暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体棱长、表面积、体积的系统性训练，通过实际情境问题提炼公式灵活应用方法，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长计算|3题|棱长总和公式转换（长+宽+高）×4与棱长×12互化|从棱长概念到棱长总和公式推导，建立长方与正方体棱长联系| |表面积应用|7题|根据实际面数调整表面积公式（无盖/少面/切割增面）|从完整表面积到实际应用场景（通风管/收纳盒）的面数分析| |体积计算|6题|体积公式（长×宽×高/棱长³）及排水法、组合体体积|从体积概念到实际物体（油桶/方钢）体积计算，渗透转化思想| |综合应用|4题|棱长、表面积、体积公式综合运用（泳池/投票箱）|整合三维度量知识，解决含单位换算的复杂实际问题|

暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版 1．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是8厘米、7厘米、6厘米，那么正方体的棱长是多少厘米？ 2．如图所示，一个长方体简易桌面收纳盒，除前面没有木板外，其它面均用木板制作，制作这样一个收纳盒至少需要多少平方分米木板？ 3．用铁皮做一个长方体油桶，从里面量长和宽都是4分米，高6分米，桶内装汽油，每升汽油重0.82千克，这个油桶最多可装汽油多少千克？ 4．一块方钢横截面是一个边长为2分米的正方形，长3米。若每立方分米重7.8千克，这块方钢一共重多少千克？ 5．把2个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积和体积分别是多少？ 6．一个长方体形状的艺术馆，要在它四面的每条棱上装彩灯线（靠地面的棱不装，如图所示）。已知艺术馆长80米，宽65米，高20米，至少需要多长的彩灯线？ 7．做2个不带盖的棱长为0.3m的正方体铁盒，至少需要多少平方米的铁皮？ 8．一个长方体游泳池，长50米，宽20米，深2米。 (1)这个泳池的占地面积是多少平方米？ (2)在池底和四壁贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (3)为了保证游泳者有足够的空间进行各种游泳动作，又能在一定程度上确保安全，一般注入水深1.8米，需要多少立方米水？ 9．小老鼠杰瑞做了一些奶酪，汤姆想：“一定很好吃，我要吃大的。”汤姆选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？（尺寸如图，单位：厘米） 10．一个通风管的横截面是边长为0.5米的正方形，长3.5米，学校劳动基地要做10个这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮？ 11．一根铁丝正好能做一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体框架。如果用这根铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 12．一个长方体的饼干盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它的高贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 13．灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图），至少需要多少厘米长的木条？ 14．下图是实验小组的同学们测量珊瑚石体积的实验，请你用给出的数据计算珊瑚石的体积？ 15．新兴小学五（1）班为选举班长制作一个长方体投票箱（如图），长和宽都是40厘米，高是50厘米。 (1)如果只在棱上贴胶带，至少需要胶带多少米？ (2)给投票箱的四周贴上红纸（上、下两个面不贴），至少需要多少平方厘米的红纸？ 16．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 17．一个长方体玻璃缸，长、宽、高分别是6分米，5分米，4分米。 (1)做这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？（上面没盖） (2)在缸里注入深3.5分米的水，如果投入一块棱长3分米的正方体铁块（如图，玻璃厚度忽略不计），缸里的水溢出多少升？ 18．一种长方体礼品盒，长和宽为4分米，高为2分米，如图所示。    （1）如果用包装带把它捆扎起来，打结处的包装带长20厘米，一共需要多少米包装带？ （2）做这个礼品盒至少需要多少平方分米纸板？ 19．有一个高是12厘米的长方体，如果把长方体横切成3个大小相等的小正方体（如图所示），这3个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 20．一块长35厘米、宽30厘米的铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖的盒子（如下图）。这个铁盒的容积是多少毫升？（铁皮厚度忽略不计） 参考答案 1．7厘米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，把数据代入公式解答即可。 【详解】（8＋7＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：正方体的棱长是7厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2． 79平方分米 【分析】求制作这样一个收纳盒至少需要多少平方分米木板就是求这个长方体五个面的面积和，根据长方体表面积公式可知：需要的木板面积＝长×宽×2＋宽×高×2＋长×高。 【详解】5×4×2＋3×4×2＋5×3 ＝40＋24＋15 ＝79（平方分米） 答：制作这样一个收纳盒至少需要79平方分米木板。 3．78.72千克 【分析】根据题意，先求出这个长方体油桶的容积，即长乘宽乘高，再乘每升汽油的质量即可。 【详解】4×4×6 ＝16×6 ＝96（立方分米）； 96立方分米＝96升； 96×0.82＝78.72（千克）； 答：这个油桶最多可装汽油78.72千克。 【点睛】解答本题的关键是先求出长方体油桶的容积。 4．936千克 【分析】根据题意可知，横截面是正方形的长方体体积公式为：正方形面积×长，正方形面积：边长×边长，求出长方体体积后再乘每立方分米的方钢重量即可求出这块方钢一共重多少千克。 【详解】3米＝30分米 2×2×30×7.8 ＝120×7.8 ＝936（千克） 答：这块方钢一共重936千克。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，注意长度单位之间的换算。 5．90平方分米；54立方分米 【分析】将两个正方体拼成一个长方体之后，表面积减少了两个面，用每个面的面积乘拼成后正方形的面数即可求出表面积；拼成一个长方体之后，体积为两个正方体体积之和，据此解答即可。 【详解】表面积：3×3×（6×2－2） ＝9×10 ＝90（平方分米）； 体积：3×3×3×2 ＝27×2 ＝54（立方分米）； 答：这个长方体的表面积是90平方分米，体积是54立方分米。 【点睛】解答本题的关键是明确两个正方体拼成一个长方体之后，表面积减少了两个正方形的面，体积为两个正方体体积之和。 6．370米 【分析】由题意可知，长方体有12条棱，那么需要装彩灯的长＝4条高＋2条长＋2条宽，据此列式计算即可求出需要的彩灯的长度。 【详解】20×4＋80×2＋65×2 ＝80＋160＋130 ＝370（米） 答：至少需要370米长的彩灯线。 【点睛】此题主要考查长方体棱长的应用，关键是弄清楚哪几条棱长要装彩灯，哪几条不装彩灯。 7．0.9平方米 【分析】因为没有盖子，所以每个正方体的表面积是5个面的面积和。 【详解】 ＝ ＝（平方米） 答：至少需要0.9平方米的铁皮。 【点睛】掌握正方体的表面积的计算方法。 8．(1)1000平方米 (2)1280平方米 (3)1800立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，长方体底面积＝长×宽； （2）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2； （3）水的体积＝长×宽×水深。 【详解】（1）50×20＝1000（平方米） 答：这个泳池的占地面积是1000平方米。 （2）50×20＋50×2×2＋20×2×2 ＝1000＋200＋80 ＝1280（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1280平方米。 （3）50×20×1.8＝1800（立方米） 答：需要1800立方米水。 9．选择②。 【分析】计算两块奶酪的体积，比大小即可确定汤姆选择哪一个吃的更多。长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝边长×边长×边长。 【详解】8×10×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 480＜512 答：汤姆选择②才能吃到更多的奶酪。 10． 70平方米 【分析】由题可知，要求的是通风管的侧面积，通风管的宽和高均为0.5米，所以长方体四个侧面都是长为3.5米，宽为0.5米的长方形，根据“长方形的面积＝长×宽”用3.5乘0.5计算出一个长方形的面积，再用一个长方形的面积乘4计算出一个长方体需要的铁皮，最后用一个长方体需要的铁皮乘10即可。 【详解】0.5×3.5×4×10 ＝1.75×4×10 ＝7×10 ＝70（平方米） 答：做10个这样的通风管至少需要70平方米的铁皮。 11．8厘米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，先求出长方体棱长总和，这根铁丝的长度不变，长方体的棱长总和就是正方体的棱长总和，再用棱长总和÷12＝正方体框架的棱长。 【详解】（10＋8＋6）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是8厘米。 【点睛】此题考查了长方体、正方体棱长总和的综合应用，牢记公式并能灵活运用。 12．384平方厘米 【分析】上、下面不贴商标纸，求这张商标纸的面积，实际是求长方体4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出这张商标纸的面积。 【详解】10×12×2＋6×12×2 ＝240＋144 ＝384（平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少有384平方厘米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 13．260厘米 【分析】制作一个长方体灯笼的框架至少需要木条的长度，就是这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可解答。 【详解】 （厘米） 答：至少需要260厘米长的木条。 14．562.5立方厘米 【分析】珊瑚石完全浸没在水里后，珊瑚石的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为15厘米，宽为15厘米，高为（10.5－8）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。 【详解】15×15×（10.5－8） ＝15×15×2.5 ＝225×2.5 ＝562.5（立方厘米） 答：珊瑚石的体积是562.5立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式解决问题。 15．(1)5.2米 (2)8000平方厘米 【分析】所需胶带的长度等于长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算； 求红纸的面积就是求长方体前、后、左、右四个面的面积，根据长方体的表面积公式，红纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算。注意单位统一。 【详解】（1）40厘米＝0.4米，50厘米＝0.5米 （0.4＋0.4＋0.5）×4 ＝1.3×4 ＝5.2（米） 答：如果只在棱上贴胶带，至少需要胶带5.2米。 （2）长方体的长和宽都是40厘米。 由分析可列式： 40×50×4 ＝2000×4 ＝8000（平方厘米） 答：至少需要8000平方厘米的红纸。 16．432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 17．(1)118平方分米 (2)12升 【分析】（1）计算玻璃缸所需玻璃面积时，即求出底面面积与四个侧面面积之和； （2）计算水溢出的体积时，先分别求出水（长×宽×水深）和铁块的体积（棱长×棱长×棱长），再求出它们的体积和，最后减去玻璃缸的容积（长×宽×高），并根据1立方分米＝1升，将单位换算成升。 【详解】（1）6×5＋6×4×2＋5×4×2 ＝30＋24×2＋20×2 ＝30＋48＋40 ＝78＋40 ＝118（平方分米） 答：做这个玻璃缸需要118平方分米的玻璃。 （2）水的体积：6×5×3.5 ＝30×3.5 ＝105（立方分米） 正方体体积：3×3×3＝27（立方分米） 体积和：105＋27＝132（立方分米） 玻璃缸体积：6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） 溢出的水：132－120＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 答：缸里的水溢出12升。 18．（1）2.6米； （2）64平方分米 【分析】（1）通过观察发现：包装带的长包括2条长、2长宽、4条高的长及结的长，所以用长×2＋宽×2＋高×4＋结的长，即可求出一共需要包装带的长度。 （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长、宽、高的数值代入长方体表面积公式计算，即可求出做这个礼品盒至少需要的纸板的面积。 【详解】（1）20厘米＝2分米 4×2＋4×2＋2×4＋2 ＝8＋8＋8＋2 ＝26（分米）   26分米＝2.6米 答：一共需要包装带2.6米。 （2）（4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方分米） 答：做这个礼品盒至少需要64平方分米纸板。 【点睛】此题考查了长方体的棱长和公式、长方体的表面积公式。 19．64平方厘米 【分析】根据题意可知，横切成3个大小相同的正方体，则小正方体的棱长是（12÷3）厘米；横切成3个大小相同的正方体，增加4个横截面的面积，根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长，求出1个横截面的面积，再乘4，即可解答。 【详解】12÷3＝4（厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（平方厘米） 答：这3个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。 20．2500毫升 【分析】根据题意可知，长方体铁盒的长是（35－5×2）厘米，宽是（30－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（35－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（35－10）×（30－10）×5 ＝25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 2500立方厘米＝2500毫升 答：这个铁盒的容积是2500毫升。 学科网（北京）股份有限公司 $