第一章 空间向量与立体几何 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖空间向量运算、共线共面判定、距离与夹角计算等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题（40分）|向量坐标运算、对称点坐标、共线单位向量|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3题（15分）|正方体中距离范围、线面位置关系|情境开放，考查空间观念| |填空题|3题（15分）|两点距离、点到直线距离|聚焦运算能力，强化数学语言表达| |解答题|5题（30分）|四棱锥/长方体中距离、面面角、线面平行证明|综合应用，体现逻辑推理与数学建模|

高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 一、单选题 1．已知，，，则（   ） A． B． C．4 D．6 2．点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 7．向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 二、多选题 9．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 11．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知两点与，则________________． 13．已知，，，则M到直线的距离为______. 14．已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 16．已知点，，，，. (1)求的值； (2)若与垂直，求的值. 17．如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 18．如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. (1)求证： 平面EDB； (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D c B B C B BC BCD 题号 11 答案 AD 1.D 4_-x_8 【详解】因为6：所心2=3=4=2，故=6 2.A 【详解】：空间直角坐标系中，点关于平面O对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横 坐标变为原横坐标的相反数 M-2引关于平面0的对陈点华标为1-2 点 3.C 【详解】因为M,4B,C四点共面，且 M=xOA+yOB-30C(x>0,y>0) x+y+(-3)=1 所以由共面定理可得， ，即x+y=4 4.A a 【分析】直接求解 a, 再结合选项即可求解 【详解】由题知d=V32+(4)}+02=5 m以与向8=40的华向为员-00.尽0若利 34 .0 所以，选项中只有55)满足 5.B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 答案第1页，共2页 【详解】因为G是BD的中点， 所以C+cm)=cG, 所以4C+(CB+cD)=AC+CG=AG B G D 6.B 【分析】利用空间向量的线性运算求解 【详解1Mm-0N-0m-O5+0c)-子0， a++5 2 7.C 【详解】向量。在向量6上的投影向量为 a662x2+2x0t0x25-5=00 22+02+22 8.B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得4=，列方程求1,2，由此可得结论 【详解】因为4/：，所以存在实数，使得4=m 又%=(-3y2）.4=(62,2) 所以3=6，y=(2）,2=2, 解得元-2，y=1,4 因此y-z=1-(-4)=5」 9.BC 答案第2页，共2页 ACD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用点到平 面距离公式求出P到平面 CD 的距离范围即可. BCD-ABCD D. 【详解】在棱长为2的正方体 中，以为原点建立如图所示的空间直角 坐标系， ZA D B D B 则42,00，B2,22.D00,2C0,20,P(2,元，200≤≤2 AD=(-2,0,2),4C1=(-2,2,0 ,设平面4GD的法向量为=（伍少）， n.4D=-2x+2z=0 则i4G=-2x+2y=0,取x=1'得=0,11)，而4P=(0,,2) d=14Pm_+22545, E 因此p到平面ACD的距离In√5 3’3 <25<5<5<45<6 而 3 3 ,所以AD不是，BC可以是， 故选：BC 10.BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间向量夹角公式逐一判断即可 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为1， D(0,0,0),A1,0,0),B(1,1,1),A(1,0,1),C(01,1),D(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0) 答案第3页，共2页 ZA D C A:设平面4B 的法向量为=(y) DB=(1,1,0),DA=(1,0,1),CD=(0,-1,0) m.DB=x+y=0 所以有m.D4=x+2=0,可以取m=(山，-1，-) 因为 m.CD=1≠0 所以m,CD不互相垂直，因此CA'平面4BD 不成立，故本选项结论不正确： B:设平面18D的法向量为m=(,火，) DB=(（1,1,1),DA=(1,0,0),CD=(0,-1,1) m·DB,=x+乃+名1=0 所以有m·DA=x=0 ,可以取m=(01,-1): 因为%=CD 所以%/CD 所以G9士平面1BD 故本选项结论正确： C:因为CD=(0,-l),D6=L,10) 答案第4页，共2页 所以cos(CD,DB CD·DB_HH1 CDDB2×V22, 因tCD与BD所成的角为60”，所以本选明结论正确； 60° D:设平面1CG4的法向量为m=(5,,2）, AC=（-1,1,0),A4=(0,0,1), m,·AC=-x2+y2=0 所以有m4=2,=0，可以取m=(1,0) 设平面1B0的法向量为%=(，火）， AB=(0,1,1),AD=（-1,0,1) mAB=为+名3=0 所以有m·AD=-x+2,=0,可以取m=(1,-1,: 因为%%=1-1+0=0 所以m上m,因此平面1CG4上平面1BD,所以本选项结论正确， 故选：BCD 11.AD 【分析】根据向量的加法、减法、数量积、模的坐标公式运算 【详解1由题意得，a+6=2--2)+(63,2)=(840),故A正确： a-6=(2,-1,-2)-(6,-3,2)=（4,24),故B错误： a-6=2x6+(-)x(-3)+(-2)×2=1山，故C错误： =2+(-+(-2}'=3,故D正确 故选：AD 答案第5页，共2页 12V22 【详解】根据空间中点到点的距离公式， Pg=V(4-1}+(3-02+(-1-12=9+9+4=V22 13.v6 【分析】由点到直线的向量法距离公式逐一计算求出相关量即可由向量法距离公式计算得 解。 【详解】由题意可得 B=(1,1,1),AM=（-1,2,2) AB u= 111 所以直线AB的单位方向向量为“A3’5’3, 所以 w-+242-8wm=2明6清6 所以点M到直线4B的距离AM-(M=9-(=v6 6 故答案为： √70 14.5 【分析】由点到直线距离的空间向量法计算即可 【详解1B=0,-2).AC=(2,-1-) cos(4B.4C)= AB·AC2+2 4 AB AC5×6V30, 所以sinA瓜，AC 4 V14 30 30. 所以点C到直线AB的距离 d-csin(4B.AC)-6x7 V305. 答案第6页，共2页 V70 故答案为： 5 15.(1)2 6 (2)6 【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据点到平面距离向量法计算即可求解： (2)根据面面角向量法计算即可求解。 【详解】(I)以A为坐标原点，直线AB,AD,4E分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ZA M B 0 则40,0,0，C0,10,D0,20,E0,0）.Ac=(1,0,AE=(00,1),AD=(0,20） 设平面B1C的一个法向量为”=：，水，2) 方AC=x+y=0 则AE=云=0，取x=1,则片=-1，名=0 所以平面BAC的一个法向量可以为 n=(1,-1,0) D_2=2 即点D到平面EAC的距离为闭√2 2)CD=-110,D=02,-) 设平面CDE的一个法向量为m=(3,少，）， CDm=-x2+2=0 则EDm=2y-2=0,取y2=1,则x=12=2, 答案第7页，共2页 所以平面CDE的一个法向量可以为m=(L1,2) 显然元=(0,10)是平面ABE的一个法向量。 设平面ABE与平面CDE的夹角为B, m1'm2 1 V6 则cos0=cos<m1,m2it= 1×V66 m m2 6 所以平面ABE与平面CDE夹角的余弦值为6· 3 16.(1)3 (2)k=2或k=-3 【分析】(I)求出云、万后，利用向量夹角公式计算即可得： ka+b ka-2b (2)借助向量坐标运算得到 与 后，利用向量数量积公式计算即可得。 【详解】(1)a=B=(1,0),6=AC-(←1，-1,2) 114 则cosa,6d6 （2)@+6=(k-1k-2).a-26=(k+2,k+2,4) 则(（kā+6a-26）=(k-10k+2)+(k-1(k+2)+2x(-4)=0 整理得 2+k-6=(k-2k+3)=0.即k=2或k=-3 17.(1) 正明：以4为原点，4B,4D,“所在直线分别为轴、'轴、？辅，建立如图所示的 空间直角坐标系， 答案第8页，共2页 ZA B 则100.0).B20,0）.C(22,0).P02,2）B(2,04) D(0,2,4)AC=(2,2,0)AP-(0,2,2） 设平面P4C的法向量为” ,i=(x,y,z) i·AC=2x+2y=0, 则i4P=2y+22=0,取y=-1,则x=1'z=1 所以i=0-) 因为D=(-22,49）i-B0=1x(-2)+(←1)x2+1x4=0 所以万LBD BD￠平面PAC,所以0 BDI∥ 又因 平面 PAC 6 (2)3 【分析】(1)通过证明 D与平面P1C 的法向量垂直去证明线面平行； (2)求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出平面与平面夹角的余弦值后，再求出 正弦值 【详解】1)略 (2)由(1)易知8=(2,04) 答案第9页，共2页 设平面1C8的法向量为=（年，，2）】 i·AC=2x+2y=0, 则iAB=2x+4名=0.取z=-1,则x=2’片=-2， 所以=(22-) 设平面PAC与平面ACB的夹角为O, n.n cos0 cosn,= 1x2+(-)×(-2)+1x(-)-3 则 可 V+(-102+P×V22+(-2}+(-1)3, 6 所以平面PAC与平面ACB夹角的正弦值为3· 18.(1) 连接AC,交BD于O,连接OE,由正方形的性质可知O为AC的中点， 因为E是PC的中点，所以OEIIP.4, 因为OEC平面EBD,PAC平面EBD,所以PAII平面EBD. 5 (2)3 【分析】(1)利用三角形中位线得出线线平行，结合线面平行的判定定理可证结论； (2)建立坐标系，利用垂直关系求出P的位置，求法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【详解】(1)略 (2)由题意，以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为七，，2轴，建立空间直角坐标 系， D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2)E(0,11)PB=(2,2,-2),DE=(01,1) 设PF=mPB=(2m,2m,-2m）,则DF=DP+PF=-(2m,2m,2-2m） 答案第10页，共2页 EF=DF-DE=(2m,2m-1,1-2m) 因为EF⊥PB,所以EF.PB=0,即2×2m+2×(2m-)-2x1-2m)=0 特-.乐-引 1 330 设平面D6r的一个法向量为后=(k,2)则.DE=y+z=0 令2=-1，得=(，L-),易知平面ABCD的一个法向量为 P=(0,0,2) n.DP 2-5 设平面D5F与平面4BCD的夹角为。则os9- DP3×23 3 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为3· ZA P F 19.(1) 证明：连接BD交AC于F点，连接EF, 因为ABCD为菱形，则F为BD的中点， 又因为E为PD的中点，在三角形BPD中，EF PB, 且EFC平面ACE,PBC平面ACE, 所以PB/I平面ACE, 5 (2)7 答案第11页，共2页 【分析】(I)连接BD交AC于F点，根据题意可得EF‖PB,结合线面平行判定定理证 明即可； (2)建立空间直角坐标系，分别求解平面PBC与平面PCD的法向量，结合面面夹角余弦 公式求解即可 【详解】(1)略 (2)建立如图所示坐标系， ZA 则P(2,00),D(0,20),C0,lv5.B0,-l,v.A0,00). 可得PC=(-2L,).Bc=(02,0),D-(01-5)】 设平面PBC法向量” m=,) m.PC=-2x+y+3z=0 则m.BC=2y=0 设平面PCD法向量i=(3,山，2) i.PC=-2x+y2+V5z2=0 则n.CD=2-5z,=0 ，令5=1，则i=15 3 设平面PBC与平面PCD夹角O, J 则cosB=cosm,= m.n 2 5 m同21217， 2 3 所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为7 答案第12页，共2页 答案第13页，共2页