第一章空间向量与立体几何单元检测（能力提升卷01）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元检测（能力提升卷），涵盖向量运算、空间几何证明、距离与角计算等核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，提升空间观念、推理能力与运算能力，适配单元复习巩固与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量线性运算（题1）、面面平行判定（题4）、正方体动态距离（题7）|结合几何体动态问题，考查空间想象与转化能力| |多选题|3题|空间坐标系对称（题10）、直三棱柱动点探究（题11）|多选项设计体现思维严谨性，融合线面关系与外接球| |填空题|3题|平行六面体棱长计算（题12）、投影向量（题13）|注重向量工具性，考查运算准确性| |解答题|5题|正三棱锥内切球（题15）、翻折问题二面角（题19）|综合复杂几何体，如翻折与外接球结合（题19），培养创新意识与模型观念|

人教A版高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元检测 （能力提升卷01） 一、单选题 1．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．能使两个不同平面与平行的条件是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 6．如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 三、填空题 12．如图，平行六面体中，，，，，则的长为______．    13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14．已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知正三棱锥中，点在线段上，且． (1)求边长； (2)求正三棱锥内切球的半径． 16．如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为． (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 17．由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 18．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，． (1)证明：四点共面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. (1)若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. (2)在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第一章单元检测能力提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D C B B A BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 2．C 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 3．D 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 4．D 【分析】由面面平行的判定定理逐个判断即可. 【详解】对于A，内有无数条直线与平行，则平面与相交或平行，故A错误； 对于B，，垂直于同一个平面，则平面与相交或平行，故B错误； 对于C，，平行于同一条直线，则平面与相交或平行，故C错误； 对于D，，垂直于同一条直线， 设，的法向量分别为，直线的方向向量为， 则， 所以， 所以平面与平行，故D正确． 故选：D． 5．C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 6．B 【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 7．B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 8．A 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】在正方体中，∥，∥，平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点到平面的距离为， 因为正方体内切球的半径， 所以圆的半径， 因为，所以，即， 所以, 所以的最小值为. 故选：A 9．BCD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．AC 【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分. 【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误． 故选：AC． 11．ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 12． 【分析】选择为空间的一组基，将用基向量表示，再利用向量数量积的运算律即可求得的长. 【详解】平行六面体中，，，， ，    如图，，则 ． ． 故答案为：. 13． 【分析】由投影向量的定义直接求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 14． 【分析】先明确动点进行轨迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性质确定 的最小值，最后通过几何关系求出线面角的正弦值，即可得到 的最小值. 【详解】由题意，底面，，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系. 根据已知条件， 所以，，，， 设，因为，，所以，则， 故， 直线的方向向量， . ， . 设平面的一个法向量，所以，即， 令，则平面的一个法向量可取. 直线和平面的夹角为，. 对于任意一个固定的点，在直线上运动，最短的就是点到直线的垂直距离， 故过点向直线作垂线，垂足为，此时求的最小值即可. 在中，因为，所以， 所以当最小，此时最小. 又面，与面所成角为，所以最小值为，由图可知最大不会超过. 已知，因此. 15．(1) (2) 【分析】（1）方法一：根据几何关系，确定平面，进一步确定几何关系，从而确定； 方法二：转化向量，再利用，利用数量积表示，即可确定三棱锥侧面的顶角，即可求解； （2）利用等体积公式转化，即可求解三棱锥内切球的半径. 【详解】（1）（方法1：几何法）取中点为，连接，如图所示，    ∵三棱锥为正三棱锥，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又平面， ∴平面，平面， ∴， ∴正三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴， ∴在△中，由，得， ∴． （方法2：向量法）∵三棱锥为正三棱锥，∴， 设， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∴． （2）由（1）得， 设点为△的重心，则，    ∴， 设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心， ∵ ∴， ∴， 解得． 16．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量的加减法即可表示出结果； （2）由题意得到向量的模长，以及它们之间的夹角，由向量的数量积公式求得，然后求得，由数量积判断； （3）由（2）求得，然后求得，由向量的数量积公式求得. 【详解】（1）在正三棱柱中，，，， 则， . （2）由题意可知，，，， ，， ∴， 故. （3）， ， ， 故， 解得， 17．(1) 法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. (2) 【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； 法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论； （2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案； 【详解】（1）略 （2）设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 18．(1)由，因为平行六面体可知： 且 又因为，， 所以， 则有，即四点共面； (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算来证明两向量相等，得四点共面； （2）利用空间向量的线性运算和数量积运算，来证明两平面二面角的平面角，再用空间向量法来求夹角余弦值，从而问题可得解. 【详解】（1）略 （2） 取的中点为，连接， 由于，则有， 又由余弦定理得： 所以， 又由， 则， 所以有，又因为的中点为，所以, 即就是平面与平面的夹角或其补角， 由， ， 由， ， ， 所以有， 故平面与平面夹角的余弦值是. 19．(1)（ⅰ）如图，设与交于点， 由题可得，， 则， 所以，又，所以为正三角形， 所以，又，， 故，所以，故. 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以. （ⅱ） (2). 【分析】（1）（ⅰ）先由等条件得出的值，再利用三角形全等得到，接着因为平面，结合线面垂直性质与判定，证明. （ⅱ）解法一，先找外接球球心在上，用勾股定理求半径，再求，进而得最值与范围. 解法二，建立空间直角坐标系，写出点坐标，根据外接球性质求球心坐标与半径，最后求得出范围. （2）解法一：先作辅助线找二面角平面角，因，为在平面射影且是中点，.，最小则最小，最大时最小，为中点时最大，进而得二面角最小值. 解法二：取中点建系，求各点及向量坐标.再分别求平面和法向量、.用向量夹角公式求，根据取值求最大值，从而得二面角最小值. 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ）解法一：由（ⅰ），由题可得， 为直角三角形，且平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上， 设球的半径为，则， 如图，连接，在中，，即， 得. 连接，，因为，， 所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. 解法二： 以为坐标原点，点所在直线为轴，平面内过且与轴垂直的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设球心，连接，，，，因为， 所以 ， 解得，，故，所以球的半径. （另解：可以通过得到） 连接，因为，所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. （2）解法一  如图，过点作平行于的直线，则该直线为平面与平面的交线. 设点在平面内的射影为，过点作平行于的直线分别交，于点，连接，则为二面角的平面角. 因为，所以，为的中点，， 连接，则， . 若最小，则最小，即最小， 所以当取最大值时，二面角取得最小值. 易知当点为的中点时，取得最大值，且最大值为3， 因此的最小值为，即的最小值为， 所以二面角的最小值为. 解法二：取的中点，连接，，则，，， 以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，.设，则， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 易知此时与的夹角即二面角的平面角.（取，则，此时与的夹角为二面角的平面角的补角） 设二面角的大小为， 则， 所以当时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $