第二章 直线和圆的方程 专项训练试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 试卷聚焦直线和圆的方程，通过基础辨析、综合应用分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配一轮复习知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|倾斜角、弦长、法向量等|基础概念辨析，如第1题倾斜角转化考查几何直观| |多选题|3|圆的位置关系、切线性质|多维度判断，如第9题结合圆的方程与轴相切考查推理意识| |填空题|3|距离最值、公共弦长|动态问题设计，如第12题距离最大值考查数学思维| |解答题|5|切线方程、轨迹方程、中线方程|综合应用，如第16题轨迹方程与面积最值结合，体现数学语言表达现实问题，符合高考命题趋势|

高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 一、单选题 1．直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 4．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 5．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 二、多选题 9．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 10．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 11．设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则（    ） A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 三、填空题 12．对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 13．已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________． 四、解答题 15．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16．已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 17．已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 18．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 19．已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C B A C BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 2．D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 3．A 【详解】的法向量为，因此，故. 4．C 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 5．C 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 6．B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 7．A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 8．C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 9．BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 10．ABD 【分析】选项A，将直线方程整理为参数项与常数项分离的形式，建立关于的方程并求解，即可得到定点坐标；选项B，通过圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式建立关于的方程并求解；选项C，求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，所以代入对应值计算即可；选项D，利用勾股定理表示切线长，根据点到圆心的距离最小时切线长最小，代入公式计算即可. 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误.    选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确.    11．BCD 【分析】根据中点到直线的距离和的大小。判断直线与圆的位置关系，可判断A的真假；利用平面向量的数量积的运算法则，结合的取值范围，可求的最大值，判断B的真假；结合AB的结论，可求的最小值，判断C的真假；对D，把问题转化为求直线上一点，的最小值问题.再设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意， 对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为. 到直线的距离， 又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误； 对B，因为. 又，所以. 所以.故B正确； 对C，因为，所以， 因为，所以， 又，所以.故C正确； 对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为， 求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小. 设，，，点关于直线的对称点为. 易得直线：， 联立，消去整理得， 整理得，因.则. 所以，，同理，. 所以 ，. 故当时，取得最小值， 所以.故D正确. 12． 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 13． 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 14． 【分析】由题意可得，再求解与，可得以及即可求解. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知，， ， 即，且. 所以cos    ，故 .    15．(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 16．(1)； (2)． 【分析】(1) 设点，根据几何关系列出方程后化简即可； (2) 当点C到AB的距离最大时，△ABC面积最大，结合圆的性质求解即可. 【详解】（1）设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. （2）由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又△ABC的边长AB＝4， 故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大， 由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为， 故△ABC面积的最大值为． 17．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 18．(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 19．(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $