7.3 空间直线、平面的平行 专项训练-2027年高三数学一轮复习

**基本信息** 以判定-性质定理为核心，通过“线线-线面-面面”平行转化思想，系统覆盖选择、证明、计算等题型，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识复习|4定理+8结论|判定与性质定理“互化”（线线⇒线面⇒面面）|从线面平行到面面平行，构建“判定-性质”逻辑链| |典型例题|8类32题|小题辨析定理条件，证明题用中位线/平行四边形构造线线平行，性质题利用交线转化|从基础辨析到综合应用，覆盖判定、性质、补条件、算长度等考法|

· 7.3 空间直线、平面的平行（精讲） 第一部分：知识复习 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b [常用结论] 1．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β ，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2．与平行关系有关的性质 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． 第二部分：典型例题 典例一：平行中小题的问题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于ABC，直线也可能在平面内，不能推出，ABC错误； 对于D，，， 根据面面平行的性质可得，是充分条件，D正确． 2．（25-26高三上·新疆和田·期末）已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题： ①；②；③；④其中正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据空间线面垂直、面面平行的判定与性质，逐一判断四个命题的正误即可. 【详解】对于①，若，，由线面垂直的性质可知，或，故①错误； 对于②，若，由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，即，故②正确； 对于③，若，由面面平行的相关判定结论可得，垂直于同一直线的两个平面互相平行，即，故③正确； 对于④，若，则两个平行平面内的直线可能平行，也可能异面，故与不一定平行，故④错误. 综上，正确的命题为②③. 3．（25-26高三上·重庆綦江·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下面正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定与性质定理，逐一判断各选项正误即可. 【详解】 对于A：若，，则存在或两种情况，故A错误； 对于B：由面面平行的性质定理：两个平行平面与第三个平面相交，则所得的两条交线平行，故B正确； 对于C：若，，则存在或与相交两种情况，故C错误； 对于D：若，，则与的位置关系为平行或异面，故D错误. 4．（25-26高三上·四川达州·期末）已知直线a，b，l，平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】选项A. 若，，则或，故A不正确. 选项B. 若，，则或异面，故B不正确. 选项C. 若，，，，，根据面面平行的判定可知，故C正确； 选项D. 若，，，，缺少条件相交，不能推出，故D不正确. 典例二：直线与平面平行的判定 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点． 证明：∥平面； 【答案】取的中点，连接，． 因为分别为的中点， 所以，且． 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面平面，所以∥平面． 【分析】取的中点，利用平行四边形的性质证明线面平行. 【详解】略 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，，. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)在正三棱柱中，平面，平面， 所以， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2)连接交于点，连接， 在三棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）连接交于点，连接，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面. 【答案】(1)连接，因为分别是棱的中点，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面； (2)连接，可得，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱，的中点， 所以，得， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【分析】（1）连接，利用四边形为平行四边形和中位线定理可得答案； （2）连接，利用面面平行的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26高三上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)如图，连接交于点O，再连接， ∵四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 又平面，平面， 平面. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式可求解. （2）连接交于点O，再连接，结合中位线和线面平行的判定求证. 【详解】（1）平面，底面是正方形，且， ； （2）略. 典例三：平面与平面平行的判定 9．（25-26高三上·新疆巴州·期中）如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【分析】（1）先证明B、C、G、H四点共面，再证得，进而根据线面平行的判定得证； （2）由中点根据中位线性质得，证得平面，再结合（1）中结论由线面平行证得面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26高三上·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，证明线线平行； （2）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明线面平行； （3）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用面面平行判定定理证明面面平行． 【详解】（1），分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ， ． （2）连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，则点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 又平面，平面， 平面． （3）连接，，，则四边形是平行四边形， ， ，，则四边形是平行四边形， ， ， 又，， 四边形是平行四边形， ， ， 平面平面． 12．（25-26高三上·全国·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论. 【答案】存在为棱的中点，证明见解析 【分析】由中点找中点，取棱的中点，证明两次线面平行即得平面平面. 【详解】 存在为棱的中点，使平面平面． 证明如下：如图，连接． 因为分别是棱的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为分别是棱的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为，平面，所以平面平面，得证． 典例四：直线与平面平行的性质 13．（25-26高三上·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面; (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，又为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； (2)在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． (3) 【分析】（1）连接，交于，那么ME为的中位线，则，从而证得平面； （2）在正方形中，有，可证得平面，又面，平面平面，根据直线与平面平行的性质可证得，最后证得平面； （3）通过等体积法可知，从而求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）略 （3）. 14．（25-26高三上·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)连结，交于点O，如图示： ∵O是正方形对角线交点， ∴O为中点，而E为线段的中点， ∴，平面，平面， ∴平面； (2)由（1）平面，且平面∩平面，平面，所以； (3) 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定可得平面； （2）根据（1）的结论及线面平行的性质定理证明结论； （3）由等体积法及棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题设知，三棱锥的体积. 15．（25-26高三上·四川遂宁·期末）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为. (1)求的长度; (2)求正四棱锥的表面积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)36 (3)由题意知底面为正方形，则， 又因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，则. 【分析】（1）设底面边长为，利用勾股定理写出斜高的表达式，结合侧面积与底面积的数量关系列方程，即可求出； （2）由（1）求底面积，根据侧面积是底面积2倍的条件，两部分面积相加即得表面积； （3）先由线面平行的判定定理证得平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明. 【详解】（1）设底面的边长为，因为为底面中心，为的中点， 所以且，底面积为， 已知高，在中，. 则侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积. （3）略 16．（25-26高三上·广西桂林·期末）如图，平面四边形是边长为3的正方形，平面，，且．    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. (2)证明：因为四边形是正方形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面. (3)存在，点是上靠近点的三等分点，即. 【分析】（1）根据题意，分别证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）根据题意，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （3）假设线段上存在点满足题意，由线面平行的性质，证得和，得到，进而得到答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：存在，点是上靠近点的三等分点，即, 理由如下：假设线段上存在点满足题意， 因为平面平面，平面，平面，所以， 又因为平面平面，平面，平面，所以， 所以，即点是上靠近点的三等分点，即. 典例五：平面与平面平行的性质 17．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，．证明：； 【答案】证明：因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 【分析】将圆台补成圆锥，利用面面平行的性质证明线线平行. 【详解】略 18．（25-26高三上·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．（25-26高三上·全国·期末）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证. 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 典例六：补全线面、面面平行的条件 21．（25-26高三上·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． (3)存在， 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）略 （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 22．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； (2)存在，． 【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【详解】（1）略 （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 23．（25-26高三上·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)存在，，证明如下： 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 24．（25-26高三上·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【点睛】 典例七：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 25．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 【答案】(1)取中点，连接，为的中点，为的中点， ，，又因为，所以， 所以是平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面； (2)， 证明如下： 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此. 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）略； （2），证明略；. 26．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据得出，可求出的值，利用线面平行的性质得出，可得出，即可得出的值. 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 27．（25-26高三上·广东湛江·期末）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______________． 【答案】/ 【分析】连接，设，再连接，利用线面平行的性质推导出为的中点，再结合锥体的体积公式计算即可. 【详解】如图，连接，设，再连接， 因为四棱锥为正四棱锥，则四边形为正方形， 又因为，则为的中点． 因为平面，平面，平面平面， 所以，则为中点， 所以， 又因为，则， 所以． 因为，则， 故． 28．（25-26高三上·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，先通过线面平行得到线线平行，证明四边形是平行四边形，求出，再通过梯形的中位线得到，从而找到，即. 【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以， 设，，因为，所以，则，因为E是棱的中点，所以， 因为是梯形的中位线，所以，所以，所以，所以. 典例八：由线面平行求线段长度 29．（25-26高三上·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 30．（25-26高三上·全国·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点．若与交于点，满足平面，求的长． 【答案】 【分析】由线面平行推出线线平行，从而得出三角形相似，进而利用线段长度比例求出相关线段长度，再利用等边三角形的性质结合勾股定理求解． 【详解】平面平面，平面，平面， ， ， ， ， 又， ， 又， ，； 作，垂足为，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，； 是边长为的等边三角形， 为中点，，， ， ， ． 31．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 32．（2026·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ · 7.3 空间直线、平面的平行（精讲） 第一部分：知识复习 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b [常用结论] 1．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β ，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2．与平行关系有关的性质 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等． 第二部分：典型例题 典例一：平行中小题的问题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三上·新疆和田·期末）已知为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题： ①；②；③；④其中正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（25-26高三上·重庆綦江·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下面正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，则 4．（25-26高三上·四川达州·期末）已知直线a，b，l，平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，，则 D．若，，，，则 典例二：直线与平面平行的判定 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点． 证明：∥平面； 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，，. (1)证明：； (2)证明：平面. 7．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面. 8．（25-26高三上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，点P是中点，平面，底面是正方形，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 典例三：平面与平面平行的判定 9．（25-26高三上·新疆巴州·期中）如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 10．（25-26高三上·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 11．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 12．（25-26高三上·全国·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点．在棱上找一点，使得平面平面，并证明你的结论. 典例四：直线与平面平行的性质 13．（25-26高三上·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面; (3)求三棱锥的体积. 14．（25-26高三上·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 15．（25-26高三上·四川遂宁·期末）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为. (1)求的长度; (2)求正四棱锥的表面积； (3)设平面平面，求证：； 16．（25-26高三上·广西桂林·期末）如图，平面四边形是边长为3的正方形，平面，，且．    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 典例五：平面与平面平行的性质 17．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，．证明：； 18．（25-26高三上·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 20．（25-26高三上·全国·期末）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 典例六：补全线面、面面平行的条件 21．（25-26高三上·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 22．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 23．（25-26高三上·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 24．（25-26高三上·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 典例七：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 25．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 26．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·广东湛江·期末）如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______________． 28．（25-26高三上·福建厦门·期中）在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 典例八：由线面平行求线段长度 29．（25-26高三上·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 30．（25-26高三上·全国·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，，是边长为的等边三角形，是的中点，为上一点．若与交于点，满足平面，求的长． 31．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 32．（2026·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $