第六单元因数与倍数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该小学数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了因数与倍数的知识体系，从基本概念、特征、找法到2/5/3的倍数特征、质数合数、质因数、公因数公倍数等要点，按“概念-特征-方法-应用”递进组织，并用高频易错点汇总突出重难点及内在联系。 讲义亮点在于“概念-方法-应用”的递进练习设计，如通过长方形布料裁正方形（最大公因数应用）、班级队列人数（公倍数应用）等例题，结合真题拔高的填空、选择、解答题，培养运算能力和模型意识。高频易错点汇总帮助学生规避概念混淆，分层练习让基础薄弱学生掌握方法，优秀学生提升应用，助力教师实施精准教学。

第六单元 因数与倍数（单元举一反三讲义） 知识精讲 知识点一、因数与倍数的基本概念 1. 因数与倍数的定义 在非0自然数范围内，如果数a除以数b，商是整数且没有余数，那么a是b的倍数，b是a的因数。因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是因数或某一个数是倍数。 2. 研究范围限定 因数与倍数的研究对象仅限非0自然数，小数、分数、0都不参与因数与倍数的研究。 3. 相互依存特性 因数离不开倍数，倍数离不开因数，必须成对描述。例如：12÷3=4，只能说12是3的倍数，3是12的因数，不能单独说12是倍数、3是因数。 知识点二、因数与倍数的基本特征 1. 因数的特征 一个数的因数个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。1是所有非0自然数的公因数。 2. 倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 特殊规律 一个数的最大因数和最小倍数相等，都是这个数本身。 知识点三、找因数和找倍数的方法 1. 找一个数因数的方法 （1）乘法配对法：有序列举两个自然数相乘等于这个数的所有算式，算式中的两个乘数即为该数的因数； （2）除法筛选法：用这个数依次除以1、2、3……，能整除且没有余数的除数和商都是它的因数； （3）书写规范：因数从小到大有序排列，成对查找，避免遗漏、重复。 2. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3……，所得的积都是这个数的倍数。倍数数量无限，书写时末尾可加省略号。 知识点四、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两类。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的数，同时是2和5的倍数。 5. 3的倍数特征 一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。判断3的倍数与个位数字无关，只看各位数字之和。 知识点五、质数与合数 1. 质数的定义 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。质数的因数只有2个。 2. 合数的定义 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数的因数个数大于2个。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 4. 奇偶与质合的区分关系 奇数、偶数是按照能否被2整除分类；质数、合数是按照因数个数多少分类。两类分类标准不同，不能混淆。 5. 核心特殊质数 2是唯一的偶质数，其余所有质数都是奇数。 知识点六、质因数与分解质因数 1. 质因数的定义 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。质因数必须同时满足是质数、是对应合数的因数两个条件。 2. 分解质因数的定义 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。质数不能分解质因数。 3. 分解质因数规范 分解质因数的最终结果必须是所有乘数均为质数，书写格式为合数=质数×质数……，不允许出现1、合数。 知识点七、公因数与最大公因数 1. 公因数的定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。公因数的个数是有限的。 2. 最大公因数的定义 几个数的公因数中最大的一个数，叫做这几个数的最大公因数。 3. 互质数的定义 公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数最大公因数是1，互质的数不一定都是质数。 4. 常见互质情况 1和任意非0自然数互质；两个不同质数一定互质；相邻两个自然数一定互质。 知识点八、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数的定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数的个数是无限的。 2. 最小公倍数的定义 几个数的公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数。没有最大公倍数。 知识点九、最大公因数与最小公倍数特殊规律 1. 倍数关系规律 两个数成倍数关系时，较小数是这两个数的最大公因数，较大数是这两个数的最小公倍数。 2. 互质关系规律 两个数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 概念依存易错 单独描述一个数是因数、一个数是倍数，忽略因数与倍数相互依存的关系。 2. 范围判定易错 把0、小数、分数纳入因数倍数研究范围，记错研究范围仅限非0自然数。 3. 因数倍数特征易错 混淆因数有限、倍数无限的特点，记错一个数最大因数、最小倍数都是本身。 4. 3的倍数判断易错 模仿2、5的倍数看个位判断3的倍数，忽略3的倍数需要计算各位数字之和。 5. 质合数判定易错 误将1归为质数或合数；混淆奇偶、质合两套分类标准；忘记2是唯一偶质数。 6. 分解质因数易错 分解质因数结果中出现合数或1，书写格式不规范，未完全分解为质数相乘形式。 7. 互质数概念易错 误认为互质的两个数必须是质数，忽略合数与质数、合数与合数也可以互质。 8. 最大公因数、最小公倍数规律易错 记错倍数关系、互质关系下的最大公因数和最小公倍数取值规律，造成结果判断错误。 例题讲解 【例题】 1．将长84厘米，宽60厘米的长方形布料，裁成同样大小的正方形，没有剩余，裁成的正方形布料边长最大是( )厘米。 【例题】 2．一个九位数最高位是最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是自然数的单位，其余数位上都是0，则这个数写作( )，省略万位后面的尾数是( )。 【例题】 3．有两根彩带，分别长45厘米和30厘米。要把它们剪成相等的小段，且没有剩余，每根彩带最长是多少厘米？一共能剪成多少段这样的短彩带？ 【例题】 4．学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以8人一排，也可以12人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40至50之间，可能是多少人？ 真题拔高 二、填空题 5．a＝2×3×7，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是( )。 6．如果三位数34□既是2的倍数，又是5的倍数，那么□内可以填( )；如果它是3的倍数，那么□内最小可以填( )，最大可以填( )。 7．已知m÷n＝4，且n为质数，m和n的最大公因数是( )，它们的公因数是( )（全部列出）。 8．一个三位数，它既是偶数，又含有因数3和5，这个三位数最大是( )，最小是( )。 9．将一个长18厘米、宽12厘米的长方形纸片剪成同样大小的正方形且没有剩余，至少剪_____个。 10．有一盒糖果，7粒一组还余3粒，5粒一组还余3粒，这盒糖果至少有( )粒。 11．已知a和8互质，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 12．甲数＝3×5×5，乙数＝2×3×5，甲乙两数的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 三、选择题 13．下列各数中，因数的个数是奇数个的是（    ）。 A．24 B．36 C．48 D．60 14．在大于5的自然数中，个位上是0的数都不是（    ）。 A．2的倍数 B．5的倍数 C．质数 D．合数 15．一条小路长48m，沿着小路的一侧从起点到终点每隔4m插了一面彩旗。现在要调整为每隔6m插一面，除了起点和终点的彩旗不用拔出，还有（    ）面彩旗也不用拔出。 A．2 B．3 C．4 D．5 16．如果一个正方形的边长是质数，那么它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 17．如果（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．1；ab B．ab；b C．b；a D．a；1 四、判断题 18．一个三位数47□，如果它是3的倍数，那么□里面最小填1。( ) 19．6□1÷3，要使商的中间有0，余数也是0，□里只能填2。( ) 20．2的倍数不一定是合数。( ) 21．因为15÷3＝5，所以15是倍数，5是因数。( ) 22．（A，B均为非0自然数），那么A和B的最小公倍数是A。( ) 五、计算题 23．用你喜欢的方法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和36        40和56 六、解答题 24．为了弘扬中华优秀传统文化，沿江小学在端午节期间举行了1000米龙舟比赛。五年级参加龙舟比赛的学生有40～50，分组时4人一组或6人一组都剩余1人，五年级参加龙舟比赛的学生有多少人？ 25．裁剪大师需要把一张长32分米，宽28分米的长方形复合纸剪成若干张同样大小且边长为整分米数的正方形纸片，没有剩余。至少可以剪成多少张这样的正方形纸片？ 26．参加啦啦操比赛，由于训练需要，陈老师打算采购一批正方形泡沫地垫，在舞蹈室拼接出一个长为60dm，宽为54dm的长方形训练场地，已知正方形泡沫地垫的边长为整分米数，陈老师至少要采购多少块泡沫地垫？ 27．刘老师收到一个四位数的短信验证码ABCD，A是6的最大因数，B既是4的因数又是4的倍数，C的因数只有1和7，D是5的最小倍数，这个验证码是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（单元举一反三讲义） 知识精讲 知识点一、因数与倍数的基本概念 1. 因数与倍数的定义 在非0自然数范围内，如果数a除以数b，商是整数且没有余数，那么a是b的倍数，b是a的因数。因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某一个数是因数或某一个数是倍数。 2. 研究范围限定 因数与倍数的研究对象仅限非0自然数，小数、分数、0都不参与因数与倍数的研究。 3. 相互依存特性 因数离不开倍数，倍数离不开因数，必须成对描述。例如：12÷3=4，只能说12是3的倍数，3是12的因数，不能单独说12是倍数、3是因数。 知识点二、因数与倍数的基本特征 1. 因数的特征 一个数的因数个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。1是所有非0自然数的公因数。 2. 倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 特殊规律 一个数的最大因数和最小倍数相等，都是这个数本身。 知识点三、找因数和找倍数的方法 1. 找一个数因数的方法 （1）乘法配对法：有序列举两个自然数相乘等于这个数的所有算式，算式中的两个乘数即为该数的因数； （2）除法筛选法：用这个数依次除以1、2、3……，能整除且没有余数的除数和商都是它的因数； （3）书写规范：因数从小到大有序排列，成对查找，避免遗漏、重复。 2. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3……，所得的积都是这个数的倍数。倍数数量无限，书写时末尾可加省略号。 知识点四、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两类。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的数，同时是2和5的倍数。 5. 3的倍数特征 一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。判断3的倍数与个位数字无关，只看各位数字之和。 知识点五、质数与合数 1. 质数的定义 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。质数的因数只有2个。 2. 合数的定义 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数的因数个数大于2个。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 4. 奇偶与质合的区分关系 奇数、偶数是按照能否被2整除分类；质数、合数是按照因数个数多少分类。两类分类标准不同，不能混淆。 5. 核心特殊质数 2是唯一的偶质数，其余所有质数都是奇数。 知识点六、质因数与分解质因数 1. 质因数的定义 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。质因数必须同时满足是质数、是对应合数的因数两个条件。 2. 分解质因数的定义 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。质数不能分解质因数。 3. 分解质因数规范 分解质因数的最终结果必须是所有乘数均为质数，书写格式为合数=质数×质数……，不允许出现1、合数。 知识点七、公因数与最大公因数 1. 公因数的定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。公因数的个数是有限的。 2. 最大公因数的定义 几个数的公因数中最大的一个数，叫做这几个数的最大公因数。 3. 互质数的定义 公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数最大公因数是1，互质的数不一定都是质数。 4. 常见互质情况 1和任意非0自然数互质；两个不同质数一定互质；相邻两个自然数一定互质。 知识点八、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数的定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数的个数是无限的。 2. 最小公倍数的定义 几个数的公倍数中最小的一个（0除外），叫做这几个数的最小公倍数。没有最大公倍数。 知识点九、最大公因数与最小公倍数特殊规律 1. 倍数关系规律 两个数成倍数关系时，较小数是这两个数的最大公因数，较大数是这两个数的最小公倍数。 2. 互质关系规律 两个数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 知识点十、单元高频易错点汇总 1. 概念依存易错 单独描述一个数是因数、一个数是倍数，忽略因数与倍数相互依存的关系。 2. 范围判定易错 把0、小数、分数纳入因数倍数研究范围，记错研究范围仅限非0自然数。 3. 因数倍数特征易错 混淆因数有限、倍数无限的特点，记错一个数最大因数、最小倍数都是本身。 4. 3的倍数判断易错 模仿2、5的倍数看个位判断3的倍数，忽略3的倍数需要计算各位数字之和。 5. 质合数判定易错 误将1归为质数或合数；混淆奇偶、质合两套分类标准；忘记2是唯一偶质数。 6. 分解质因数易错 分解质因数结果中出现合数或1，书写格式不规范，未完全分解为质数相乘形式。 7. 互质数概念易错 误认为互质的两个数必须是质数，忽略合数与质数、合数与合数也可以互质。 8. 最大公因数、最小公倍数规律易错 记错倍数关系、互质关系下的最大公因数和最小公倍数取值规律，造成结果判断错误。 例题讲解 【例题】 1．将长84厘米，宽60厘米的长方形布料，裁成同样大小的正方形，没有剩余，裁成的正方形布料边长最大是( )厘米。 【答案】 【分析】要把长方形布料裁成同样大小的正方形且没有剩余，说明正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即边长是长和宽的公因数。要求裁成的正方形边长最大，就是求长和宽的最大公因数，利用短除法找到最大公因数。 【详解】 （厘米） 裁成的正方形布料边长最大是厘米。 【例题】 2．一个九位数最高位是最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是自然数的单位，其余数位上都是0，则这个数写作( )，省略万位后面的尾数是( )。 【答案】 402091000 40209万 【分析】一个数的因数除了1和本身外还有其它的因数，这个数是合数，小于10的合数有4、6、8、9，最小的合数是4，因数只有1和本身两个因数的数是质数，小于10的质数有2、3、5、7，最小的质数是2，最大一位数是9，自然数的单位是1，从左往右依次写出每位上的数，省略万位后面的尾数，看千位上的数，根据“四舍五入”进行省略后加写“万”字。据此解答。 【详解】根据分析可知：最小合数4，最小质数2，最大一位数9，自然数的单位是1。 九位数的最高位是亿位，亿位上是4，千万位上是0、百万位上是2、十万位上是0、万位上是9、千位上是1、百位、十位、个位上都是0，所以这个数写作402091000， 402091000，千位上的数是1，1＜5，所以省略万位后面的尾数是40209万 【例题】 3．有两根彩带，分别长45厘米和30厘米。要把它们剪成相等的小段，且没有剩余，每根彩带最长是多少厘米？一共能剪成多少段这样的短彩带？ 【答案】厘米；段 【分析】剪成相等小段且无剩余时，每段最长的长度是两根彩带长度的最大公因数，总段数可通过两根彩带的总长度除以每段长度求得。 【详解】 30 ＝ 2 ×3×5 和的最大公因数是，即每根短彩带最长是厘米。 ＝ 75 ÷15 （段） 答：每根彩带最长是15厘米；一共能剪成5段这样的短彩带。 【例题】 4．学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以8人一排，也可以12人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40至50之间，可能是多少人？ 【答案】人 【分析】五（）班学生人一排或人一排都正好分完，说明总人数是和的公倍数，先用短除法找出和的最小公倍数，再找出和的公倍数中在至之间的数即可。 【详解】 （人） 答：可能是人。 真题拔高 二、填空题 5．a＝2×3×7，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】a和b公有的质因数和各自独有的质因数的积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】3×7×2×5 ＝21×2×5 ＝21×（2×5） ＝21×10 ＝210 6．如果三位数34□既是2的倍数，又是5的倍数，那么□内可以填( )；如果它是3的倍数，那么□内最小可以填( )，最大可以填( )。 【答案】 【分析】（）既是的倍数又是的倍数的情况，根据和的倍数的共同特征，确定个位上的数字需要同时满足这两个倍数特征的数，可直接确定方框内的数字。 （）根据的倍数的特征：各个数位上数字之和是的倍数，先计算已知数位和的和，因为已知和加上方框内的数字结果要为的倍数，所以找出符合范围内的数字，再从中选最小和最大的即可。 【详解】①根据和的倍数的特征，个位上是的数既是的倍数又是的倍数，所以第一个□内填。 ②根据的倍数的特征，各位上的数的和必须是的倍数。 已知该数百位是，十位是，各位数字之和为。 在到的自然数中，要使的和是的倍数， 可以填、、。 当时，，是的倍数； 当时，，是的倍数； 当时，，是的倍数。 比较可知，最小填 ③最大填 7．已知m÷n＝4，且n为质数，m和n的最大公因数是( )，它们的公因数是( )（全部列出）。 【答案】 、 【分析】由m÷n＝4变形为m＝4n，说明m是n的4倍，两个成倍数关系的自然数，最大公因数是较小数n，n是质数，n的因数只有1和n，同时1和n都能整除m，因此两者全部公因数：1、n。 【详解】由分析可知， m和n的最大公因数是n，它们的公因数是1、n。 8．一个三位数，它既是偶数，又含有因数3和5，这个三位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 990 120 【分析】2的倍数（偶数）：个位数字是0、2、4、6、8。5的倍数：个位数字是0或5；3的倍数：各个数位上数字之和能被3整除；同时是2和5的倍数：个位一定是0。 【详解】由题意可知，求最大的三位数的形式为：□□0，百位上的数最大为9，数字组合为9□0，数字和：9＋□＋0需要能被3整除，9本身是3的倍数，因此方框尽量取最大且满足条件，因此最大填9。 求最小三位数形式为：□□0，百位上的数最小为1，数字组合为1□0，数字和：1＋□＋0需要能被3整除，1＋□是3的倍数，方框最小取2，因此最小三位数是120。 9．将一个长18厘米、宽12厘米的长方形纸片剪成同样大小的正方形且没有剩余，至少剪_____个。 【答案】6 【分析】剪成同样大小的正方形且没有剩余，要剪的数量最少，就要让正方形的边长尽可能大，所以正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。用分解质因数法求出最大公因数，即最大边长后，再求出长、宽方向各能剪几个，相乘得到总个数。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最大公因数为2×3＝6，即正方形边长是6厘米。 18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 3×2＝6（个） 10．有一盒糖果，7粒一组还余3粒，5粒一组还余3粒，这盒糖果至少有( )粒。 【答案】38 【分析】糖果按7粒分组余3粒、按5粒分组也余3粒，如果先把这多出来的3粒糖果暂时拿走，剩下的糖果数量刚好能同时被7和5整除，也就是剩下的数量是7和5的公倍数。 题目要求“至少有多少粒”，只需要取7和5的最小公倍数，由于7和5是互质数（两个数的公因数只有1），因此它们的最小公倍数就是两个数的乘积，再把之前拿走的3粒加回来，就能得到符合条件的至少糖果总数。 【详解】 （粒） 验证结果：38粒按7粒分组，（组）……3（粒）；按5粒分组，（组）……3（粒），完全符合题目条件，因此这盒糖果至少有38粒。 11．已知a和8互质，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 8a 【分析】根据互质数的定义，公因数只有1的两个数叫做互质数。对于互质的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】因为a和8互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是8a。 12．甲数＝3×5×5，乙数＝2×3×5，甲乙两数的最大公因数是( )，它们的最小公倍数是( )。 【答案】 15 150 【分析】分解质因数求最大公因数，取两个数全部相同质因数相乘；求最小公倍数，取相同质因数乘一次，再乘各自剩下独有的质因数。 【详解】最大公因数：3×5＝15 最小公倍数：3×5×5×2＝150 三、选择题 13．下列各数中，因数的个数是奇数个的是（    ）。 A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【分析】因数通常成对出现，只有完全平方数存在两个相同的因数，因此因数总个数为奇数。 【详解】，，，，四个选项中只有36是完全平方数。 A．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个（偶数）； B．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个（奇数）； C．48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个（偶数）； D．60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共12个（偶数）。 14．在大于5的自然数中，个位上是0的数都不是（    ）。 A．2的倍数 B．5的倍数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】结合2、5的倍数特征，质数、合数的定义判断即可。 个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上的数字是0或5的数是5的倍数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．个位是0的自然数，符合2的倍数特征； B．个位是0的自然数，符合5的倍数特征； C．大于5且个位是0的自然数，除了1和它本身外，至少还有因数2和5，一定不是质数； D．大于5且个位是0的自然数，除了1和它本身外，至少还有因数2和5，一定是合数。 在大于5的自然数中，个位上是0的数都不是质数。 15．一条小路长48m，沿着小路的一侧从起点到终点每隔4m插了一面彩旗。现在要调整为每隔6m插一面，除了起点和终点的彩旗不用拔出，还有（    ）面彩旗也不用拔出。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】不用拔出的彩旗所在位置是4和6的公倍数对应的位置，先求4和6的最小公倍数，再找出48米内除起点、终点外的公倍数个数即可。 【详解】 4和6的最小公倍数是 48以内12的倍数有： 12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 去掉起点和终点对应的0米、48米，剩余符合要求的位置共3个：第12米、24米、36米处，即有3面彩旗不用拔出。 16．如果一个正方形的边长是质数，那么它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】B 【分析】质数：只有1和它本身两个因数，合数：除了1和它本身还有其他因数，正方形面积等于边长乘边长。 【详解】假设正方形边长为质数，则面积为，它的因数至少有1、、三个，符合合数的定义。 A．取边长为3，面积，9是合数，此选项错误； B．取边长为3，面积，9是合数；取边长为2，面积，4是合数，此选项正确 C．取边长为2，面积，4是偶数，也是合数，此选项错误； D．取边长为3，面积，9是奇数，也是合数，此选项错误。 17．如果（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．1；ab B．ab；b C．b；a D．a；1 【答案】A 【分析】相邻的两个数互质，如果两个数互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】因为，所以a和b是相邻的自然数，也就是a和b互质。 那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 四、判断题 18．一个三位数47□，如果它是3的倍数，那么□里面最小填1。( ) 【答案】 【分析】（）先明确的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是的倍数，这个数就是的倍数。 （）先计算已知数位的数字和：因为这个三位数百位是、十位是，所以先算出与的和。 （） 再判断需要填入的数字与上述和相加后是的倍数的最小整数，再和题目给出的答案对比即可。 【详解】 ，不是的倍数 ，是的倍数 因此方框里最小填，题干说法正确。 故答案为： 19．6□1÷3，要使商的中间有0，余数也是0，□里只能填2。( ) 【答案】√ 【分析】被除数的百位6能被3整除，要使商的中间有0，十位数字要小于3，同时计算后余数为0，逐一验证符合条件的数字即可。 【详解】小于3的数字有0、1、2：，有余数，不符合要求； ，有余数，不符合要求； ，商的中间有0，余数为0，符合要求。故□里只能填2，原题说法正确。 故答案为：√ 20．2的倍数不一定是合数。( ) 【答案】√ 【分析】一个数的最小倍数是它本身，2是质数，它也是2的倍数，因此2的倍数不一定都是合数。 【详解】2是2的倍数，2的因数只有1和2，是质数，不是合数。所以原题干说法正确。 故答案为：√ 21．