27.1 反比例函数的概念 课前预习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以反比例函数概念为核心，通过概念辨析、参数计算、实际应用及几何综合题，系统构建“定义-性质-应用”逻辑链条，强化抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与判断|单选1/3/11、填空11|定义法（y=k/x,k≠0）、点坐标验证（xy=k）|从概念本质（形式与系数）到图像特征（点的坐标关系）| |参数求解与图像应用|单选2/9、填空9、解答15|待定系数法、方程思想|参数意义（k的几何意义）与函数类型判定的推理链| |实际问题与综合应用|单选4/5/7、填空8/10、解答12/14/16|数量关系建模（xy=常量）、几何性质结合（菱形/面积）|实际情境抽象为反比例模型，关联几何直观与推理意识|

27.1 反比例函数的概念 课前预习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数．当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列各点中，在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．考试人数、及格人数和及格率三个量中，当_____一定时，其他两个量成反比例，横线处是（   ） A．考试人数 B．及格人数 C．及格率 D．无法确定 5．下列式子中，成反比例关系的是（    ） A．圆的面积与半径 B．速度一定，行驶路程与时间 C．平行四边形面积一定，它的底和高 D．一个人跑步速度与它的体重 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 二、填空题 8．小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为______（）． 9．已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 10．现有三张正面分别标有数字1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字．前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点在函数的图象上的概率是___________． 11．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有___________（填序号） 三、解答题 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 13．写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数． (1)三角形的面积为，其底边长为，该边上的高为． (2)圆锥的体积为，它的高为，底面面积为． 14．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 15．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 16．如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A C B C B C 1．【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 将，代入解析式可得值． 【详解】解：∵时，， ∴， ∴． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点在函数图象上需满足． 根据反比例函数的性质，判断是否满足即可． 【详解】解：A、，不在反比例函数图象上； B、，不在反比例函数图象上； C、，在反比例函数图象上； D、，不在反比例函数图象上； 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义， 根据题意可知，再结合反比例函数定义解答即可. 【详解】解：根据题意，得， 所以当及格人数一定时，考试人数和及格率成反比例. 故选：B. 5．【答案】C 【知识点】 反比例的意义及辨识、用反比例函数描述数量关系 【分析】根据成反比例的定义解答即可． 【详解】A、圆的面积半径，不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、速度v一定时，行驶路程s和时间t的关系，不成反比例关系，故本选项不符合题意； C、平行四边形面积一定，它的底和高，成反比例关系，故本选项符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 ． 6．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 7．【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 【详解】解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ② 中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③ ， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 8．【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式． 【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度， 可得t（v＞0）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度． 9．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 10．【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量、列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）函数的图象上的有2种， ∴点在函数的图象上的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数图像上点的坐标． 11．【答案】②⑤ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 12．【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 13．【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义，判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴y与x是反比例函数． （2）解：由题意，得， ∴， ∴y与x是反比例函数． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数值、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 15．【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 16．【答案】(1)， (2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；② 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求一次函数解析式、求反比例函数值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可； （2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可； ②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， 将代入得： ， ∴点， ∵点在函数的图象上， 将代入得： ； （2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．    延长交轴于点．设点，则点，． ∴ ∵轴 ∴点，点． ∴，． ∴ ， ∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化． ②∵点，点， 设直线的解析式为：， 将代入，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴直线是函数图象的对称轴， 又∵， ∴点，关于直线对称； ∴， ∵点，， ∴ 解得：，（不合题意，舍去）； ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $