2.1 练习2　等式性质与不等式性质 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 本练习围绕等式与不等式性质，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等式性质、不等式基本性质、充分必要条件|单选直接考查概念（如第1题等式变形），夯实基础| |综合应用|性质综合判断、范围计算、实际情境转化|多选与中档填空（如第7题小球质量比较），提升推理能力| |拓展提升|证明、实际问题建模|解答题（如第16题采光效果分析），培养应用意识|

2.1 练习2　等式性质与不等式性质 1. 若ma＝mb，则下列等式中，不一定成立的是(　A　) A. a＝b B. ma－3＝mb－3 C. －ma＝－mb D. ma＋8＝mb＋8 【解析】当m≠0时，由ma＝mb得a＝b；当m＝0时，a＝b不一定成立. 2. 设a＜b＜0，则下列不等式中，不一定成立的是(　B　) A. B. ac＜bc C. |a|＞－b D. 【解析】对于A，∵a＜b＜0，∴＞0，将a＜b两边同乘，则，故A中不等式一定成立；对于B，只有当c＞0时，B中不等式成立，其余情况不成立，则B中不等式不一定成立；对于C，|a|＝－a＞－b，则C中不等式一定成立；对于D，由－a＞－b＞0，可得，则D中不等式一定成立. 3. (2024·合肥一中高一月考) 对于实数a，b，c，下列说法中，正确的是(　C　) A. 若a＜b，则 B. 若a＜b，则ac2＜bc2 C. 若a＜0＜b，则ab＜b2 D. 若c＞a＞b，则 【解析】若a＜0，b＞0，则，A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，B错误； ∵a＜0＜b，∴ab－b2＝b(a－b)＜0，即ab＜b2，C正确；∵c＞a＞b，∴0＜c－a＜c－b，∴＞0，D错误. 4. 设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中，正确的是(　D　) A. a－b＞0 B. a3＋b3＞0 C. a2－b2＜0 D. a＋b＜0 【解析】本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3＜0， a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0，A，B，C错误，D正确. 5. 若a，b都是实数，则“＞0”是“a2－b2＞0”的(　A　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】∵＞0，∴，∴()2＞()2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件.又a2－b2＞0，不妨取a＝－2， b＝1，无法推出＞0，A正确. 6. 若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是(　C　) A. －3＜a－|b|≤3 B. －3＜a－|b|＜5 C. －3＜a－|b|＜3 D. 1＜a－|b|＜4 【解析】∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3. 7. 有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球质量的大小关系是(　A　) A. d＞b＞a＞c B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D. c＞a＞d＞b 【解析】∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴2a＞2c，即a＞c，因此b＜d.∵a＋c＜b，a，b，c＞0，∴a＜b.综上可得c＜a＜b＜d. 8. (多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中，正确的有(　BC　) A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0 C. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D. 若a＞b，c＞d＞0，则 【解析】若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得＞0，B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－ d＞b－c，C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1， ＝－1，D错误. 9. (多选)若x＞1＞y，则下列不等式中，一定成立的有(　BCD　) A. x－1＞1－y B. x－1＞y－1 C. x－y＞1－y D. 1－x＞y－x 【解析】x－1－(1－y)＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)＜0，A中不等式不一定成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，B中不等式一定成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，C中不等式一定成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，D中不等式一定成立. 10. 不等式a＞b和同时成立的条件是　a＞0＞b　.  【解析】若a，b同号，则a＞b⇒，故需a，b异号且a＞b，∴a＞0＞b. 11. 若a，b，c，d均为实数，则使不等式＞0和ad＜bc都成立的一组数据(a，b，c，d)是　(2，1，－3，－2)(答案不唯一)　.  【解析】∵＞0，∴a与b，c与d分别同号，且＞0，又ad＜bc，即ad－bc＜0，∴bd＜0，∴b与d异号，∴(2，1，－3，－2)符合题意. 12. (2024·温岭中学高一检测)若a＞b＞0，则下列不等式中，恒成立的是　①③　(填序号).  ①a＋＞b＋；②；③. 【解析】对于①，∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a－b＋＝(a－b)＞0，即a＋＞b＋，①正确；对于②，∵a＞b＞0，∴＞1，＜1，∴，②错误；对于③，＞0，∴，③正确. 13. 已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围： (1)a；(2)a－b；(3). 解：(1)∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4，∴a的取值范围是{a|2＜a＜4}. (2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又2＜a＜4，∴1＜a－b＜4，∴a－b的取值范围是{a－b|1＜a－b＜4}. (3)∵0＜b＜1，∴＞1，又2＜a＜4，∴＞2，∴的取值范围是. 14. 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，证明：. 证明：由c＜d＜0，得－c＞－d＞0， 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，则(a－c)2＞(b－d)2＞0，因此，又e＜0，∴. 15. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列说法中，正确的是(　C　) A. 若a＞0，则a2＋1＞(a－1)(a＋2) B. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2 C. 若a＞b，且，则ab＞0 D. 若a＞b＞0，则 【解析】当a＝4时，a2＋1＝17，(a－1)(a＋2)＝18，此时a2＋1＜(a－1)(a＋2)，A错误；当c＝0时，ac2＝0＝bc2，B错误；∵a＞b，∴b－a＜0，又＜0，∴ab＞0，C正确；a＞b＞0，∴b－a＜0，但中ab－1的符号无法判定，故不一定成立，D错误. 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a m2，地板面积为b m2. (1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330 m2，求这所公寓的最小窗户面积； (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为t m2，则这所公寓的采光效果是变好了还是变差了?请说明理由. 解：(1)根据题意可得由①得b＝330－a，代入②得≥10%，解得a≥30，∴这所公寓的最小窗户面积为30 m2. (2)同时增加窗户面积和地板面积后，比值为. ∵，且b＞0，t＞0，b＞a，∴＞0，∴，∴同时增加相同的窗户面积和地板面积后，这所公寓的采光效果变好了. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 练习2　等式性质与不等式性质 1. 若ma＝mb，则下列等式中，不一定成立的是(　 　) A. a＝b B. ma－3＝mb－3 C. －ma＝－mb D. ma＋8＝mb＋8 2. 设a＜b＜0，则下列不等式中，不一定成立的是(　 　) A. B. ac＜bc C. |a|＞－b D. 3. (2024·合肥一中高一月考) 对于实数a，b，c，下列说法中，正确的是(　 　) A. 若a＜b，则 B. 若a＜b，则ac2＜bc2 C. 若a＜0＜b，则ab＜b2 D. 若c＞a＞b，则 4. 设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中，正确的是(　 　) A. a－b＞0 B. a3＋b3＞0 C. a2－b2＜0 D. a＋b＜0 5. 若a，b都是实数，则“＞0”是“a2－b2＞0”的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是(　 　) A. －3＜a－|b|≤3 B. －3＜a－|b|＜5 C. －3＜a－|b|＜3 D. 1＜a－|b|＜4 7. 有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球质量的大小关系是(　 　) A. d＞b＞a＞c B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D. c＞a＞d＞b 8. (多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中，正确的有(　 　) A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0 C. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D. 若a＞b，c＞d＞0，则 9. (多选)若x＞1＞y，则下列不等式中，一定成立的有(　 　) A. x－1＞1－y B. x－1＞y－1 C. x－y＞1－y D. 1－x＞y－x 10. 不等式a＞b和同时成立的条件是　 　.  11. 若a，b，c，d均为实数，则使不等式＞0和ad＜bc都成立的一组数据(a，b，c，d)是　 　.  12. (2024·温岭中学高一检测)若a＞b＞0，则下列不等式中，恒成立的是　 　(填序号).  ①a＋＞b＋；②；③. 13. 已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围： (1)a； (2)a－b； (3). 14. 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，证明：. 15. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列说法中，正确的是(　 　) A. 若a＞0，则a2＋1＞(a－1)(a＋2) B. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2 C. 若a＞b，且，则ab＞0 D. 若a＞b＞0，则 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为a m2，地板面积为b m2. (1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330 m2，求这所公寓的最小窗户面积； (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为t m2，则这所公寓的采光效果是变好了还是变差了?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $