专题10二元一次方程组的认识及解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

专题10二元一次方程组的认识及解法暑假预习讲义 1. 概念辨析：掌握二元一次方程、二元一次方程组的定义，明确未知数个数、次数均为1且为整式方程；能够判别式子是否属于二元一次方程（组）。 2. 解的理解：分清二元一次方程的无数组解、方程组的公共解，可将数值代入检验是否为方程（组）的解。 3. 代入消元法：理解消元核心思想，熟练代入法解题步骤，将二元方程组转化为一元一次方程求解。 4. 加减消元法：掌握加减法适用场景，通过等式变形统一未知数系数，加减消去一个未知数，完成方程组求解。 5. 方法选取：观察方程组系数特点，灵活选用代入法、加减法，简化计算步骤，提升解题效率。 6. 含参题型基础：已知方程组的解，代入方程求出字母参数的值。 7. 列方程组建模：分析简单应用题等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组。 8. 易错规避：消元过程符号出错、加减消元漏乘常数项、混淆方程解与方程组解的概念。 9. 核心思想：体会消元转化思想，把陌生二元问题划归熟悉的一元方程，为方程组实际应用打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二元一次方程相关概念 2.二元一次方程组及解 3.实际问题列方程组的步骤 4.代入消元法 5.加减消元法 6.两种解法对比 常考题型 精讲精练 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的判定 5.由 二元一次方程组的解求参数 6.由实际问题列方程组 7.由几何图形列方程组 8.代入消元法 9.加减消元法 10.方程组的特殊解法 11.错解复原问题 12.构造方程组求解 13.由方程组解的情况求参数 14.方程组相同解问题 强化题型 解答题9题 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点 07 高频易错点汇总 1.二元一次方程判定：未知数次数误把xy看作 1 次； 2.列方程组只找到一组等量关系，缺少第二个方程； 3.代入消元时，代入后忘记加括号，符号出错； 4.加减消元去乘时，只乘未知数，漏乘常数项； 5.两式相减时，常数项、未知数符号全部变号容易漏； 6.方程组解书写不加大括号，格式错误； 7.求出值只代入一个方程检验，不检验第二个； 8.实际应用题忘记检验解是否符合现实意义（人数、物品不为负）。 题型1.二元一次方程组的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若方程是关于，的二元一次方程，则满足的条件是________． 【跟踪专练2】已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 【跟踪专练3】若方程组是关于 ，的二元一次方程组，则代数式的值是_____． 题型2.二元一次方程的解 【典例】已知方程，用含的代数式表示，则________． 【跟踪专练1】已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 【跟踪专练3】下表是当x取不同值时对应整式（a，b为常数）的值，则表中m的值为（     ） x 0 1 3 3 2 1 m A．0 B． C． D． 题型3.二元一次方程组的判定 【典例】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4.二元一次方程组解的判定 【典例】解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型5.由 二元一次方程组的解求参数 【典例】已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是方程组的解，则的值为___________． 【跟踪专练2】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【跟踪专练3】“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 题型6.由实际问题列方程组 【典例】有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛.设篮球队有x支参赛,排球队有y支参赛,则所列方程组为__________. 【跟踪专练1】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．设这段路平路有米，坡路有米，则根据题意可得到方程组： _______． 【跟踪专练2】晚托期间，某校七（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人；后来，篮球组有2人改报了羽毛球组，同时羽毛球组有4人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人．设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 题型7.由几何图形列方程组 【典例】如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为__________．    【跟踪专练1】如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练2】如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 题型8.代入消元法 【典例】用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 【跟踪专练1】用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组，则_________（用只含的代数式表示）． 【跟踪专练3】下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 题型9.加减消元法 【典例】用加减法解方程组，由可得________． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【跟踪专练2】已知，满足方程组，则的值为________． 【跟踪专练3】对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 题型10.方程组的特殊解法 【典例】已知方程组那么________． 【跟踪专练1】若关于，的方程组的解是，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的方程组的解是，则方程组的解是______． 【跟踪专练3】我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 题型11.错解复原问题 【典例】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．则的值为______． 【跟踪专练1】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【跟踪专练2】解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则的值应为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型12.构造方程组求解 【典例】对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 【跟踪专练1】如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（    ） 5 0 A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知、……中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则______． 【跟踪专练3】，则的值是（       ） A．2 B．0 C． D．0或 题型13.由方程组解的情况求参数 【典例】若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【跟踪专练1】在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 _____． 【跟踪专练3】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 题型14.方程组相同解问题 【典例】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值=_________． 【跟踪专练1】关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【跟踪专练2】如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 【跟踪专练3】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．解下列方程组： (1) (2) 2．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 3．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 5．小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 6．定义：关于、的二元一次方程（其中、、互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． 根据上述定义，解答下列问题： (1)方程的“变更方程”为_______； (2)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (3)已知（2）中求出的解也是关于、的方程的一组解，求、的正整数值． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 8．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 9．一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为． (1)若这只青蛙跳动次，使，且，请写出青蛙跳动的位置； (2)若，求； (3)对于正整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件：①，②．求正整数被除的余数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二元一次方程组的认识及解法暑假预习讲义 1. 概念辨析：掌握二元一次方程、二元一次方程组的定义，明确未知数个数、次数均为1且为整式方程；能够判别式子是否属于二元一次方程（组）。 2. 解的理解：分清二元一次方程的无数组解、方程组的公共解，可将数值代入检验是否为方程（组）的解。 3. 代入消元法：理解消元核心思想，熟练代入法解题步骤，将二元方程组转化为一元一次方程求解。 4. 加减消元法：掌握加减法适用场景，通过等式变形统一未知数系数，加减消去一个未知数，完成方程组求解。 5. 方法选取：观察方程组系数特点，灵活选用代入法、加减法，简化计算步骤，提升解题效率。 6. 含参题型基础：已知方程组的解，代入方程求出字母参数的值。 7. 列方程组建模：分析简单应用题等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组。 8. 易错规避：消元过程符号出错、加减消元漏乘常数项、混淆方程解与方程组解的概念。 9. 核心思想：体会消元转化思想，把陌生二元问题划归熟悉的一元方程，为方程组实际应用打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二元一次方程相关概念 2.二元一次方程组及解 3.实际问题列方程组的步骤 4.代入消元法 5.加减消元法 6.两种解法对比 常考题型 精讲精练 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的判定 5.由 二元一次方程组的解求参数 6.由实际问题列方程组 7.由几何图形列方程组 8.代入消元法 9.加减消元法 10.方程组的特殊解法 11.错解复原问题 12.构造方程组求解 13.由方程组解的情况求参数 14.方程组相同解问题 强化题型 解答题9题 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点 07 高频易错点汇总 1.二元一次方程判定：未知数次数误把xy看作 1 次； 2.列方程组只找到一组等量关系，缺少第二个方程； 3.代入消元时，代入后忘记加括号，符号出错； 4.加减消元去乘时，只乘未知数，漏乘常数项； 5.两式相减时，常数项、未知数符号全部变号容易漏； 6.方程组解书写不加大括号，格式错误； 7.求出值只代入一个方程检验，不检验第二个； 8.实际应用题忘记检验解是否符合现实意义（人数、物品不为负）。 题型1.二元一次方程组的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据定义：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为1的整式方程是二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义逐项判断： 选项A中，含未知数的项的次数为2，不符合定义，∴A错误； 选项B中，只含有1个未知数，且最高次数为2，不符合定义，∴B错误； 选项C中，不是整式方程，不符合定义，∴C错误； 选项D中，含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义，∴D正确． 【跟踪专练1】若方程是关于，的二元一次方程，则满足的条件是________． 【答案】 【分析】含有两个未知数，且未知数的次数均为1的方程是二元一次方程的定义，据此确定未知数的系数的取值范围即可． 【详解】解：∵方程中，的系数为，次数为，满足要求， ∴若使方程为二元一次方程，必须保证未知数存在，即的系数不为， ∴． 【跟踪专练2】已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴未知数的次数满足，且的系数， ∴，且， ∴． 【跟踪专练3】若方程组是关于 ，的二元一次方程组，则代数式的值是_____． 【答案】或 【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组， ∴，或，， 解得：，或，， ∴或． 题型2.二元一次方程的解 【典例】已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】/ 【分析】根据等式的基本性质变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时乘以得：． 【跟踪专练1】已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知的方程解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴把代入得， ∴． 【跟踪专练2】将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 【答案】 【分析】将看作已知数，移项整理即可求出； 【详解】解：移项得， 两边同除以，得． 【跟踪专练3】下表是当x取不同值时对应整式（a，b为常数）的值，则表中m的值为（     ） x 0 1 3 3 2 1 m A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据表格给出的x与对应整式的值，用代入法先求出常数和，再计算时整式的值，即可得到． 【详解】解：当时，，代入得， 当时，，代入得，解得 ， 当时，，代入， 得． 题型3.二元一次方程组的判定 【典例】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 【跟踪专练1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 【跟踪专练2】下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 题型4.二元一次方程组解的判定 【典例】解为的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A，C选项的第一个方程不成立，排除A，C． ∵， ∴B选项的第二个方程不成立，排除B． ∵代入D选项，，，两个方程均成立， ∴D选项符合题意． 【跟踪专练1】已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同时满足两个方程， ∴二元一次方程组的解是． 【跟踪专练2】若关于，的二元一次方程，的解的情况分别如表、表所示． 表 … … … … 表 … … … … 则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的解，因此只需找出两个二元一次方程的共同解即可． 【详解】解：∵ 方程组的解需要同时满足两个方程， ∴ 该既是方程的解，也必须是方程的解， 对比表和表的各组解，可知同时满足两个方程， ∴方程组的解是． 题型5.由 二元一次方程组的解求参数 【典例】已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 【跟踪专练1】若是方程组的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，把两个新方程左右两边分别相加，合并化简后可直接求出的值． 【详解】解：把代入得， 得． 【跟踪专练2】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 【跟踪专练3】“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求解方程组整理为与已知解的方程组结构相同的形式，通过换元对应已知的解，进而求出的值． 【详解】解：令，，则原方程组可变形为， 方程组的解是， ，即， 解得． 题型6.由实际问题列方程组 【典例】有48支球队共520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛.设篮球队有x支参赛,排球队有y支参赛,则所列方程组为__________. 【答案】 【分析】根据等量关系：48支球队共520名运动员，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得． 【跟踪专练1】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．设这段路平路有米，坡路有米，则根据题意可得到方程组： _______． 【答案】 【分析】设平路长米，坡路长米，根据公式，分别结合从家到学校、从学校到家的总时间，即可列出关于、的二元一次方程组． 【详解】解：从小华家到学校，走平路的时间为，走下坡路的时间为，总时间为分钟， ， 从学校回到小华家，原下坡路变为上坡路，走平路的时间仍为，走上坡路的时间为，总时间为分钟， ， 综上，可得方程组． 【跟踪专练2】晚托期间，某校七（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人；后来，篮球组有2人改报了羽毛球组，同时羽毛球组有4人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人．设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人，则下面所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到正确方程组． 【详解】解：设起初报名篮球组的人数为人，报名羽毛球组的人数为人． ∵ 起初篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多2人 ∴ 第一个方程为 分析人数变动：篮球组有2人改出，4人改入，因此变动后篮球组人数为；羽毛球组有4人改出，2人改入，因此变动后羽毛球组人数为． ∵ 此时篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的2倍少7人 ∴ 第二个方程为 因此所求方程组为． 题型7.由几何图形列方程组 【典例】如图，直线与相交于点O，且，比大，设，则可列方程组为__________．    【答案】 【分析】由比大可得方程，由对顶角相等可得，即可得到方程，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设每个小长方形的长为 x，宽为y，根据题意列方程可求得，即每个小长方形的面积为；再运用阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为 x，宽为y， 则，解得：， 所以每个小长方形的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 【跟踪专练2】如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，观察可知小长方形墙砖的长等于宽的3倍，小长方形墙砖的长与其宽的2倍的和等于大长方形的宽，据此列方程组即可． 【详解】解：设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和， 由题意得，． 题型8.代入消元法 【典例】用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 【答案】 【详解】解：把②代入①得， 去括号得． 【跟踪专练1】用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程②中的替换为①中的表达式，即可得到对应方程． 【详解】解：， 将①代入②得． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组，则_________（用只含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先由①变形得，再代入②消去a进行计算即可． 【详解】解：， 由①得， 将代入②得， 解得． 【跟踪专练3】下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 题型9.加减消元法 【典例】用加减法解方程组，由可得________． 【答案】 【分析】对①和②左右两边分别作差，化简即可得到结果． 【详解】解：计算的左边：， 计算的右边：， 因此可得． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题不需要分别求出和的值，可将方程组中两个方程相减得到的值，再整体代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：已知方程组 ， ，得， ∴． 【跟踪专练2】已知，满足方程组，则的值为________． 【答案】6 【分析】两方程相加，即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得． 【跟踪专练3】对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 题型10.方程组的特殊解法 【典例】已知方程组那么________． 【答案】4 【详解】解： 得， ∴． 【跟踪专练1】若关于，的方程组的解是，则关于的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对比两个方程组的结构，将新方程组中和看作整体，对应原方程组的和，结合原方程组的已知解即可求出新方程组的解． 【详解】解：令，，则新方程组可转化为：， ∵原方程组的解是， ∴可得，即， 解得． 【跟踪专练2】若关于的方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】令，则，由题意可知方程组与是同解方程组，进而得到，求解即可． 【详解】解：令，则， 关于的方程组的解是， 方程组的解是， 即，解得． 【跟踪专练3】我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴ ， 解得． 题型11.错解复原问题 【典例】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．把代入②得出，求出，把代入①得出，求出即可． 【详解】解：， 把代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练1】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【答案】 【分析】甲看错但解满足含的方程，代入甲的解求，乙看错但解满足含的方程，代入乙的解求，最后代入计算的值即可． 【详解】解：由题意，得 把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得， ． 【跟踪专练2】解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则的值应为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将代入第二个方程，将代入第二个方程，组成方程组求出与的值，将正确解代入第一个方程求出即可求解． 【详解】解：将和分别代入得： 解得：， 将代入中得：， 解得：， 则，，， 把，，代入 故选C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，熟练求解二元一次方程组是解题的关键． 题型12.构造方程组求解 【典例】对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 【答案】2 【分析】根据新定义建立二元一次方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 解得 ． ∴． 【跟踪专练1】如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（    ） 5 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般． 根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】已知、……中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则______． 【答案】 【分析】设这组数中有个，个2，根据题意列出方程组，求出与的值后，再进行计算即可． 【详解】解：设这组数中有个，个2， 根据题意可列方程组：， 解得， ∴这组数中有个，个2， ∴． 【跟踪专练3】，则的值是（       ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组．先根据题意得出，再进行分类讨论，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①当时， 联立， 解得：， ∴ ②当时， 联立， 解得：， ∴ ∴， 故选：C． 题型13.由方程组解的情况求参数 【典例】若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】14 【分析】将与组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到和的值，代入中，即可求出的值． 【详解】解：将与组成一个新的二元一次方程组， 得到 解得 将， 代入中， 可得． 【跟踪专练1】在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若两式相加可直接消去未知数，则相加后的系数和为，据此推导和的关系即可． 【详解】解：， 得， 可直接消去未知数， 的系数为，即． 【跟踪专练2】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 _____． 【答案】 【详解】解：， 得：． 又∵， ∴， ∴， ∴m的值为． 【跟踪专练3】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程组得， 将其代入，得， 化简得， 解得. 题型14.方程组相同解问题 【典例】若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值=_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 【跟踪专练1】关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 【答案】 【分析】根据两个方程组解相同，直接得到公共解；将解代入含的方程，得到关于的二元一次方程组；解方程组求出的值，最后计算 【详解】解：与有相同的解， ，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将整理变形：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 解答题 1．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，运用消元思想，消元方法分为代入消元法和加减消元法． （1）可直接用代入消元法求解， （2）先整理为标准二元一次方程组形式，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 将①代入②，得 整理得 解得 把代入①，得 原方程组的解是 （2）整理原方程组 第一个方程 ， 展开整理得 第二个方程 ，两边同乘去分母得， 整理得 ①+②得 解得 把代入①，得 解得 原方程组的解是 2．某班开展了主题为“诗词古韵，书香校园”的诗词诵读活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，购买这两种奖品共花费28元，请通过计算说明共有哪几种购买方案？ 【答案】共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔 【分析】设购买笔记本数量为本，碳素笔数量为支，根据总花费列出二元一次方程，且均为正整数．对变形后的方程分析因为，所以必须是正偶数，由此确定的可能取值．将符合条件的逐一代入方程，求出对应的正整数，即可得到所有购买方案． 【详解】解：设购买x本笔记本，y支碳素笔， 依题意得：， ． 又x，y均为正整数， 共有4种不同的购买方案，分别是：买2本笔记本，11支碳素笔；买4本笔记本，8支碳素笔；买6本笔记本，5支碳素笔；买8本笔记本，2支碳素笔． 3．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 5．小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】正确解：必须同时满足方程组中的每一个方程．错误方程的解：它满足的是“被看错系数后”的新方程组，因此，它一定满足那些没有被看错系数的方程，就能将看似混乱的条件清晰地转化为几个简单的方程，从而轻松求解． 【详解】解：将代入方程组得到， 将代入方程得到， 整理得， 解得． 6．定义：关于、的二元一次方程（其中、、互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． 根据上述定义，解答下列问题： (1)方程的“变更方程”为_______； (2)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (3)已知（2）中求出的解也是关于、的方程的一组解，求、的正整数值． 【答案】(1) (2) (3)、的正整数值为 【详解】（1）解：根据定义可知方程的“变更方程”为， （2）解：由题意知：方程的“变更方程”为， 联立， 解得． （3）解：将代入中，得， 整理得， 、均为正整数， 或， 互不相同， 、的正整数值为． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】；7 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出的解，再代入，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴， 把代入方程组， 得， 同理解得：， ∴的值为，的值为7． 8．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．A，B两种食品每包质量分别为，，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】2，3 【分析】设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得到二元一次方程组，通过整理，解方程组即可． 【详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 整理，得：， 解得：， 答：应选用A种食品2包，B种食品3包． 9．一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为． (1)若这只青蛙跳动次，使，且，请写出青蛙跳动的位置； (2)若，求； (3)对于正整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件：①，②．求正整数被除的余数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】（1）根据次跳动后回到初始位置可得结果； （2）设向右跳了步，向左跳了步，根据题意列出方程组，讨论可得结果； （3）经过步跳动到达，假设这步中向右跳了步，向左跳了步，通过计算可得，从而得到，可推出，由能被整除可得被除的余数． 【详解】（1）解：∵，， 则次跳动后回到初始位置， ∴第一二次都是向右跳，第三四次向左跳，即； （2）解：从经步到达，不妨设向右跳了步，向左跳了步， 则， 解得：， 即向左跳动仅一次，若这次跳动在第次及以前，则， 若这次跳动在次后，则， ∴为或； （3）解：因为次跳动的情形，能同时满足如下两个条件： ①，②， 经过步跳动到达，假设这步中向右跳了步，向左跳了步， 则（的正整数）， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴能被整除，所以被除的余数为或． 【点睛】本题考查了数的整除，数轴，以及整式的运算，难度较大，解题的关键是要充分理解题意，将向右跳动的步数与向左跳动的步数用字母表示，便于运算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $