专题09 一次函数的应用 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题09 一次函数的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础铺垫：一次函数定义、解析式、图象性质、待定系数法 2.核心模块：单一的一次函数实际应用、双一次函数图象综合应用 3.知识联动：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的数形转化 4.核心题型：行程问题、梯度计价、分配方案、最大利润、几何综合及各类线性实际问题 ✅本节核心学习目标是将生活实际问题、基础几何问题抽象转化为一次函数数学模型，依托函数解析式完成定量计算，借助函数图象进行定性分析，实现变量趋势判断、数值求解与最优方案选择，是初中数学数形结合思想的重点应用章节。 ✺学习目标 1.熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，能够结合实际情境与几何限制条件，精准确定自变量的有效取值范围。 2.熟练解读一次函数图象的截距、增减性、交点等核心要素，准确掌握其对应的实际意义与几何意义。 3.理清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在关联，熟练运用函数图象解方程、判断不等式解集。 4.掌握本节九大核心题型的解题思路与逻辑方法，可独立完成实际应用题与基础几何综合题的求解。 5.建立数学建模与数形结合思维，提升几何直观与逻辑推理能力，养成严谨规范的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 题型6.一次函数与几何综合 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型9.利用图象法解一元一次方程 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、一次函数的应用解题步骤 1.定变量：仔细审题，明确题目中的自变量与因变量，判断两个变量是否符合一次函数的线性变化规律； 2.建模型：根据变量关系，设一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)； 3.求式：代入两组有效变量对应值，通过待定系数法求解参数k、b，确定完整函数解析式； 4.解题验证：结合实际场景或几何约束，确定自变量有效取值范围，依托解析式或图象解题，最终验证结果符合实际意义与几何规则。 知识点二、函数图象核心要素 1.(0,b)y轴交点（纵截距）：自变量取值为0时对应的因变量数值，代表问题初始状态。 ◆在实际问题中，通常表示基础收费、初始路程、原有储量、初始产量等固定初始量，是分析应用题初始条件的核心依据。 2.(-,0)x轴交点（横截距）：因变量取值为0时对应的自变量数值，代表问题归零临界状态。 ◆在实际问题中，常用来表示运动终止、费用清零、资源耗尽、收支平衡等临界情况，是求解各类临界问题的关键。 3.函数增减性：函数的增减趋势由比例系数k的符号唯一确定。 当k>0时，图象自左向右上升，因变量随自变量增大而增大； 当k<0时，图象自左向右下降，因变量随自变量增大而减小。 ◆可用于判断利润、费用、路程、储量等变量的变化趋势，是求解函数最值的核心依据。 4.双函数图象交点：同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的公共点，其横、纵坐标同时满足两个函数解析式。 ◆实际应用中，交点代表两种方案费用相等、两车位置重合、收支持平、利润一致的临界状态，是解决方案择优、盈亏分析、行程追及相遇等综合题型的核心突破口。 知识点三、一次函数与方程、不等式的数形关系 1.与一元一次方程的对应关系 直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解； 若方程 kx+b=0(k≠0)的解为x=m，则直线y=kx+b必定经过点 (m,0)； ◆图象法解方程：绘制对应一次函数图象，读取图象与x轴交点的横坐标，该数值即为对应一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的对应关系 ▲ kx+b>0(k≠0)：一次函数图象位于x轴上方的部分，对应的自变量x的取值范围，即为该不等式的解集； ▲ kx+b<0(k≠0)：一次函数图象位于x轴下方的部分，对应的自变量x的取值范围，即为该不等式的解集。 知识点四、七大核心题型总结 1.分配方案问题：两种及以上资源分配、物资调配方案，可分别建立一次函数模型。以两函数图象交点为临界分界点，分区间对比函数值大小，结合实际约束条件筛选最优分配方案。 2.最大利润问题：结合售价、成本、销量的数量关系，建立利润随销量或产量变化的一次函数模型，结合自变量实际取值范围，利用函数增减性求解有效区间内的最大利润。 3.行程问题：适用于匀速直线运动场景，函数系数k代表运动速度，常数b代表初始路程或初始距离，可求解单人行驶、两车追及、相遇对比等常规行程问题。 4.梯度计价问题：适用于基础固定费用+匀速变动费用的计费场景，涵盖水费、电费、出行打车、会员套餐等，通过建立一次函数模型，计算不同用量、时长对应的总费用。 5.其他线性问题：针对产量变化、物料损耗、工程进度等具备线性变化规律的实际场景，统一套用一次函数建模四步法解题。 6.一次函数与几何综合：结合平面直角坐标系，利用函数解析式、交点坐标等已知条件，求解线段长度、图形面积、顶点坐标等基础几何量。 7.函数与方程专项：熟练掌握直线与x轴交点、一元一次方程的解、图象法解方程三者的双向数形转化关系，应对各类基础数形结合题型。 知识点五、易错点提醒 1.实际问题与几何问题中，自变量取值受限，并非全体实数，解题需优先结合情境确定有效定义域。 2.比例系数k的正负决定函数增减性，是判断变量趋势、求解最值的核心，解题不可混淆正负属性。 3.数形转化需严谨，严格区分函数图象上下区间，避免不等式解集判断颠倒出错。 4.一次函数最值不能单独依靠增减性判断，需结合增减性+自变量有效取值范围综合求解。 5.几何综合题中，需精准对应函数坐标与线段、面积等几何量的关系，区分代数计算与几何概念，避免混淆失误。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张． 3．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．(其中) 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 1．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 2．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 3．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 题型4.梯度计价问题 1．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（     ） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 2．学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 3．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 1．文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ 3．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 题型6.一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则下列数值中k不能取的是（   ） A． B． C．2 D．5 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 3．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 3．利用函数图象解下列方程 (1) (2) 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．直线与轴的交点坐标为______． 3．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 题型9.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 3．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． ✺巩固测试 一、单选题 1．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 2．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 4．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．春节期间两家商场开展促销活动，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中实付金额超过元的部分打七折．以（元）表示商品原价，（元）表示购物实付金额，有下列结论： ①当时，在甲乙商场购物花费相同； ②当时，在甲商场购物划算； ③当时，在甲商场购物划算． 其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于的方程的解为，则直线一定经过点_______． 7．一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 8．A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________． 9．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 10．一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 三、解答题 11．某市出租车白天的收费标准如下：起步价为8元，即路程不超过时收费8元，超过部分每千米收费1.5元．设乘客白天乘坐出租车的路程为，乘车费为y元． (1)当时，求y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当时，求乘车费y的值． 12．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 13．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 14．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数的应用 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础铺垫：一次函数定义、解析式、图象性质、待定系数法 2.核心模块：单一的一次函数实际应用、双一次函数图象综合应用 3.知识联动：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的数形转化 4.核心题型：行程问题、梯度计价、分配方案、最大利润、几何综合及各类线性实际问题 ✅本节核心学习目标是将生活实际问题、基础几何问题抽象转化为一次函数数学模型，依托函数解析式完成定量计算，借助函数图象进行定性分析，实现变量趋势判断、数值求解与最优方案选择，是初中数学数形结合思想的重点应用章节。 ✺学习目标 1.熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，能够结合实际情境与几何限制条件，精准确定自变量的有效取值范围。 2.熟练解读一次函数图象的截距、增减性、交点等核心要素，准确掌握其对应的实际意义与几何意义。 3.理清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在关联，熟练运用函数图象解方程、判断不等式解集。 4.掌握本节九大核心题型的解题思路与逻辑方法，可独立完成实际应用题与基础几何综合题的求解。 5.建立数学建模与数形结合思维，提升几何直观与逻辑推理能力，养成严谨规范的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 题型6.一次函数与几何综合 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型9.利用图象法解一元一次方程 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、一次函数的应用解题步骤 1.定变量：仔细审题，明确题目中的自变量与因变量，判断两个变量是否符合一次函数的线性变化规律； 2.建模型：根据变量关系，设一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)； 3.求式：代入两组有效变量对应值，通过待定系数法求解参数k、b，确定完整函数解析式； 4.解题验证：结合实际场景或几何约束，确定自变量有效取值范围，依托解析式或图象解题，最终验证结果符合实际意义与几何规则。 知识点二、函数图象核心要素 1.(0,b)y轴交点（纵截距）：自变量取值为0时对应的因变量数值，代表问题初始状态。 ◆在实际问题中，通常表示基础收费、初始路程、原有储量、初始产量等固定初始量，是分析应用题初始条件的核心依据。 2.(-,0)x轴交点（横截距）：因变量取值为0时对应的自变量数值，代表问题归零临界状态。 ◆在实际问题中，常用来表示运动终止、费用清零、资源耗尽、收支平衡等临界情况，是求解各类临界问题的关键。 3.函数增减性：函数的增减趋势由比例系数k的符号唯一确定。 当k>0时，图象自左向右上升，因变量随自变量增大而增大； 当k<0时，图象自左向右下降，因变量随自变量增大而减小。 ◆可用于判断利润、费用、路程、储量等变量的变化趋势，是求解函数最值的核心依据。 4.双函数图象交点：同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的公共点，其横、纵坐标同时满足两个函数解析式。 ◆实际应用中，交点代表两种方案费用相等、两车位置重合、收支持平、利润一致的临界状态，是解决方案择优、盈亏分析、行程追及相遇等综合题型的核心突破口。 知识点三、一次函数与方程、不等式的数形关系 1.与一元一次方程的对应关系 直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解； 若方程 kx+b=0(k≠0)的解为x=m，则直线y=kx+b必定经过点 (m,0)； ◆图象法解方程：绘制对应一次函数图象，读取图象与x轴交点的横坐标，该数值即为对应一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的对应关系 ▲ kx+b>0(k≠0)：一次函数图象位于x轴上方的部分，对应的自变量x的取值范围，即为该不等式的解集； ▲ kx+b<0(k≠0)：一次函数图象位于x轴下方的部分，对应的自变量x的取值范围，即为该不等式的解集。 知识点四、九大核心题型总结 1.分配方案问题：两种及以上资源分配、物资调配方案，可分别建立一次函数模型。以两函数图象交点为临界分界点，分区间对比函数值大小，结合实际约束条件筛选最优分配方案。 2.最大利润问题：结合售价、成本、销量的数量关系，建立利润随销量或产量变化的一次函数模型，结合自变量实际取值范围，利用函数增减性求解有效区间内的最大利润。 3.行程问题：适用于匀速直线运动场景，函数系数k代表运动速度，常数b代表初始路程或初始距离，可求解单人行驶、两车追及、相遇对比等常规行程问题。 4.梯度计价问题：适用于基础固定费用+匀速变动费用的计费场景，涵盖水费、电费、出行打车、会员套餐等，通过建立一次函数模型，计算不同用量、时长对应的总费用。 5.其他线性问题：针对产量变化、物料损耗、工程进度等具备线性变化规律的实际场景，统一套用一次函数建模四步法解题。 6.一次函数与几何综合：结合平面直角坐标系，利用函数解析式、交点坐标等已知条件，求解线段长度、图形面积、顶点坐标等基础几何量。 7.函数与方程专项：熟练掌握直线与x轴交点、一元一次方程的解、图象法解方程三者的双向数形转化关系，应对各类基础数形结合题型。 知识点五、易错点提醒 1.实际问题与几何问题中，自变量取值受限，并非全体实数，解题需优先结合情境确定有效定义域。 2.比例系数k的正负决定函数增减性，是判断变量趋势、求解最值的核心，解题不可混淆正负属性。 3.数形转化需严谨，严格区分函数图象上下区间，避免不等式解集判断颠倒出错。 4.一次函数最值不能单独依靠增减性判断，需结合增减性+自变量有效取值范围综合求解。 5.几何综合题中，需精准对应函数坐标与线段、面积等几何量的关系，区分代数计算与几何概念，避免混淆失误。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张． 【答案】 一 500 二 200 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可． 【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000； 故答案为：， （3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾． 若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张， 则有， 解得，与已知矛盾； 若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾． 故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二． 此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有， 解得，但此时，矛盾； 若采用方案二的购票超过100张，则有， 解得，此时，符合题意， 再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙． 故答案为：一、500，二、200． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题． 3．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 2．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．(其中) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 1．如图①，为内蒙古首条穿沙公路（锡乌公路），其在库布齐沙漠段几十公里几乎无弯道．一辆客车和一辆货车恰好分别从该公路的A，B两地同时出发相向而行．客车、货车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图②所示，则点P的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求得，关于x的函数解析式，即可求得点的坐标． 【详解】解：设， 根据图象，将代入， 可得， 解得， ∴， 设， 根据图象，将，代入， 可得， 解得， ∴， 则可得， 解得， 则点P的横坐标为． 2．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 3．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】（1）根据图象直接求解即可； （2）先求出小明的速度，然后结合图象得出，即可确定点的坐标，再写出表示的实际意义即可； （3）根据题意得出爸爸的速度是（米分钟），然后分两段时间写出函数关系式即可； （4）根据题意直接计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 题型4.梯度计价问题 1．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（     ） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 【答案】C 【分析】当时，设直线的解析式为，利用待定系数法求出，再求出当时的值即可． 【详解】解：当时，设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴， 当时，， ∴若该用户本月用水16吨，则应交水费39.6元． 2．学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 【答案】（为整数，且） 【分析】先求出超出部分的乒乓球的付款金额为元，再根据付款总金额球拍总金额盒乒乓球金额超出部分的乒乓球的付款金额列式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴超出部分的乒乓球的数量为盒， ∵超出部分的乒乓球按原价打八折， ∴超出部分的乒乓球的付款金额为元， ∴付款总金额为， ∴与之间的函数解析式为（为整数，且）． 3．某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费．现有某户居民5月份用水x吨（），应缴水费y元，请回答下列问题： (1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式； (2)若小明家本月用水15吨，请问小明家应缴水费多少元？ 【答案】(1) (2) 21元 【分析】（1）根据等量关系列式化简即可得到关系式； （2）将用水量代入关系式计算即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意得，，10吨以内水费为元，超过10吨部分水量为吨，对应水费为元， ∴，化简得， 即应缴水费与用水量的关系式为； （2）解：由题意得，小明家本月用水量吨，，符合的条件， 将代入得， 答： 小明家应缴水费21元． 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 1．文具店出售定制笔记本，收费方式为固定制版费与每本印刷费的和．已知定制10本笔记本时，总费用为55元；定制20本时，总费用为105元．设定制笔记本数量为x本（x为正整数），总费用为y元，下列关于y与x的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与的函数解析式为（）． 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴函数解析式为． 2．某水库的水位在小时内持续上涨，初始的水位高度为米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度（单位：米）关于时间（单位：小时）的函数解析式为________ 【答案】 【分析】总水位高度等于初始水位高度加上小时上涨的水位高度，根据上涨水位等于速度乘时间列关系式． 【详解】解： 已知初始水位高度为米，水位上涨速度为每小时米， 则小时上涨的水位高度为米， 因此总水位高度， 结合的取值范围， 可得函数解析式为． 3．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）先求出谷时的充电单价，再求出低谷用电费用，加上6即可求解； （2）令y等于高峰充电费用6加上低谷充电费用即可求解； （3）求出低谷充电的时间即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴低谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）解：由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，； （3）解：由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 题型6.一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则下列数值中k不能取的是（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】求出直线恰好经过点或点时的值，进行判断即可. 【详解】解：∵，，直线， ∴当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∵直线与线段有交点， ∴或； 故k不能取. 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】或 【分析】要使直线与线段有交点，将点，的坐标分别代入直线解析式，求出对应的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：把代入直线得：， ∴直线过定点， 将代入得：， 解得：， 直线与线段有交点， ∴， 将代入得：， 解得：， 直线与线段有交点， ∴， 综上所述：或． 3．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 2．若一次函数的图象经过点，则方程的解是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过点 当时， 方程的解是． 3．利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与轴交点坐标的求法，求直线与轴的交点坐标，令，然后解关于的方程，得到的值和组成的坐标就是直线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 3．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解：， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 题型9.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 2．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解. 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. 3．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 【答案】(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． ✺巩固测试 一、单选题 1．学校组织寄递爱心包裹，两家快递公司给出了不同的计费方案．甲公司的方案是：按包裹重量计费，每千克 元，无起步价；乙公司的方案是：收取 元基础服务费，之后每千克元．若设包裹重量为千克，总费用为 元，两家公司的费用分别用一次函数 和 表示．当包裹重量为多少千克时，选择这两家公司的费用恰好相同？（     ） A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 【答案】C 【详解】解：当两家费用相等时，， 移项得， 解得， 即包裹重量为千克时费用相同． 2．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1得：． 3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，且甲车的速度比乙车快．两车相遇时原地休息了，又各自按原速前往目的地．甲、乙两车之间的距离与乙所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论不正确的是（     ） A．A、B之间的距离为 B．的值为 C．甲行驶的速度是乙的倍 D．的值为 【答案】B 【分析】根据时，可判断A选项；再由甲车行驶的时间和路程可求解甲车的速度，由相遇时可得甲乙的速度和，进而可求解乙车的速度，由此可判断C选项；再根据甲乙行驶的路程和速度求解和的值，由此可判断BD选项． 【详解】解：A选项，当时，， 可知A、B之间的距离为，故A选项正确； C选项，由图象可知，在时，甲车到达目的地，此时只有乙车还在行驶， ∴甲行驶的速度为， ∴乙行驶的速度为， ∵， ∴甲行驶的速度是乙的倍，故C选项正确； D选项，当时，且乙行驶的速度为， 此时乙行驶了，故，故D选项正确； B选项，后，乙行驶的路程为，且乙行驶的速度为， ∴乙又行驶了， ∴，即的值为，故B选项错误 ． 4．在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的解析式可知，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，根据关于轴对称的点的坐标之间的关系可知点的坐标为，即可求出，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 5．如图，甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．春节期间两家商场开展促销活动，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中实付金额超过元的部分打七折．以（元）表示商品原价，（元）表示购物实付金额，有下列结论： ①当时，在甲乙商场购物花费相同； ②当时，在甲商场购物划算； ③当时，在甲商场购物划算． 其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分别列出甲、乙两商场实付金额与原价的函数关系式，结合图象交点坐标及不等式性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：甲商场：； 乙商场：当时， ； 当时，. 对于①，当时，，， ，即在甲乙商场购物花费相同，故①正确； 对于②，由图象可知，当时，的图象在的下方，即， 在甲商场购物划算，故②正确； 对于③，当时，，， ， ，即在乙商场购物划算，故③错误． 综上所述，正确的结论有①②，共2个． 二、填空题 6．若关于的方程的解为，则直线一定经过点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 7．一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】方程的解是一次函数中，函数值时对应的自变量的值，已知一次函数图像经过点，即可得到方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为． 8．A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________． 【答案】 【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式． 【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机 W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）] ＝140x+12540， 故答案为：W＝140x+12540． 【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式． 9．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 10．一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【答案】①②③④ 【分析】由函数图像即可判断①③，再根据函数图像可知出发小时，小汽车到达A地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断②④． 【详解】解：由函数图象可得：A、B两地相距120千米，出发1小时，货车与小汽车相遇，故①③正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达A地， ∴小汽车的速度为（千米/小时）， ∵两车相遇时，速度之和为120千米/小时， ∴货车的速度为（千米/小时）， ∴出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（千米），故②正确； ∵小汽车的速度为80千米/小时，货车的速度为40千米/小时， ∴小汽车的速度是货车速度的2倍，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 三、解答题 11．某市出租车白天的收费标准如下：起步价为8元，即路程不超过时收费8元，超过部分每千米收费1.5元．设乘客白天乘坐出租车的路程为，乘车费为y元． (1)当时，求y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当时，求乘车费y的值． 【答案】(1)；是 (2)12.5 【分析】（1）根据超过部分每千米收费1.5元列式，然后根据一次函数的定义判断即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵乘客白天乘坐出租车的路程为，，则超过部分为千米， ∴，是一次函数； （2）解：把代入得，． 12．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 13．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 【答案】(1)20；14 (2)4米/秒 (3)2.5秒；19秒；29秒 【分析】由图可知，甲起飞后上升到20米的高度保持不变，故该高度为甲在空中的停留高度，甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． 无人机在上升过程中匀速飞行，则甲上升到20米处，用时5秒，根据“速度=路程÷时间”求出的速度，就是甲的上升速度． 满足两架无人机所在高度相差10米的值共分为3种情况： ，此时用10米除以甲的速度，即可求出值，为秒； ，此时用甲的上升高度减去乙的上升高度，可得到式子，解得秒，故总时间秒； ， 秒处，甲乙的上升高度相同，此后用乙的上升高度减去甲的上升高度，可得到式子，解得秒，故秒． 【详解】（1）解：由图可知，甲在空中的停留高度为20米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． （2）解：甲上升到20米处，用时5秒，则速度为： （米/秒）． （3）解：满足条件的值有3个： 秒， 秒， 秒． 14．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $