数单调递减. （3）区间一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称作单调递增或者单调递减. ①设 是区间 上某些自变量的值组成的集合，而且，，当时，都有，我们能说函数在区间 上单调递增吗？你能举例说明吗？ 解： 对于函数，取区间，集合，则， ，当，都有 .但在上并不单调递增. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 思考问题 -3 -2 -1 1 2 1 2 3 4 ②函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 思考问题 y -5 -4 O 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -2 -1 1 2 3 x 例题分析 时间x 气温y O · · · · · · · 8 12 14 16 18 20 10 变式练习. 整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 变式练习 例1.根据定义，研究函数f(x)＝kx+b(k≠0)的单调性. 例题分析 用定义证明函数的单调性的步骤 第一步，在区间上任取两个自变量的值，，并规定； 第二步，计算，将分解为若干可以直接确定符号的式子； 第三步，确定的符号. 若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减. 归纳小结 例题分析 例题分析 变式练习 变式练习 变式练习 练 习 1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产上工人数量间的关系. 工人数 生产效率 O 巩固练习 4. 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. -1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 O x y 巩固练习 巩固练习 课堂小结 增函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象 从左自右是下降的. （2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点： “在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函 数值的大小. （3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. （1）增减函数的图象有什么特点？ （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f (x1)－f (x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④确定符号（即判断差f (x1)－f (x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f (x)在给定的区间D上的单调性）． 在上为增函数 在上为减函数 在上为增函数 在上为减函数 函数单调性定义的等价形式 （对于任意的，且≠） 自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数. $