3.2.1 函数单调性与最大(小)值课件（2）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件涵盖函数解析式求解、单调性证明及最值，通过回顾单调性定义，结合图像观察引入最值概念，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步理解函数性质。 其亮点在于运用图像法、定义法等多种方法，结合二次函数含参最值分类讨论及对勾函数性质，培养数学思维的推理能力和数学眼光的抽象能力。通过符号语言精准定义最值，学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可利用结构化资源实施分层教学。

课后作业(做本子上) 作业答案 作业答案 作业答案 作业答案 math9527Yao 6 f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]<0 要在定义域上讨论单调区间. [3,＋∞) 回顾： math9527Yao 7 回顾： 函数单调性的定义 判断函数单调性(求单调区间)的方法： 图象法(平移/变换)、定义法、观察法 熟悉函数作图：一次/二次/反比例/分段函数 函数单调性的主要运用： 比较函数值大小、求函数的值域(最值) math9527Yao 8 新课引入 思考：这两组函数图像各有何共同点？ 有最低点 有最高点 math9527Yao 9 阅读课本P79-P81，5分钟后完成下列问题： 1. 说说函数的最大(小)值一定存在且唯一吗？ 2. 二次函数在闭区间上的最值与什么有关？ 阅读课本P79-P81，5分钟后完成下列问题： 1. 说说函数的最大(小)值一定存在且唯一吗？ 2. 二次函数在闭区间上的最值与什么有关？ math9527Yao 10 探究 观察下图如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？ 即如何用“数”刻画“形”？ 二次函数的图象上有一个最高点，即都有 当一个函数的图象有最高点时， 我们就说函数有最大值。 二次函数的图象上有一个最低点，即都有 当一个函数的图象有最低点时， 我们就说函数有最小值。 math9527Yao 11 新知学习：函数的最大值与最小值 函数 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足： ∀x∈I，都有f(x)≤M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. ∀x∈I，都有f(x)≥M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素. 无最小值 ②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察). math9527Yao 12 概念辨析 问题1 是否每个函数都有最大值、最小值？ 问题2 如果一个函数有最大(小)值，有几个？ 最大(小)值是唯一的， 但是取最大(小)值的自变量可以有多个。 画函数图象解释 没有最大值，也没有最小值。 有最大值， 但没有最小值。 math9527Yao 13 例1 函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值， 最大值分别为（ ） A、 B、 、 、 例2 如图所示为函数,的图象，求函数的最值？ 解：图象最高的点是 最低的点是 所以当时取得最大值，最大值为3， 当时取得最小值，最小值为。 math9527Yao 14 教P81例5 函数，求函数的最大值和最小值？ 解：，且，则： ，得，， ，函数在区间上单调递减； 所以，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值， 在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是. 在时取得最大值， 最大值是； 在时取得最小值， 最小值是. math9527Yao 15 方法总结 求函数最值的常用方法 （1）画出函数的图象； （2）观察图象，找出图象的最高点和最低点； （3）最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。 F1：图象法 （1）若函数， 则函数的最小值 （2）若函数， 则函数的最小值 F2：单调性法 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值。 math9527Yao 16 math9527Yao 17 探究2 求下列函数的最值： (1); ,; ,; ,; (1) (2) (4) (1)min (2)min (3)min (4)min (3) 提升运用：二次函数的最值 (轴动区间定、轴定区间动) math9527Yao 18 【例】求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值。 求对称轴 以区间端 点为界移 对称轴 讨论对称轴+单调 性+最值 汇总结论 轴动区间定 math9527Yao 19 【例】求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最大值。 求对称轴 以区间端 点为界移 对称轴 讨论对称轴+单调 性+最值 汇总结论 轴动区间定 math9527Yao 20 [例]函数f(x)=x2－2x－3，x∈[t,t+1], t∈R, 求f(x)的最小值g(t). 求对称轴 以对称轴 为参照移 区间 讨论区间端点+单调 性+最值 汇总结论 轴定区间动 math9527Yao 21 课堂小结 函数定义 最大值 求函数最值 最小值 类比 图形语言 文字语言 符号语言 定性 定量 形 数 一般 特殊 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值(M) 最小值(m) ②对于任意x∈I，都有f(x)≤M ①存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上 最高点的纵坐标 ②对于任意x∈I，都有f(x)≥m ①存在x0∈I，使得f(x0)＝m 函数y＝f(x)图象上 最低点的纵坐标 math9527Yao 22 求对称轴：； 小结：二次函数在闭区间[m，n]上的最值问题： 小结：二次函数在闭区间[m，n]上的含参最值问题： 对称轴确定，区间含参数 【轴动区间定】 【轴定区间动】 math9527Yao 23 教材P92对勾函数 教材P101飘带函数 练 已知函数f(x)＝求f(x)的最值？ $