因为15÷3＝5，所以15是倍数，5是因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数表示两个数之间的关系，必须说明谁是谁的因数、谁是谁的倍数，不能孤立地说一个数是因数或倍数。 【详解】因为15÷3＝5，所以15是3和5的倍数，3和5是15的因数。原说法没有说明相互关系，表述错误。 故答案为：× 22．（A，B均为非0自然数），那么A和B的最小公倍数是A。( ) 【答案】√ 【分析】两个非0自然数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数，本题中A是B的5倍，A是较大数。 【详解】根据题意，A是B的5倍，两数成倍数关系，最小公倍数为较大数A，题干说法正确。 故答案为：√ 五、计算题 23．用你喜欢的方法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和36        40和56 【答案】12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36。40和56的最大公因数是8，最小公倍数是280。 【分析】用短除法求两个数的最大公因数，把相同的质因数乘起来即可； 用短除法求两个数的最小公倍数，把相同的质因数和独有的质因数乘起来即可。 【详解】12和36                                                            12和36的最大公因数是：2×2×3＝12；         最小公倍数是：1×2×2×3×1×3＝36。 40和56   40和56的最大公因数是：2×2×2＝8； 最小公倍数是：2×2×2×5×7＝280。 六、解答题 24．为了弘扬中华优秀传统文化，沿江小学在端午节期间举行了1000米龙舟比赛。五年级参加龙舟比赛的学生有40～50，分组时4人一组或6人一组都剩余1人，五年级参加龙舟比赛的学生有多少人？ 【答案】49人 【分析】因为分组时4人一组或6人一组都剩余1人，所以总人数是4和6的公倍数再加1，且在40～50人之间。两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数，据此分析。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、… 6的倍数：6、12、18、24、… 4和6的最小公倍数为：12 4和6的公倍数有：12、24、36、48、60、… 所以在40～50之间12的倍数是48 48＋1＝49（人） 答：五年级参加龙舟比赛的学生有49人。 25．裁剪大师需要把一张长32分米，宽28分米的长方形复合纸剪成若干张同样大小且边长为整分米数的正方形纸片，没有剩余。至少可以剪成多少张这样的正方形纸片？ 【答案】56张 【分析】要让剪出的正方形数量最少，正方形的边长要尽可能大；由于剪完没有剩余，边长必须同时是长方形长和宽的公因数，因此先求出长与宽的最大公因数作为正方形边长，再分别计算长、宽边能剪出的正方形个数，相乘得到总张数。 【详解】32＝2×2×2×2×2 28＝2×2×7 32和28的最大公因数是2×2＝4，正方形边长是4分米。 （32÷4）×（28÷4） ＝8×7 ＝56（张） 答：至少可以剪成56张这样的正方形纸片。 26．参加啦啦操比赛，由于训练需要，陈老师打算采购一批正方形泡沫地垫，在舞蹈室拼接出一个长为60dm，宽为54dm的长方形训练场地，已知正方形泡沫地垫的边长为整分米数，陈老师至少要采购多少块泡沫地垫？ 【答案】 90块 【分析】要使地垫数量最少，需让正方形地垫的边长最大，即求60和54的最大公因数，再分别计算长、宽方向的地垫块数，相乘得到总块数。 【详解】用短除法求60和54的最大公因数：60和54同时除以2，得30和27；再同时除以3，得10和9，10和9只有公因数1，因此最大公因数为，即正方形地垫的最大边长为6dm。 长方向需要地垫：（块） 宽方向需要地垫：（块） 总块数：（块） 答：陈老师至少要采购90块泡沫地垫。 27．刘老师收到一个四位数的短信验证码ABCD，A是6的最大因数，B既是4的因数又是4的倍数，C的因数只有1和7，D是5的最小倍数，这个验证码是多少？ 【答案】 6475 【分析】先根据因数和倍数的基本性质，分别确定A、B、C、D四个数位上的数字，再组合得到四位数验证码。 【详解】一个数的最大因数是它本身，6的最大因数是6，因此。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，既是4的因数又是4的倍数的数是4，因此。 C的因数只有1和7，因此。 一个数的最小倍数是它本身，5的最小倍数是5，因此。 组合得到四位数为6475。 答：这个验证码是6475。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $