专题10 认识二元一次方程组 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题10 认识二元一次方程组 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.概念认知：掌握二元一次方程的定义、判定条件，精准区分方程类型 2.体系构建：理解二元一次方程组的定义、组成规则，明晰结构特征 3.核心判定：熟练掌握方程、方程组解的定义与验证方法 4.概念区分：厘清二元一次方程与方程组解的数量差异 ✅本节核心知识点为概念判定＋解的验证，吃透定义核心条件、区分易混概念，即可掌握本节全部课内知识点。 ✺学习目标 1.熟记核心概念：精准掌握二元一次方程、二元一次方程组的标准定义，牢记判定必备条件。 2.熟练辨析题型：能够快速甄别各类方程、方程组，准确判断是否为二元一次方程（组）。 3.掌握验证方法：学会代入数值，精准验证一组数是否为二元一次方程（组）的解。 4.理清概念差异：明确二元一次方程无数组解、二元一次方程组唯一公共解的核心区别。 5.初步简单应用：结合基础实际情境，能够列出简单的二元一次方程。 ✺题型归纳 题型1.二元一次方程的定义 题型2.二元一次方程的解 题型3.判断是否是二元一次方程组 题型4.判断是否是二元一次方程组的解 题型5.已知二元一次方程组的解求参数 题型6.根据实际问题列二元一次方程组 题型7.根据几何图形列二元一次方程组 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二元一次方程 1.标准定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.三大判定条件 ①含且仅含两个未知数； ②含未知数的项的次数全部为1，无平方、高次项，未知数不出现于分母、根号内； ③整体为整式方程，无分式、根式结构。 3.一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0） 知识点二、二元一次方程的解 1.定义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做该二元一次方程的一个解。 2.主要特点：①解是成对数值（x、y一一对应），不能单独取值； ②任意二元一次方程都有无数组解。 3.验证方法：将x、y的值代入方程，等式成立即为解，反之则不是。 知识点三、二元一次方程组 1.定义：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组。 2. 主要特点：① 方程组整体仅有两个未知数； ② 所有方程均为一次方程； ③ 特殊规则：单个方程可只含一个未知数，只要整体符合要求，仍为二元一次方程组。 ④方程组中相同字母必须代表同一个未知量，否则不构成有效的二元一次方程组。 知识点四、二元一次方程组的解 1.定义：能够同时满足方程组中所有方程的公共未知数解，叫做二元一次方程组的解。 2.解的数量区别 ① 单个二元一次方程：有无数组解； ② 二元一次方程组：有且只有唯一一组公共解。 3.解的检验步骤 ▲检验一组未知数的值是否为二元一次方程组的解，需严格分为两步： ①将未知数的值分别代入方程组的每一个方程； ②若两个方程左右两边的值都相等，则该组数值是此方程组的解；只要有一个方程不成立，就不是该方程组的解。 知识点五、一元一次方程与二元一次方程对比 1.两类方程核心对比 相同点：均为整式方程、含未知数的项最高次数为1； 不同点：一元一次方程仅含1个未知数、仅有唯一一组解；二元一次方程含2个未知数、有无数组解。 知识点六、易错点提醒 1.判定二元一次方程需同时满足三大核心条件，缺一不可，重点核查未知数个数、含未知数项的次数、方程是否为整式方程。 2.未知数出现在分母、根号内，或含未知数高次项的方程，均不属于二元一次方程。 3.二元一次方程组不要求每个方程都含两个未知数，以整体未知数数量为准。 4. 仅满足方程组中单个方程的数值，不属于方程组的公共解。 5.杜绝概念混淆：单个二元一次方程有无数组解，标准二元一次方程组仅有唯一一组公共解。 ✺题型精讲 题型1.二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 2． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 3．根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为a，乙数为b，根据甲数的2倍比乙数的一半少3列出二元一次方程即可． （2）设甲每天做x个，乙每天做y个，根据甲一共做了9天，乙做了6天，根据两人完成1088个列出二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设甲数为a，乙数为b， 根据题意得： （2）解：设甲每天做x个，乙每天做y个， 根据题意得： 题型2.二元一次方程的解 1．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 2．若方程的一个解是，则_____． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把，代入方程，得 解得． 3．若关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________． (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，直接求_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 题型3.判断是否是二元一次方程组 1．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 3．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 题型4.判断是否是二元一次方程组的解 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 2．写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 3．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 题型5.已知二元一次方程组的解求参数 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 2．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 3．要使方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】 【分析】先通过消元用含的代数式表示出，再根据方程组有正整数解的要求，得到为正整数，从而推出是的正约数，即可求出整数的值. 【详解】解：， 由②得 ， 把代入①得， 整理得 ， ∴， ∵方程组有正整数解，为整数，， 是正整数时，即可满足题意， ∴是的正约数， ∴， ∴. 题型6.根据实际问题列二元一次方程组 1．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意直接列方程组即可． 【详解】解：∵八年级（1）班共有40名同学， ∴； 又∵八年级（1）班共捐款275元， ∴． ∴所列方程组为． 2．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 【答案】 【分析】先提取两人投中总数量的条件，因为爸爸投中数加小明投中数等于20个，所以可列出对应的二元一次方程，再提取两人得分相等的条件，因为爸爸总得分是投中数乘1，小明总得分是投中数乘3，二者相等，所以可列出对应的二元一次方程，将两个方程联立，即可得到所求的方程组． 【详解】解：根据题意找两个等量关系列方程： 两人一共投中20个，因此爸爸投中个数+小明投中个数，得方程：， 两人得分相等，爸爸总得分是分，小明总得分是分，因此得方程： ， 组合后得到方程组． 3．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】2，3 【分析】设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得到二元一次方程组，通过整理，解方程组即可． 【详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 整理，得：， 解得：， 答：应选用A种食品2包，B种食品3包． 题型7.根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 2．你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．设设一个球上有白色皮块块、黑色为块，根据“足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可． 【详解】解：设一个球上有白色皮块块、黑色为块， ∵每块白色皮块有六条边，共条边，且每块白色皮块有条边与黑色皮块的边连在一起， ∴黑色皮块共有条边与白色皮块相连接， ∵所有黑色皮块的边数为， ∴可列式为． 故答案为：． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 2．解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 4．为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活动．学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有（     ） A．8种 B．7种 C．6种 D．5种 【答案】D 【分析】设购买x件A种奖品，y件B种奖品，根据题意列出二元一次方程，由x，y均为正整数列举所有符合条件的方程的解即可得出． 【详解】解：设购买x件A种奖品，y件B种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴共有5种购买方案． 5．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，． 二、填空题 6．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 7．若是方程的解，则______． 【答案】11 【分析】据此把代入原方程得到，再整体代入，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴. 8．某学校的一种营养餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养餐的总质量为，各种成分的质量如下表；经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多，可列出方程组为________． 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（） m 15 n 120 【答案】 【分析】根据营养餐总质量得到蛋白质与矿物质质量和的等量关系，再根据蛋白质与矿物质的数量关系得到第二个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意可得，营养餐四种成分总质量为， 因此， 整理得； 又因为蛋白质的质量比矿物质质量的倍多， 因此； 联立可得方程组． 9．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设每个小长方形的长为 x，宽为y，根据题意列方程可求得，即每个小长方形的面积为；再运用阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为 x，宽为y， 则，解得：， 所以每个小长方形的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 三、解答题 10．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【答案】(1)苹果的价格，梨的价格 (2)，． 【分析】（1）根据所列方程组，写出未知数表示的意义即可； （2）根据题意列方程组，求解即可． 【详解】（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 11．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 【答案】共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔 【分析】设购买笔记本数量为本，碳素笔数量为支，根据总花费列出二元一次方程，且均为正整数．对变形后的方程分析因为，所以必须是正偶数，由此确定的可能取值．将符合条件的逐一代入方程，求出对应的正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】解：设购买x本笔记本，y支碳素笔， 依题意得：， ． 又x，y均为正整数， 共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔． 12．已知甲、乙两种物品共有13个，甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重． (1)列出关于的二元一次方程组． (2)与哪组是该方程组的解？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及解，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接列出方程组； （2）分别把与代入（1）方程组进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意可列方程组为； （2）解：把代入得：， ∴不是方程组的解； 把代入得：， ∴是方程组的解． 13．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解． (1)求a，b，c的值； (2)求方程满足，的非负整数解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将已知解代入方程，并用 、 消元，解出 后，进而解得 、． （2）将 代入得方程 ，可得 ，由非负整数解及 列举即可求出解． 【详解】（1）解：是的解， ， 把代入得， 把，代入得， ，解得， ，． （2）解：由（1）得，，， 方程，化为， 即 ， ， x为非负整数，为非负整数，且，， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 当，，符合题意， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 原方程的整数解为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 认识二元一次方程组 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.概念认知：掌握二元一次方程的定义、判定条件，精准区分方程类型 2.体系构建：理解二元一次方程组的定义、组成规则，明晰结构特征 3.核心判定：熟练掌握方程、方程组解的定义与验证方法 4.概念区分：厘清二元一次方程与方程组解的数量差异 ✅本节核心知识点为概念判定＋解的验证，吃透定义核心条件、区分易混概念，即可掌握本节全部课内知识点。 ✺学习目标 1.熟记核心概念：精准掌握二元一次方程、二元一次方程组的标准定义，牢记判定必备条件。 2.熟练辨析题型：能够快速甄别各类方程、方程组，准确判断是否为二元一次方程（组）。 3.掌握验证方法：学会代入数值，精准验证一组数是否为二元一次方程（组）的解。 4.理清概念差异：明确二元一次方程无数组解、二元一次方程组唯一公共解的核心区别。 5.初步简单应用：结合基础实际情境，能够列出简单的二元一次方程。 ✺题型归纳 题型1.二元一次方程的定义 题型2.二元一次方程的解 题型3.判断是否是二元一次方程组 题型4.判断是否是二元一次方程组的解 题型5.已知二元一次方程组的解求参数 题型6.根据实际问题列二元一次方程组 题型7.根据几何图形列二元一次方程组 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二元一次方程 1.标准定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.三大判定条件 ①含且仅含两个未知数； ②含未知数的项的次数全部为1，无平方、高次项，未知数不出现于分母、根号内； ③整体为整式方程，无分式、根式结构。 3.一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0） 知识点二、二元一次方程的解 1.定义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做该二元一次方程的一个解。 2.主要特点：①解是成对数值（x、y一一对应），不能单独取值； ②任意二元一次方程都有无数组解。 3.验证方法：将x、y的值代入方程，等式成立即为解，反之则不是。 知识点三、二元一次方程组 1.定义：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组。 2. 主要特点：① 方程组整体仅有两个未知数； ② 所有方程均为一次方程； ③ 特殊规则：单个方程可只含一个未知数，只要整体符合要求，仍为二元一次方程组。 ④方程组中相同字母必须代表同一个未知量，否则不构成有效的二元一次方程组。 知识点四、二元一次方程组的解 1.定义：能够同时满足方程组中所有方程的公共未知数解，叫做二元一次方程组的解。 2.解的数量区别 ① 单个二元一次方程：有无数组解； ② 二元一次方程组：有且只有唯一一组公共解。 3.解的检验步骤 ▲检验一组未知数的值是否为二元一次方程组的解，需严格分为两步： ①将未知数的值分别代入方程组的每一个方程； ②若两个方程左右两边的值都相等，则该组数值是此方程组的解；只要有一个方程不成立，就不是该方程组的解。 知识点五、一元一次方程与二元一次方程对比 1.两类方程核心对比 相同点：均为整式方程、含未知数的项最高次数为1； 不同点：一元一次方程仅含1个未知数、仅有唯一一组解；二元一次方程含2个未知数、有无数组解。 知识点六、易错点提醒 1.判定二元一次方程需同时满足三大核心条件，缺一不可，重点核查未知数个数、含未知数项的次数、方程是否为整式方程。 2.未知数出现在分母、根号内，或含未知数高次项的方程，均不属于二元一次方程。 3.二元一次方程组不要求每个方程都含两个未知数，以整体未知数数量为准。 4. 仅满足方程组中单个方程的数值，不属于方程组的公共解。 5.杜绝概念混淆：单个二元一次方程有无数组解，标准二元一次方程组仅有唯一一组公共解。 ✺题型精讲 题型1.二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 3．根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 题型2.二元一次方程的解 1．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若方程的一个解是，则_____． 3．若关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________． (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，直接求_____． 题型3.判断是否是二元一次方程组 1．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 3．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 题型4.判断是否是二元一次方程组的解 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 2．写出一个解为的二元一次方程组________． 3．已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 题型5.已知二元一次方程组的解求参数 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 2．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 3．要使方程组有正整数解，求整数的值． 题型6.根据实际问题列二元一次方程组 1．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，经计算，发现两人的得分恰好相等．你能知道他们两人各投中几个吗?设爸爸投中x个，小明投中y个，可列方程组为________． 3．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 题型7.根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 2．你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为______． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    ✺巩固测试 一、单选题 1．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 2．解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 4．为庆祝香港回归25周年，某校开展了以“爱我中华，强国有我”为主题的演讲庆祝活动．学校计划拿出180元钱全部用于购买A、B两种不同类别的奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知A奖品每件15元，B奖品每件10元，则购买方案有（     ） A．8种 B．7种 C．6种 D．5种 5．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A．B． C． D． 二、填空题 6．若方程组，则的值是_____． 7．若是方程的解，则______． 8．某学校的一种营养餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养餐的总质量为，各种成分的质量如下表；经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多，可列出方程组为________． 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（） m 15 n 120 9．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题 10．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 11．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 12．已知甲、乙两种物品共有13个，甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重． (1)列出关于的二元一次方程组． (2)与哪组是该方程组的解？ 13．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解． (1)求a，b，c的值； (2)求方程满足，的非负整数解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $