暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体核心概念，通过基础巩固、综合应用、实际问题解决三阶训练，系统提炼公式应用、空间转化、最优策略等解题方法，构建从概念到应用的完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |填空题|7题（如第2、7题）|小正方体拼组长方体体积计算、拼接最大表面积策略|从棱长→体积/表面积公式推导，延伸至立体图形拼接规律| |选择题|6题（如第16、18题）|截长方体表面积变化分析、包装最省纸策略|结合空间想象，应用表面积减少原理解决实际优化问题| |解答题|7题（如第20、26题）|排水法测体积、折叠铁盒表面积与容积计算|从公式直接应用到实际情境建模，体现数学眼光与应用意识|

暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、填空题 1．在括号里填上合适的单位。 (1)一个碗的容积约是250( )。 (2)一台洗衣机的体积约是0.28( )。 (3)一个纯净水水桶的容积约是16( )。 2．要用1cm3的小正方体摆一个长7cm、宽4cm、高2cm的长方体，需要( )个小正方体，拼成的长方体的体积是( )cm3。 3．用一根长( )铁丝正好做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架． 4．一个正方体的表面积是54cm2，它的棱长之和为( )cm。 5．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就会扩大到原来的( )倍。 6．公园里有一种垃圾箱，长85厘米，宽40厘米，高1米，如果给垃圾箱的上面和四周涂上油漆，每个垃圾箱需要涂油漆的面积是( )平方米。 7．有两个完全相同的长方体，长是10厘米，宽是7厘米，高是4厘米。若将它们拼成一个表面积最大的长方体，表面积是( )平方厘米。 二、判断题 8．这个图一定能围成一个正方体。( ) 9．一个正方体盒子容积是120立方分米，它的体积一定是120立方分米。( ) 10．正方体的表面积＝棱长×6。( ) 11．一个棱长3分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加9平方分米。( ) 12．一个物体的体积大于它的表面积。( ) 三、选择题 13．一辆汽车上油箱的容积约是60（    ）。 A．升 B．毫升 C．立方米 D．立方厘米 14．一个正方体的棱长总和是84 cm，它的棱长是（    ）cm。 A．5 B．6 C．7 D．8 15．下图是一个正方体展开图中的五个面。从①至④中选一个面，能补全正方体展开图的是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 16．一个长方体木块，从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60cm2。原来长方体木块的体积是（    ）立方厘米。 A．36 B．54 C．64 D．72 17．下面的大正方体是由棱长为1cm的小正方体积木拼成的。用这些小积木重新拼一个长方体（积木全部用完），那么这个长方体的高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．8 D．12 18．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面四种不同的包装方式，（    ）最省包装纸。 A． B． C．D． 四、计算题 19．看图计算. 正方体的表面积:      长方体的表面积: 五、解答题 20．小雅用正方体玻璃容器测量一个土豆的体积。实验步骤如下：她将一个土豆放入一个棱长是7厘米的正方体容器中，往容器中注水，直到把土豆完全浸没，此时水面高度为5厘米；取出容器中的土豆后，水面高度为3厘米。请你根据以上测量的数据，求出这个土豆的体积。 21．一个长方体蓄水池，长25米，宽18米，深2米，这个蓄水池最多能容纳多少立方米的水？ 22．小智参加“2024年全国青少年航天创新比赛”，需要把棱长是8厘米的正方体粘土捏成一个长是16厘米，宽是4厘米的长方体粘土太空舱，这个长方体太空舱的高是多少厘米？ 23．一块正方体木料，它的棱长是6分米，如果1立方分米木料重2.7千克，这块木料重多少千克？ 24．小亮家通过对比筛选，购买了下面这款微波炉。小亮想知道这款微波炉的容积，他需要用到图中哪些信息？请在相应信息前面画“√”，并计算出这款微波炉的容积。 25．一个长方体容器从里面量，底面长60厘米，宽30厘米，里面有部分水，放入体积3600立方厘米的物体（物体全部浸入水中），水面升高多少？ 26．一块长方形铁皮，长38cm，宽26cm，四角裁去边长4cm的小正方形，折叠成无盖收纳铁盒。 (1)铁盒外壁刷防锈漆，每平方厘米用漆0.4克，一共需要油漆多少克？ (2)该铁盒的容积是多少立方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 参考答案 1．(1) 毫升/mL (2) 立方米/m3 (3) 升/L 【分析】常见的容积单位有毫升、升，计量比较少的液体，通常用毫升作单位，1升相当于2瓶矿泉水的容积，1小瓶口服液的容积是10毫升。 常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。中小型双开门的体积大约为1立方米；粉笔盒的体积大约为1立方分米；骰子的体积大约为1立方厘米。 结合数据与实际解答。 【详解】（1）一个碗的容积约是250毫升。 （2）一台洗衣机的体积约是0.28立方米。 （3）一个纯净水水桶的容积约是16升。 2． 56 56 【分析】由题可知，长方体的长、宽、高分别为7cm、4cm、2cm，根据公式长方体的体积＝长×宽×高，可以求出长方体的体积，小正方体的体积是1cm3，由长方体的体积可求出相应的结果。 【详解】7×4×2＝56（cm3） 56÷1＝56（个） 3．56厘米 【分析】长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可． 【详解】（6+5+3）×4， =14×4， =56（厘米）， 答：用一根长56厘米的铁丝． 故答案为56厘米． 4．36 【分析】已知一个正方体的表面积是54cm2，根据正方体的表面积公式S＝6a2，可知正方体的表面积÷6＝一个面的面积； 因为正方体的每个面都是相同的正方形，由正方体一个面的面积确定正方体的棱长； 再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出它的棱长之和。 【详解】54÷6＝9（cm2） 因为9＝3×3，所以这个正方体的棱长是3cm。 3×12＝36（cm） 它的棱长之和为36cm。 5．27 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大27倍。 【详解】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据题干，棱长扩大到原来的3倍，扩大后的正方体的体积是（棱长×3）×（棱长×3）×（棱长×3）＝棱长×棱长×棱长×27，是原来正方体体积的27倍，因此，它的体积就会扩大到原来的27倍。 【点睛】此题主要根据正方体的体积的计算方法和积的变化规律解决问题。 6．2.84 【分析】求每个垃圾箱需要涂油漆的面积，底面不涂漆，说明这个垃圾箱涂了5个面的面积，缺少下面，求出垃圾箱上、前、后、左、右5个面的面积和就是需要涂漆的面积。 【详解】1米＝100厘米 85×40＋85×100×2＋40×100×2 ＝3400＋17000＋8000 ＝20400＋8000 ＝28400（平方厘米） 28400平方厘米＝2.84平方米 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 7．496 【分析】长方体有上、下、前、后、左、右六个面，其中相对的面的面积相等。若要使拼接后表面积最大，就要在拼接时使接触的面的面积最小，这样可以使减少的面积最小，从而保证表面积最大。 【详解】上面的面积：10×7＝70（平方厘米） 前面的面积：10×4＝40（平方厘米） 侧面的面积：4×7＝28（平方厘米） 因为28＜40＜70，所以拼接时相互重合的面是侧面。 10＋10＝20（厘米） （20×7＋7×4＋4×20）×2 ＝248×2 ＝496（平方厘米） 【点睛】 立体图形拼接后，会减少接触面的面积，所以我们就从这里入手思考。本题考验了学生的空间想象能力。若有困难，可以画示意图来帮助分析。 8．√ 【分析】能不能围成一个正方体，要看这个展开图是否属于正方体展开图的基本类型，根据正方体展开图的类型，1－4－1型，2－3－1型，2－2－2型，3－3型，据此判断解答即可。 【详解】属于2－3－1型，是正方体展开图类型，能拼成正方体；所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题的解题关键是记住正方体展开图的基本类型。 9．× 【分析】求物体的体积是从该物体的外部来测量，而求容积却是从物体的内部来测量。一种既有体积又有容积的物体，它的体积一定大于它的容积；只有当忽略容器壁的厚度时，它的容积才等于体积。 【详解】一个正方体盒子容积是120立方分米，它的体积大于120立方分米。 故答案为：×。 【点睛】此题考查的是正方体体积和容积的关系，属于基础知识，需要熟练掌握。 10．× 【详解】正方体有6个面，每个面都是正方形，大小都相同，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，原题说法错误。所以答案错误。 11．× 【分析】根据题意可知，把棱长是3分米的正方体切成完全一样的两个长方体，这两个长方体的表面积和比原来正方体的表面积增加了两个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出这两个切面的面积与9平方分米进行比较即可。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 18≠9 因此，题干中的说法是错误的。 故答案为：× 12．× 【分析】物体的体积是物体所占空间的大小，它的表面积是所有面的面积之和，这是两个不同的概念，不能比较大小。 【详解】一个物体的体积与它的表面积无法比较大小。 故答案为×。 13．A 【分析】根据生活经验、数据大小及对体积（容积）单位的认识可知：计量汽车油箱的容积用升作单位；据此解答。 【详解】一辆汽车的油箱的容积约是60升。 故答案为：A 【点睛】联系生活实际，根据计量单位和数据的大小，灵活选择合适的计量单位。 14．C 【分析】根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【详解】84÷12＝7（厘米） 故答案为：C 【点睛】正方体有12条棱，长度都相等。 15．D 【分析】正方体的展开图有如下类型：第一类，141型，中间四个小正方形，两侧各一个，共六种；第二类，132型，中间三个小正方形，两侧各有一、两个，共三种；第三类，222型，中间两个小正方形，两侧各有两个，只有一种；第四类，33型，两排各三个，只有一种；在正方体的展开图中，任何两个相对的面在展开图中都是不直接相邻的，即在展开图中相隔至少一个面；据此解答。 【详解】A．当选择①补入时，下面四个小正方形，上面两个小正方形上下排列，不符合正方体展开图特征，该选项错误； B．当选择②补入时， 下面四个小正方形，上面两个小正方形左右排列，不符合正方体展开图特征，该选项错误； C．当选择③补入时，下面四个小正方形，上面两个小正方形，不符合正方体展开图特征，该选项错误； D．当选择④补入时，中间四个小正方形，上下两侧各一个小正方形，符合正方体展开图特征，该选项正确。 故答案为：D 16．D 【分析】根据题意，从长方体木块的上部和下部各截去一个长方体后变成了正方体，则原长方体的长和宽相等，减少的表面积包括截去上部和下部两个长方体减少的面积。截去上部减少的面积为（长×1＋宽×1）×2，由于长和宽相等，则减少的面积可表示为长×1×4。同理，截去下部减少的面积为长×4×4，相加即为减少的总面积，进而根据表面积减少了60cm2可以求出长和宽；再求出长方体的总高（1＋长＋4）；最后利用长方体的体积公式：V＝abh计算出原来长方体木块的体积即可。 【详解】长和宽： 60÷4÷（1＋4） ＝60÷4÷5 ＝3（cm） 高：1＋4＋3＝8（cm） 长方体体积：3×3×8＝72（cm3） 故答案为：D 【点睛】本题主要考查长方体表面积和体积公式的灵活应用。 17．C 【分析】从图中可知，原来大正方体的棱长是4cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积，也是所有小积木的体积之和；用这些小积木重新拼成一个长方体，长方体的底面是一个长4cm、宽2cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方体的底面积；再根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算即可。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 64÷（4×2） ＝64÷8 ＝8（cm） 故答案为：C 【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”，灵活运用正方体、长方体的体积公式是解题的关键。 18．A 【分析】要想最省包装纸，就是求这四个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．表面积减少了： 10×7×6 ＝70×6 ＝420（cm2） B．表面积减少了： 10×7×4＋7×2×4 ＝70×4＋14×4 ＝280＋56 ＝336（cm2） C．表面积减少了： 10×2×4＋7×2×4 ＝20×4＋14×4 ＝80＋56 ＝136（cm2） D．表面积减少了： 10×2×6 ＝20×6 ＝120（cm2） 420＞336＞136＞120 故答案为：A 【点睛】掌握立体图形拼接的特点，明确要使拼成的立体图形的表面积最小，则把最大的面重合。 19．正方体的表面积是216平方厘米;长方体的表面积是90平方分米 【分析】根据正方体的表面积=棱长×棱长×6;长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2;据此代入数据即可解答. 【详解】正方体的表面积是:6×6×6=216(平方厘米) 长方体的表面积是:(6×3+6×3+3×3)×2 =(18+18+9)×2 =45×2 =90(平方分米) 答:正方体的表面积是216平方厘米;长方体的表面积是90平方分米. 20．98立方厘米 【分析】水面下降的体积就是土豆的体积，根据正方体体积公式，容器的棱长×棱长×水面下降的高度＝土豆体积，列式解答即可。 【详解】7×7×（5－3） ＝49×2 ＝98（立方厘米） 答：这个土豆的体积是98立方厘米。 21． 900立方米 【分析】求长方体蓄水池的容积，即求长方体的体积。长方体的体积公式为长×宽×高，题目中长、宽、深（即高）分别为25米、18米、2米，将数据代入公式计算即可。 【详解】25×18×2 ＝25×2×18 ＝50×18 ＝900（立方米） 答：这个蓄水池最多能容纳900立方米的水。 22．8厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据题意知二者体积相等，代入数据即可求得长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 答：这个长方体太空舱的高是8厘米。 23．583.2千克 【分析】首先应用正方体体积公式代入已知的棱长数值，计算得到体积；再用求得的体积乘每立方分米木料的重量，即可得到这块木料的总重量。 【详解】 （千克） 答：这块木料重583.2千克。 24．图见详解；17820立方厘米 【分析】计算微波炉的容积，需要用内腔尺寸，因为容积是内部可容纳的空间，外观尺寸是外部大小，功率、频率、电压和容积无关。 根据长方体容积＝长×宽×高，据此解答，注意单位换算。 【详解】如图： 180毫米＝18厘米；300毫米＝30厘米；330毫米＝33厘米 18×30×33 ＝540×33 ＝17820（立方厘米） 答：这款微波炉的容积是17820立方厘米。 25．2厘米 【分析】物体全部浸入水中，物体的体积等于水面上升的体积，已知物体的体积，先用长乘宽求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用物体的体积除以长方体的底面积，即可求出水面升高的高度。 【详解】3600÷（60×30） ＝3600÷1800 ＝2（厘米） 答：水面升高2厘米。 【点睛】此题的解题关键是根据转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决实际的问题。 26．(1)369.6克 (2)2160立方厘米 【分析】（1）由题意得，铁盒外壁的面积（无盖）等于原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积。先求出面积，再用面积乘每平方厘米用漆的质量，即可求出一共需要的油漆质量。 （2）折叠成的长方体铁盒，其长等于原铁皮的长减去两个小正方形的边长，宽等于原铁皮的宽减去两个小正方形的边长，高等于小正方形的边长。根据长方体容积公式，代入数据计算即可。 【详解】（1）38×26－4×4×4＝988－64＝924（平方厘米） 924×0.4＝369.6（克） 答：一共需要油漆369.6克。 （2）38－4×2＝30（厘米） 26－4×2＝18（厘米） 30×18×4＝2160（立方厘米） 答：该铁盒的容积是2160立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $