第六单元 因数与倍数 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

该小学数学“因数与倍数”举一反三讲义以“整除与分类思想”为核心，通过知识框架图系统梳理因数倍数、质数合数、公因数公倍数等概念，用表格对比2/5/3的倍数特征，100以内质数表配记忆口诀，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，16个考点涵盖基础认知与实际应用，如用最大公因数解决“分彩带”问题，用最小公倍数解决“相遇”问题，结合易错点汇总和解题技巧，培养推理意识与运算能力，支持学生自主复习，助力教师精准教学。

第六单元 因数与倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心思想：整除与分类思想 3 二、因数与倍数的基本概念 3 1. 研究范围 3 2. 定义 3 3. 相互依存关系 3 4. 找一个数的因数的方法 3 5. 一个数的因数的特征 3 6. 找一个数的倍数的方法 4 7. 一个数的倍数的特征 4 8. 重要规律 4 三、2、5、3 的倍数的特征 4 1. 2 的倍数的特征 4 2. 5 的倍数的特征 4 3. 3 的倍数的特征 4 4. 同时是 2、3、5 的倍数的特征 5 四、质数与合数 5 1. 分类标准 5 2. 定义 5 3. 关键结论 5 4. 100 以内的质数表（共 25 个） 5 5. 分解质因数 5 五、公因数与最大公因数 6 1. 定义 6 2. 找最大公因数的方法 6 3. 特殊情况 6 4. 互质数 6 六、公倍数与最小公倍数 6 1. 定义 6 2. 找最小公倍数的方法 7 3. 特殊情况 7 七、常见易错点汇总 7 八、常用解题技巧 8 考点讲练 8 考点一：因数和倍数的认识 8 考点二：找一个数的因数和因数的特征 8 考点三：根据因数的特征解决问题 9 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 10 考点五：根据倍数的特征解决问题 10 考点六：因数和倍数的综合运用 11 考点七：2、3、5的倍数的特征 13 考点八：奇数与偶数的认识 13 考点九：质数与合数的认识 14 考点十：质数与合数的综合应用 14 考点十一：质因数的含义 15 考点十二：分解质因数 16 考点十三：公因数与最大公因数 17 考点十四：用最大公因数解决实际问题 18 考点十五：公倍数与最小公倍数 19 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 20 综合训练 21 知识梳理 一、单元核心思想：整除与分类思想 本单元在非 0 自然数的范围内，围绕 “整除” 关系展开研究，通过分类的方法认识偶数与奇数、质数与合数，探索数的特征与内在规律，是整数知识的深化，也是后续学习分数约分、通分、四则运算的重要基础。 二、因数与倍数的基本概念 1. 研究范围 因数和倍数的研究范围是非 0 自然数（正整数：1、2、3、4……），不包括 0、小数和分数。 2. 定义 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说： 被除数是除数和商的倍数 除数和商是被除数的因数 示例：，12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 也可以用乘法表述：如果 （a、b、c 均为非 0 自然数），那么 a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。 3. 相互依存关系 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 易错示例：“12 是倍数，3 是因数” 表述错误，正确表述为 “12 是 3 的倍数，3 是 12 的因数”。 4. 找一个数的因数的方法 乘法算式法：把这个数拆成两个非 0 自然数相乘，所有乘数都是它的因数。 示例：找 18 的因数：，，，所以 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。 除法算式法：用这个数依次除以 1、2、3……，若商是整数且无余数，则除数和商都是它的因数。 表示方法：列举法、集合法 5. 一个数的因数的特征 个数是有限的 最小的因数是1 最大的因数是它本身 因数通常成对出现 6. 找一个数的倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4……，所得的积都是这个数的倍数。 示例：找 3 的倍数：，，…… 所以 3 的倍数有 3、6、9、12…… 7. 一个数的倍数的特征 个数是无限的 最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 8. 重要规律 一个数的最大因数 = 它的最小倍数 = 这个数本身 示例：12 的最大因数是 12，最小倍数也是 12。 三、2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数 偶数：是 2 的倍数的数叫作偶数，非 0 范围内最小偶数是 2 奇数：不是 2 的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是 1 奇偶性运算规律： 奇数 ± 奇数 = 偶数 偶数 ± 偶数 = 偶数 奇数 ± 偶数 = 奇数 奇数 × 奇数 = 奇数 偶数 × 任何数 = 偶数 2. 5 的倍数的特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上一定是0，最小的两位数是 10，最小的三位数是 100 3. 3 的倍数的特征 特征：一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数 示例：123，1+2+3=6，6 是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数 拓展：9 的倍数的特征：各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数 4. 同时是 2、3、5 的倍数的特征 个位上必须是 0，且各个数位上的数字之和是 3 的倍数 最小的两位数是 30，最小的三位数是 120，最大的两位数是 90 四、质数与合数 1. 分类标准 按一个数的因数的个数，将非 0 自然数分为三类：质数、合数、1 2. 定义 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 示例：2 的因数只有 1 和 2，所以 2 是质数。 合数：除了 1 和它本身还有别的因数的数（至少有 3 个因数）。 示例：4 的因数有 1、2、4，所以 4 是合数。 1：1 的因数只有 1 个（就是它本身），所以1 既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是2，2 也是唯一的偶质数（所有质数中只有 2 是偶数） 最小的合数是4 大于 2 的偶数都是合数 质数中只有 2 是偶数，其余质数都是奇数，但奇数不一定都是质数（如 9、15 是奇数但也是合数） 4. 100 以内的质数表（共 25 个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 记忆口诀：二三五七和十一，十三后面是十七，还有十九别忘记，二三九，三一七，四一四三四十七，五三九，六一七，七一七三七十九，八三八九九十七。 5. 分解质因数 定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 方法：短除法，用质数逐步去除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘形式。 示例：把 30 分解质因数： 注意：分解质因数必须写成 “合数 = 质数 × 质数 ×……” 的形式，质数必须写在等号右边。 五、公因数与最大公因数 1. 定义 公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 示例：12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18。12 和 18 的公因数是 1、2、3、6，最大公因数是 6。 2. 找最大公因数的方法 列举法：分别列出两个数的所有因数，再找出公因数和最大公因数。 筛选法：先列出较小数的因数，再从中圈出较大数的因数，最大的就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到两个商只有公因数 1 为止，所有除数相乘的积就是最大公因数。 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数相乘的积就是最大公因数。 3. 特殊情况 两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。 示例：12 和 24，24 是 12 的倍数，最大公因数是 12。 两个数只有公因数 1时（互质关系），最大公因数是 1。 示例：8 和 9，最大公因数是 1。 4. 互质数 公因数只有 1 的两个数，叫作互质数。 常见互质情况： 1 和任何非 0 自然数都互质 相邻的两个自然数互质 两个不同的质数互质 相邻的两个奇数互质 六、公倍数与最小公倍数 1. 定义 公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 示例：3 的倍数有 3、6、9、12、15……；4 的倍数有 4、8、12、16……。3 和 4 的公倍数有 12、24……，最小公倍数是 12。 注意：公倍数的个数是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 2. 找最小公倍数的方法 列举法：分别列出两个数的倍数，找出公倍数和最小公倍数。 筛选法：先列出较大数的倍数，再从中圈出较小数的倍数，第一个就是最小公倍数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到两个商互质为止，所有除数和最后的商相乘的积就是最小公倍数。 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 3. 特殊情况 两个数是倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。 示例：12 和 24，最小公倍数是 24。 两个数是互质关系时，它们的乘积就是最小公倍数。 示例：5 和 7，最小公倍数是 35。 七、常见易错点汇总 忽略研究范围：因数和倍数只在非 0 自然数范围内讨论，不能说 0.3 是 3 的因数，也不能说 0 是任何数的倍数。 2. 混淆依存关系：单独说 “某数是因数 / 倍数”，必须成对表述，说明谁是的因数 / 倍数。 记错 3 的倍数特征：误以为个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数，正确判断依据是各数位数字之和。 认为所有奇数都是质数：如 9、15、21 等是奇数但也是合数。 认为所有偶数都是合数：2 是偶数但它是质数，是唯一的偶质数。 忘记 1 的特殊性：1 既不是质数也不是合数，容易被误归为质数或合数。 分解质因数格式错误：把质数写在等号左边，或写成普通乘法算式的形式 求最大公因数和最小公倍数时混淆特殊情况：倍数关系和互质关系的规律记反。 八、常用解题技巧 判断因数：按从小到大成对列举，避免遗漏，写到两个因数接近或相等时停止。 判断 2、5 的倍数：只看个位数字即可快速判断。 判断 3 的倍数：可以先划掉数字中的 3、6、9，再计算剩余数字的和，更简便。 找最大公因数：优先判断是否为倍数关系或互质关系，可直接得出结果，无需逐一列举。 找最小公倍数：两数互质直接相乘，倍数关系取大数，一般情况用短除法最快捷。 解决实际问题：遇到 “最长”“最大”“最多” 等关键词，通常求最大公因数；遇到 “最短”“最小”“至少” 等关键词，通常求最小公倍数。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】将48个鸡蛋分装到盒子里，每盒鸡蛋同样多。选择哪种分法刚好装完？请在方框内打“√”。 【变式训练】一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 【变式训练】一个数的最小倍数与最小因数的和是45，这个数是( )，它共有( )个因数。 【变式训练】因为36÷4＝9，所以4和9是36的( )，36是4和9的( )。 考点二：找一个数的因数和因数的特征 【典例精讲】一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是最小的合数，这个两位数是( )，它的因数有( )。 【变式训练】写出下面各数的因数。 (1)15的因数有：( )。 (2)24的因数有：( )。 (3)38的因数有：( )。 【变式训练】一个非0自然数的最小因数是( )，最大因数是( )，它的因数个数是( )的。 【变式训练】同学们排方阵做操，每行的人数都相等。下面是靠靠、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。 (1)你认为( )数对了。 (2)写出你的理由：________________________。 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【变式训练】小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【变式训练】一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 【变式训练】水族馆新购进40条金鱼，把这些金鱼分别养在不同的鱼缸里，而且每个鱼缸里养的鱼同样多，有几种养法？每种养法各需要几个鱼缸？ 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 【典例精讲】一个数最大的因数是12，最小的倍数是12，这个数是( )，它的因数有( )个。 【变式训练】27的全部因数的和是( )，50以内9的倍数有( )个。 【变式训练】8的因数有( )；50以内12的倍数有( )。 【变式训练】甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍。如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍。那么甲粮库原来最少存有______袋的粮食。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【变式训练】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 【变式训练】“一个多位数，它末两位上的数字组成的数如果是4的倍数，这个数就一定是4的倍数。”这样的说法对不对？你能说明为什么只看“末两位”，而不看百位、千位……上的数吗？ 【变式训练】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 考点六：因数和倍数的综合运用 【典例精讲】食品店里做了66个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把66个月饼装完？（请用因数、倍数的知识说明。） 【变式训练】如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 【变式训练】万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 【变式训练】小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 考点七：2、3、5的倍数的特征 【典例精讲】某小学六（1）班有三十多人，体育课李老师要对全班同学进行分组，可是无论分成2人一组，3人一组，或者5人一组，都会余下1人，这个班一共有( )人。 【变式训练】一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填( )；如果使它成为3的倍数，□里最小填( )。 【变式训练】选出两张数字卡片，按要求组成两位数。 2    0    7    6 (1)最小的偶数：( )。 (2)最大的奇数：( )。 (3)既是2的倍数，又是5和3的倍数：( )。 【变式训练】三位数10□，既是5的倍数又是3的倍数，□里填( )；三位数10□，既是2的倍数又是3的倍数，这个三位数最大是( )。 考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】在23，75，56，47，2，49，38，102中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )；既是奇数又是合数的数有( )，既是偶数又是质数的数有( )。 【变式训练】从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。（各写出1个） (1)奇数：( )；偶数：( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数：( )；同时是2，3，5的倍数：( )。 【变式训练】在数学课堂上，老师和学生进行了如下的趣味游戏。 有一排编号从1到20的电灯，一开始全部亮着。 第一次：把编号是2的倍数的开关按一下； 第二次：把编号是3的倍数的开关按一下； 第三次：把编号是7的倍数的开关按一下。 每按一次，灯就会改变状态。最后仍然亮着的灯一共有( )盏。 【变式训练】“我们胜利了！”“中国万岁！”大会上的许多代表握手、拥抱，有的代表跳起舞来。这是一个具有历史意义的时刻，是一个辉煌的时刻，这一刻便是恢复中国在联合国合法席位的时刻。我国恢复在联合国合法席位的年份是一个四位数（单位：年），从左往右数，第1个数是最小的奇数，第2个数是9的最小倍数，第3个数是一位数中最大的质数，第4个数比最小的合数小3。我国恢复在联合国合法席位是( )年。 考点九：质数与合数的认识 【典例精讲】一个数的十万位是最小的合数，万位是最小的质数，千位是最大的一位数，十位是1，其余各个数位上的数是0，这个数是( )，把这个数改写为以“万”为单位的数是( )，四舍五入到万位的数是( )。 【变式训练】1—20各数中，有( )个偶数，有( )个质数，既是奇数又是合数的数是( )和( )。 【变式训练】周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是( )。 【变式训练】有10张1~10的数字卡片，反扣在桌面上，任意打开一张，正面朝上是质数的可能性( )正面朝上是合数的可能性（填大于、小于或等于）。 考点十：质数与合数的综合应用 【典例精讲】一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 【变式训练】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【变式训练】如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【变式训练】判断分析并说明理由。 下面是学校特色社团参加体育展演的人数统计表 社团 健美操 篮球 武术 田径 人数 42 29 37 50 哪几个社团的人数可以排成方队？为什么？ 考点十一：质因数的含义 【典例精讲】在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有( )个0。 【变式训练】一个数的最大因数是45，它的全部因数有( )，其    中( )是它的质因数。 【变式训练】在中，8和3是24的( )数，其中3也是24的( )数。 【变式训练】在3、4、5和60中( )和( )都是( )的质因数。 考点十二：分解质因数 【典例精讲】把下面各数写成质数相乘的形式。 90    72 【变式训练】把下面各数写成质数相乘的形式。 24   32    45    42 【变式训练】先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 90             37             58             23             46             87 【变式训练】圈出合数，并将合数分解质因数。 31         87        91         97        132 考点十三：公因数与最大公因数 【典例精讲】求下面每组数的最大公因数。 26和13          33和9 【变式训练】求下面每组数的最大公因数。 14和70    45和60    26和39 【变式训练】求下面每组数的最大公因数。 21和35         36和60         48和72 【变式训练】求最大公因数。 ①12和16            ②2和5 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】有两根彩带，第一根长3.6m，第二根长2.4m，如果把这两根彩带截成同样长的小段且无剩余，每段最长几分米？一共可截几段？ 【变式训练】果果用如图的硬纸板裁出了若干个大小相同的正方形，做了一个棱长最长的正方体纸盒（没有剩余），裁出的正方形的边长是多少厘米？ 【变式训练】一张长方形铁皮，长2.4米，宽8分米，把它剪成若干个小正方形，要求边长最大，且没有剩余铁皮，最多可以剪多少个小正方形？ 【变式训练】班级组织野餐，把准备的36盒糖果和30盒糕点平均分给每个小组，且都正好分完。最多可以分给几个这样的小组？这时每个小组分得糖果和糕点各多少盒？ 考点十五：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】求下面每组数的最小公倍数。 18和60       45和15        9和16 【变式训练】求出下面各组数的最小公倍数。 （1）30和75    （2）12和96    （3）29和35 【变式训练】求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 42和63        4和12 25和35        7和21 【变式训练】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①30和18    ②11和13    ③36和12 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】3月12日是我国法定的植树节，学校买了一批树苗，不超过50棵。如果每行栽24棵，正好栽完。如果每行栽16棵或8棵，也正好栽完。这批树苗共有多少棵？ 【变式训练】父子两人一起在公园里晨跑，父亲跑完一圈用6分钟，儿子跑完一圈用10分钟，他们两人同时同地向同一方向起跑，经过多少分钟他们第一次在起跑点相遇？ 【变式训练】工地运进一批长60厘米、宽42厘米的大理石板材，王叔叔准备用这些板材铺设一个正方形的院落。这个正方形院落至少需要多少块这样的大理石？ 【变式训练】济南泉城广场的荷花音乐喷泉动静结合，颇具特色。某次表演时，外层每20秒喷一次水，内层每15秒喷一次水。晚上8时12分40秒同时喷水，下次同时喷水是在什么时候？ 综合训练 1．m÷n＝66（m、n均为整数且n≠0），那么m和n的最大公因数是（    ）。 A．1 B．m C．n D．66 2．下列说法中，正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．一个非0自然数的倍数一定比它的因数大 C．12和18的最小公倍数是36 D．两个合数的和一定还是合数 3．a、b、c是三个自然数，且不等于0，在a＝bc中，下列说法正确的是（    ）。 A．b一定是因数 B．c一定是a和b的最大公因数 C．a一定比c和b大 D．a一定是b和c的公倍数 4．能同时被2、3、5整除的最小四位数是（    ）。 A．1000 B．1005 C．1010 D．1020 5．学校大力营造书香氛围，倡议各班上好读书课，用好图书角。现计划购置一部分图书。如果每48本装一包，能够正好装完；如果56本装一包，也能正好装完。图书室至少购进了（    ）本图书。 A．96 B．336 C．112 D．480 6．在烟花节上，每12秒可以看到一次星星图案的礼花，每16秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒才可以再次同时看到这两种礼花。 A．48 B．32 C．4 D．无法计算 7．学校举行美食文化节，小轩妈妈要把126个小蛋糕装箱，选择每箱装（    ）个的包装盒，正好可以将蛋糕完全装完。 A．6 B．8 C．10 D．12 8．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．12 B．15 C．28 D．49 9．从0、2、4、6这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是( )，最小是( )。 10．学校人工智能社团分组开展探究活动，如果每4人一组，多出1人；如果每6人一组，也多出1人，这个社团至少有( )人。 11．“洛阳市涧西区成立于1955年，是中国工业成果的代表之一，在国家第一个5年规划时期，国家有156个重点建设项目，其中的7个大型工业项目在这里落地生根。”以上数字信息中的质数有______，合数有______，将其中一个合数分解质因数______。 12．智能快递柜走进了城市的各个社区，解决了社区居民排队取快递的烦恼。居民王阿姨某次网购的取件码是一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，个位上是2和3的倍数，王阿姨的取件码是( )。 13．第24届冬奥会于2022年2月4日20∶04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词名谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有的文化魅力。在24的因数中，( )是合数，( )是奇数，把24分解质因数是( )。 14．图中的计数器三个档上各有10个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按照数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字各不相同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是( )。 15．A和B都是自然数，把它们分解质因数是A＝2×5×a，B＝3×5×a，则A和B的最大公因数是( )；如果A和B的最小公倍数是60，那么a＝( )。 16．用一块长24dm、宽18dm的KT板制作防溺水警示牌，如果要做成大小相等的正方形且没有剩余，正方形警示牌的边长最大是( )dm，可以制作( )块。 17．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和20    66和11    35和14 18．把下面各数分解质因数。 30    40    28 19．五年级学生参加文艺演出，人数在40和60人之间，如果分成4人一组，5人一组，8人一组或10人一组，都刚好分完。五年级参加文艺演出的学生有多少人？ 20．体育元素成为提升居民小区颜值的新亮点。小区内一个长98米、宽77米的长方形运动场地，一面靠墙，规划秋天时节在其余三边上等距离栽紫薇树（A、B两，点都要栽，靠墙不栽），最少要栽多少棵？ 21．有一张长方形彩纸，长90厘米，宽70厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形，而没有剩余，那么剪出的正方形的面积最大是多少平方厘米？能剪出多少个这样的正方形？ 22．一袋棒棒糖，2颗2颗地数，剩1颗；3颗3颗地数，剩1颗；5颗5颗地数，还是剩1颗。如果这袋棒棒糖的数量在40颗以内，这袋棒棒糖有多少颗？ 23．中国结是手工编织工艺品，寓意团圆、吉祥，代表中华民族传统文化，饱含爱国之情与对未来的展望，是中国文化瑰宝，需我们传承。手工课上，张老师拿来两根丝绳要教同学们做中国结，一根长16米，另一根长20米。现在要把两根丝绳截成长度相等的小段，不能有剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 24．学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。王老师一共拿来了36件上衣和48条长裤。如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤且全部分完，最多可以有多少名学生同时参赛？ 25．老年旅游团非常受欢迎，李叔叔每3天带团一次，王阿姨每5天带团一次。5月1日这天两人都带团，他们下次同一天带团的时间是几月几日？ 26．数学课上，李老师在筐里放了36个苹果，让静文去拿。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。共有多少种拿法？每种拿法各拿多少次？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心思想：整除与分类思想 3 二、因数与倍数的基本概念 3 1. 研究范围 3 2. 定义 3 3. 相互依存关系 3 4. 找一个数的因数的方法 3 5. 一个数的因数的特征 3 6. 找一个数的倍数的方法 4 7. 一个数的倍数的特征 4 8. 重要规律 4 三、2、5、3 的倍数的特征 4 1. 2 的倍数的特征 4 2. 5 的倍数的特征 4 3. 3 的倍数的特征 4 4. 同时是 2、3、5 的倍数的特征 5 四、质数与合数 5 1. 分类标准 5 2. 定义 5 3. 关键结论 5 4. 100 以内的质数表（共 25 个） 5 5. 分解质因数 5 五、公因数与最大公因数 6 1. 定义 6 2. 找最大公因数的方法 6 3. 特殊情况 6 4. 互质数 6 六、公倍数与最小公倍数 6 1. 定义 6 2. 找最小公倍数的方法 7 3. 特殊情况 7 七、常见易错点汇总 7 八、常用解题技巧 8 考点讲练 8 考点一：因数和倍数的认识 8 考点二：找一个数的因数和因数的特征 9 考点三：根据因数的特征解决问题 11 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 14 考点五：根据倍数的特征解决问题 17 考点六：因数和倍数的综合运用 20 考点七：2、3、5的倍数的特征 22 考点八：奇数与偶数的认识 24 考点九：质数与合数的认识 27 考点十：质数与合数的综合应用 28 考点十一：质因数的含义 31 考点十二：分解质因数 32 考点十三：公因数与最大公因数 35 考点十四：用最大公因数解决实际问题 37 考点十五：公倍数与最小公倍数 40 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 43 综合训练 46 知识梳理 一、单元核心思想：整除与分类思想 本单元在非 0 自然数的范围内，围绕 “整除” 关系展开研究，通过分类的方法认识偶数与奇数、质数与合数，探索数的特征与内在规律，是整数知识的深化，也是后续学习分数约分、通分、四则运算的重要基础。 二、因数与倍数的基本概念 1. 研究范围 因数和倍数的研究范围是非 0 自然数（正整数：1、2、3、4……），不包括 0、小数和分数。 2. 定义 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说： 被除数是除数和商的倍数 除数和商是被除数的因数 示例：，12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 也可以用乘法表述：如果 （a、b、c 均为非 0 自然数），那么 a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。 3. 相互依存关系 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 易错示例：“12 是倍数，3 是因数” 表述错误，正确表述为 “12 是 3 的倍数，3 是 12 的因数”。 4. 找一个数的因数的方法 乘法算式法：把这个数拆成两个非 0 自然数相乘，所有乘数都是它的因数。 示例：找 18 的因数：，，，所以 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。 除法算式法：用这个数依次除以 1、2、3……，若商是整数且无余数，则除数和商都是它的因数。 表示方法：列举法、集合法 5. 一个数的因数的特征 个数是有限的 最小的因数是1 最大的因数是它本身 因数通常成对出现 6. 找一个数的倍数的方法 用这个数依次乘 1、2、3、4……，所得的积都是这个数的倍数。 示例：找 3 的倍数：，，…… 所以 3 的倍数有 3、6、9、12…… 7. 一个数的倍数的特征 个数是无限的 最小的倍数是它本身 没有最大的倍数 8. 重要规律 一个数的最大因数 = 它的最小倍数 = 这个数本身 示例：12 的最大因数是 12，最小倍数也是 12。 三、2、5、3 的倍数的特征 1. 2 的倍数的特征 特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数 偶数：是 2 的倍数的数叫作偶数，非 0 范围内最小偶数是 2 奇数：不是 2 的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是 1 奇偶性运算规律： 奇数 ± 奇数 = 偶数 偶数 ± 偶数 = 偶数 奇数 ± 偶数 = 奇数 奇数 × 奇数 = 奇数 偶数 × 任何数 = 偶数 2. 5 的倍数的特征 特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上一定是0，最小的两位数是 10，最小的三位数是 100 3. 3 的倍数的特征 特征：一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数 示例：123，1+2+3=6，6 是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数 拓展：9 的倍数的特征：各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数 4. 同时是 2、3、5 的倍数的特征 个位上必须是 0，且各个数位上的数字之和是 3 的倍数 最小的两位数是 30，最小的三位数是 120，最大的两位数是 90 四、质数与合数 1. 分类标准 按一个数的因数的个数，将非 0 自然数分为三类：质数、合数、1 2. 定义 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数。 示例：2 的因数只有 1 和 2，所以 2 是质数。 合数：除了 1 和它本身还有别的因数的数（至少有 3 个因数）。 示例：4 的因数有 1、2、4，所以 4 是合数。 1：1 的因数只有 1 个（就是它本身），所以1 既不是质数，也不是合数。 3. 关键结论 最小的质数是2，2 也是唯一的偶质数（所有质数中只有 2 是偶数） 最小的合数是4 大于 2 的偶数都是合数 质数中只有 2 是偶数，其余质数都是奇数，但奇数不一定都是质数（如 9、15 是奇数但也是合数） 4. 100 以内的质数表（共 25 个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 记忆口诀：二三五七和十一，十三后面是十七，还有十九别忘记，二三九，三一七，四一四三四十七，五三九，六一七，七一七三七十九，八三八九九十七。 5. 分解质因数 定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 方法：短除法，用质数逐步去除，直到商是质数为止，最后把所有除数和商写成连乘形式。 示例：把 30 分解质因数： 注意：分解质因数必须写成 “合数 = 质数 × 质数 ×……” 的形式，质数必须写在等号右边。 五、公因数与最大公因数 1. 定义 公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 示例：12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18。12 和 18 的公因数是 1、2、3、6，最大公因数是 6。 2. 找最大公因数的方法 列举法：分别列出两个数的所有因数，再找出公因数和最大公因数。 筛选法：先列出较小数的因数，再从中圈出较大数的因数，最大的就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到两个商只有公因数 1 为止，所有除数相乘的积就是最大公因数。 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数相乘的积就是最大公因数。 3. 特殊情况 两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。 示例：12 和 24，24 是 12 的倍数，最大公因数是 12。 两个数只有公因数 1时（互质关系），最大公因数是 1。 示例：8 和 9，最大公因数是 1。 4. 互质数 公因数只有 1 的两个数，叫作互质数。 常见互质情况： 1 和任何非 0 自然数都互质 相邻的两个自然数互质 两个不同的质数互质 相邻的两个奇数互质 六、公倍数与最小公倍数 1. 定义 公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 示例：3 的倍数有 3、6、9、12、15……；4 的倍数有 4、8、12、16……。3 和 4 的公倍数有 12、24……，最小公倍数是 12。 注意：公倍数的个数是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 2. 找最小公倍数的方法 列举法：分别列出两个数的倍数，找出公倍数和最小公倍数。 筛选法：先列出较大数的倍数，再从中圈出较小数的倍数，第一个就是最小公倍数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到两个商互质为止，所有除数和最后的商相乘的积就是最小公倍数。 分解质因数法：把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 3. 特殊情况 两个数是倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。 示例：12 和 24，最小公倍数是 24。 两个数是互质关系时，它们的乘积就是最小公倍数。 示例：5 和 7，最小公倍数是 35。 七、常见易错点汇总 忽略研究范围：因数和倍数只在非 0 自然数范围内讨论，不能说 0.3 是 3 的因数，也不能说 0 是任何数的倍数。 2. 混淆依存关系：单独说 “某数是因数 / 倍数”，必须成对表述，说明谁是的因数 / 倍数。 记错 3 的倍数特征：误以为个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数，正确判断依据是各数位数字之和。 认为所有奇数都是质数：如 9、15、21 等是奇数但也是合数。 认为所有偶数都是合数：2 是偶数但它是质数，是唯一的偶质数。 忘记 1 的特殊性：1 既不是质数也不是合数，容易被误归为质数或合数。 分解质因数格式错误：把质数写在等号左边，或写成普通乘法算式的形式 求最大公因数和最小公倍数时混淆特殊情况：倍数关系和互质关系的规律记反。 八、常用解题技巧 判断因数：按从小到大成对列举，避免遗漏，写到两个因数接近或相等时停止。 判断 2、5 的倍数：只看个位数字即可快速判断。 判断 3 的倍数：可以先划掉数字中的 3、6、9，再计算剩余数字的和，更简便。 找最大公因数：优先判断是否为倍数关系或互质关系，可直接得出结果，无需逐一列举。 找最小公倍数：两数互质直接相乘，倍数关系取大数，一般情况用短除法最快捷。 解决实际问题：遇到 “最长”“最大”“最多” 等关键词，通常求最大公因数；遇到 “最短”“最小”“至少” 等关键词，通常求最小公倍数。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】将48个鸡蛋分装到盒子里，每盒鸡蛋同样多。选择哪种分法刚好装完？请在方框内打“√”。 【答案】见详解 【分析】将48个鸡蛋平均分装到盒子里，每盒鸡蛋数量相同，需要判断给出的每盒鸡蛋数（4个、6个、8个、10个、12个）能否刚好装完48个鸡蛋，也就是判断48能否被这些数整除，若能整除则这种分法刚好装完。 【详解】48÷4＝12，没有余数，说明48能被4整除，每盒4个鸡蛋时刚好装完； 48÷6＝8，没有余数，说明48能被6整除，每盒6个鸡蛋时刚好装完； 48÷8＝6，没有余数，说明48能被8整除，每盒8个鸡蛋时刚好装完； 48÷10＝4……8，有余数8，说明48不能被10整除，每盒10个鸡蛋时不能刚好装完； 48÷12＝4，没有余数，说明48能被12整除，每盒12个鸡蛋时刚好装完。 所以在每盒4个、每盒6个、每盒8个、每盒12个对应的方框内打“√”。 【变式训练】一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 【答案】 18 15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，根据“已知a与f的和是19”先求出这个数是多少，再写出这个数的所有因数，即可知道d和e分别是多少，再计算d＋e是多少。 【详解】根据分析可知，a＝1，f＝19－1＝18，所以这个自然数是18。 18的因数有1，2，3，6，9，18，所以d＋e＝6＋9＝15。 【变式训练】一个数的最小倍数与最小因数的和是45，这个数是( )，它共有( )个因数。 【答案】 44 6 【分析】一个数的最小倍数是它本身，最小因数是1。找一个数的因数可以用乘法算式来找；据此解答。 【详解】一个数的最小倍数与最小因数的和是45，这个数：45－1＝44。 1×44＝44 2×22＝44 4×11＝44 44的因数有：1、2、4、11、22、44，共有6个因数。 【变式训练】因为36÷4＝9，所以4和9是36的( )，36是4和9的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；可知因数和倍数是相对而言，不能单独存在；据此解答。 【详解】因为36÷4＝9，所以4和9是36的因数，36是4和9的倍数。 考点二：找一个数的因数和因数的特征 【典例精讲】一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是最小的合数，这个两位数是( )，它的因数有( )。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，24 【分析】质数是只有1和本身两个因数的自然数，最小的质数是2；合数是除了1和本身还有其他因数的自然数，最小的合数是4。求一个数的因数：从开始，依次用自然数去除这个数，能整除（没有余数）的，就是它的因数，一对一对记下来。据此回答。 【详解】最小的质数是2，最小的合数是4。这个两位数是。 所以它的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 【变式训练】写出下面各数的因数。 (1)15的因数有：( )。 (2)24的因数有：( )。 (3)38的因数有：( )。 【答案】(1)1，3，5，15 (2)1，2，3，4，6，8，12，24 (3)1，2，19，38 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】（1）15＝1×15＝3×5 15的因数有：1，3，5，15。 （2）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 （3）38＝1×38＝2×19 38的因数有：1，2，19，38。 【变式训练】一个非0自然数的最小因数是( )，最大因数是( )，它的因数个数是( )的。 【答案】 1 它本身 有限 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 【详解】如：2的因数：1，2；最小因数是1，最大因数是2； 10的因数：1，2，5，10；最小因数是1，最大因数是10。 一个非0自然数的最小因数是1，最大因数是它本身，它的因数个数是有限的。 【变式训练】同学们排方阵做操，每行的人数都相等。下面是靠靠、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。 (1)你认为( )数对了。 (2)写出你的理由：________________________。 【答案】(1)龙一鸣 (2)因为49＝7×7，其余三个都是质数 【分析】总人数＝行数×列数，据此分别列乘法算式找四人数出的总人数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。总人数是合数即可。 【详解】（1）41＝1×41、43＝1×43、47＝1×47、49＝1×49＝7×7 龙一鸣数对了。 （2）因为49＝7×7，其余三个都是质数，方阵是7行7列。 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【答案】可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行；6种 【分析】长方形阵列中，行数×每行人数＝42，每行的人数相同，就是求42的因数，通过乘法配对求出42的所有因数，（不能排成一行或一列，1和42不符合题意），再进一步解答即可。 【详解】1×42＝42 2×21＝42 3×14＝42 6×7＝42 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，排除1和42后，符合要求的行数为2行、3行、6行、7行、14行、21行。 答：可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行，有6种排法。 【变式训练】小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 【变式训练】一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 【答案】4种；长24厘米，宽1厘米；长12厘米，宽2厘米；长8厘米，宽3厘米；长6厘米，宽4厘米。 【分析】首先根据长方形面积的计算公式，对长方形面积24平方厘米进行拆分，找出24的全部因数，进行不同组的长和宽的组合，统计符合题意的长方形个数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24＝24×1 长是24厘米时，宽是1厘米； 24＝12×2 长是12厘米时，宽是2厘米； 24＝8×3 长是8厘米时，宽是3厘米； 24＝6×4 长是6厘米时，宽是4厘米； 所以，这样的长方形有4种。 答：这样的长方形有4种；长是24厘米时，宽是1厘米；长是12厘米时，宽是2厘米；长是8厘米时，宽是3厘米；长是6厘米时，宽是4厘米。 【点睛】本题考查了长方形面积 的计算以及因数的应用，找全24的因数，是解答此题的关键。 【变式训练】水族馆新购进40条金鱼，把这些金鱼分别养在不同的鱼缸里，而且每个鱼缸里养的鱼同样多，有几种养法？每种养法各需要几个鱼缸？ 【答案】7种；各需要40个、20个、10个、8个、5个、4个、2个鱼缸 【分析】根据题意，把40条金鱼分别养在不同的鱼缸里，而且每个鱼缸里养的鱼同样多，那么每个鱼缸里养鱼的条数是40的因数；先列举出40的所有因数，排除用1个鱼缸养40条鱼的情况，剩下的有几个因数就有几种养法，同时得出每种养法需要鱼缸的个数。 【详解】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40；有8个因数。 因为“把这些金鱼分别养在不同的鱼缸里”，所以排除1个鱼缸养40条鱼的养法。 有7种养法： ①每个鱼缸养1条鱼，需40个鱼缸； ②每个鱼缸养2条鱼，需20个鱼缸； ③每个鱼缸养4条鱼，需10个鱼缸； ④每个鱼缸养5条鱼，需8个鱼缸； ⑤每个鱼缸养8条鱼，需5个鱼缸； ⑥每个鱼缸养10条鱼，需4个鱼缸； ⑦每个鱼缸养20条鱼，需2个鱼缸； 答：有7种养法，每种养法分别需要40个、20个、10个、8个、5个、4个、2个鱼缸。 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 【典例精讲】一个数最大的因数是12，最小的倍数是12，这个数是( )，它的因数有( )个。 【答案】 12 6 【分析】一个数的最大因数和最小倍数是它本身。用除法找出这个数的因数，再统计个数即可。 【详解】12的最大因数和最小倍数都是12，所以，这个数是12。 12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12的因数有1，2，3，4，6，12。共6个。 【变式训练】27的全部因数的和是( )，50以内9的倍数有( )个。 【答案】 40 5 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出的全部因数，求和即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出以内的倍数，数出个数即可； 【详解】 27的全部因数的和是，50以内9的倍数有个。 【变式训练】8的因数有( )；50以内12的倍数有( )。 【答案】 1；2；4；8 12；24；36；48 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 用除法试商法找8的因数；用乘法列举法找12的倍数。 【详解】8÷1＝8，8÷2＝4，8÷4＝2，8÷8＝1； 12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，12×5＝60，因为60＞50 ，所以去掉60。 8的因数有1；2；4；8；50以内12的倍数有12；24；36；48。 【变式训练】甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍。如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍。那么甲粮库原来最少存有______袋的粮食。 【答案】153 【分析】先设甲粮库有x袋粮食，用含有x的式子表示出乙粮库原有多少袋粮食。再设从乙粮库调y袋粮食到甲粮库，用含有x和y的式子表示出“甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍”这一数量关系。利用等式的性质1和2，用含有y的式子表示出x。根据题意，x和y都是大于0的整数，最后找出符合条件的x和y的值。 【详解】设甲粮库原有x袋粮食，则乙粮库原有2（x－90）－90＝（2x－270）袋粮食。 设从乙粮库调y袋粮食到甲粮库，则 12x－1620－6y＝x＋y 12x－1620－6y－x＝x＋y－x 11x－1620－6y＝y 11x－1620－6y＋6y＝y＋6y 11x－1620＝7y 11x－1620＋1620＝7y＋1620 11x＝7y＋1620 x＝ x＝ 因为x和y都是粮食的袋数，所以x和y都是整数且大于0，由此可知，7y＋3是11的倍数。 11的倍数有11，22，33，44，55，66，77，…… 7y＋3＝11 7y＋3－3＝11－3 7y＝8 7y÷7＝8÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝22 7y＋3－3＝22－3 7y＝19 7y÷7＝19÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝33 7y＋3－3＝33－3 7y＝30 7y÷7＝30÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝44 7y＋3－3＝44－3 7y＝41 7y÷7＝41÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝55 7y＋3－3＝55－3 7y＝52 7y÷7＝52÷7 y＝（不是整数），不符合。 7y＋3＝66 7y＋3－3＝66－3 7y＝63 7y÷7＝63÷7 y＝9（是整数），符合。 所以y最小是9，此时x＝＝＝＝＝6＋147＝153。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【答案】47名 【分析】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。 【详解】在40－50人之间8的倍数是48， 48－1＝47（人） 答：五（1）班有47名学生。 【点睛】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。 【变式训练】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】利用因数和倍数的概念，结合题意直接解题即可。 【详解】答：每2个装一盒，能正好装完，因为16是2的倍数；每5个装一盒，不能正好装完，因为16不是5的倍数。 【点睛】本题考查了因数和倍数的应用，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【变式训练】“一个多位数，它末两位上的数字组成的数如果是4的倍数，这个数就一定是4的倍数。”这样的说法对不对？你能说明为什么只看“末两位”，而不看百位、千位……上的数吗？ 【答案】见详解 【分析】4的倍数的特征：（1）十位上的数是奇数且个位上的数不是4的倍数的偶数或十位上的数是偶数且个位上的数是4的倍数的整数；（2）若一个整数的末两位上的数字组成的两位数能被4整除，则这个数能被4整除，即是4的倍数。 【详解】答：这样的说法是对的；因为百位、千位上的数都表示几个百、几个千，而几个百和几个千一定是4的倍数，所以整个数是不是4的倍数，关键在于末两位上的数字组成的两位数是不是4的倍数。 【点睛】本题主要考查了4的倍数的特征，一定要熟记。 【变式训练】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【答案】 至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【分析】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【详解】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 考点六：因数和倍数的综合运用 【典例精讲】食品店里做了66个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把66个月饼装完？（请用因数、倍数的知识说明。） 【答案】B包装，说明见详解 【分析】如果一个数能整除66，那么这个数就是66的因数，对应的包装盒就能正好装完。据此解答即可。 【详解】A包装：66÷4＝16……2，有余数，说明66不能被4整除，所以用A包装盒，装16盒，剩下2个。 B包装：66÷6＝11，没有余数，说明66能被6整除，所以用B包装，装11盒。 C包装：66÷8＝8……2，有余数，说明66不能被8整除，所以用C包装，装8盒，剩下2个。 答：选用B包装盒正好能把66个月饼装完。 【变式训练】如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 【答案】媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 【分析】根据题意，先用乘法求出35的因数，再据此判断是由哪位小朋友报出即可。 【详解】因为，所以35的因数有：1，5，7，35。 媛媛报1，星星报5，姗姗报7，又因为5个小朋友一个循环，35是5的倍数，所以星星也会报到35。 答：媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 【变式训练】万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 【答案】716089 【分析】，所以7的最小倍数是7；，所以1只有一个因数；每个数都既是它本身的因数又是它本身的倍数；最小的自然数是0；，，所以8的因数有1、2、4、8；最大的一位数是9，据此解答。 【详解】A：，所以7的最小倍数是7； B：，所以1只有一个因数； C：6既是6的因数又是6的倍数； D：最小的自然数是0； E：，，8的因数有1、2、4、8，最大的因数是8； F：最大的一位数是9； 所以A是7，B是1，C是6，D是0，E是8，F是9。这个密码是716089。 答：这个密码是716089。 【变式训练】小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 【答案】289576；理由见详解 【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；最小的质数是2； 合数：一个数，除了1和它本数两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；一个数，最小的倍数和最大的因数是它本身；以及求一个数倍数的方法进行解答。 【详解】第一位：最小的质数是2，是2； 第二位：最小的合数是4；4×2＝8，是8； 第三位：是3的倍数，且是最大的一位数，是9； 第四位：5既是5的倍数，也是5的因数，是5； 第五位：所有因数是1，7，1×7＝7，是7； 第六位：是第一位上数的3倍，2×3＝6，是6。 这个密码锁是289576。 答：这个密码锁是289576。 考点七：2、3、5的倍数的特征 【典例精讲】某小学六（1）班有三十多人，体育课李老师要对全班同学进行分组，可是无论分成2人一组，3人一组，或者5人一组，都会余下1人，这个班一共有( )人。 【答案】31 【分析】根据题意可知，如果这个班的人数减少人，则这个班人数就是的倍数，的倍数，也是的倍数，即这个班人数减去就是、、的公倍数， 先计算、、的最小公倍数，可使用互质数求最小公倍数的方法，即互质数的最小公倍数是它们的乘积。 根据班级人数是三十多人的条件，找出符合区间的公倍数，再加得到总人数。 【详解】 （人） 六（1）班有三十多人，体育老师要对全班同学进行分组，可是无论分成个人一组，个人一组，或者是个人一组，都会余下人。这个班一共有人。 【变式训练】一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填( )；如果使它成为3的倍数，□里最小填( )。 【答案】 0 2 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 要使这个数是2和5的倍数，那么个位上一定是0。根据3的倍数特征，个位上从0开始，逐个判断是否是3的倍数。 【详解】如果使46□成为2和5的倍数，□里应该填0； 如果个位填0，4＋6＋0＝10，10÷3＝3⋯⋯1，10不是3的倍数，所以460不是3的倍数。 如果个位填1，4＋6＋1＝11，11÷3＝3⋯⋯2，11不是3的倍数，所以461不是3的倍数。 如果个位填2，4＋6＋2＝12，12÷3＝4，12是3的倍数，所以462是3的倍数。 所以，如果使46□成为3的倍数，□里最小填2。 【变式训练】选出两张数字卡片，按要求组成两位数。 2    0    7    6 (1)最小的偶数：( )。 (2)最大的奇数：( )。 (3)既是2的倍数，又是5和3的倍数：( )。 【答案】(1)20 (2)67 (3)60 【分析】（1）偶数：能被2整除的数，要组成最小的两位偶数，则个位和十位的数字都要保证最小，据此解答； （2）奇数：不能被2整除的数，要组成最大的两位奇数，则个位和十位的数字都要保证最大，据此解答； （3）2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；要确保这个两位数既是2的倍数，又是5和3的倍数，则这个数个位一定是0，再根据3的倍数的特征确定十位的数字。 【详解】（1）最小的偶数：20。 （2）最大的奇数：67。 （3）既是2的倍数，又是5和3的倍数：60。 【变式训练】三位数10□，既是5的倍数又是3的倍数，□里填( )；三位数10□，既是2的倍数又是3的倍数，这个三位数最大是( )。 【答案】 5 108 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】三位数10□，如果是5的倍数，个位只能填0或5，1＋0＋0＝1，100不是3的倍数，1＋0＋5＝6，105既是5的倍数又是3的倍数，□里填5； 三位数10□，如果是2的倍数，个位的数字可以是0、2、4、6、8，从最大的数开始，先验证个位填8是否是3的倍数，1＋0＋8＝9，108是3的倍数，既是2的倍数又是3的倍数，这个三位数最大是108。 考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】在23，75，56，47，2，49，38，102中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )；既是奇数又是合数的数有( )，既是偶数又是质数的数有( )。 【答案】 23，75，47，49 56，2，38，102 23，47，2 75，56，49，38，102 75，49 2 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；据此解答。 【详解】奇数有23，75，47，49，偶数有56，2，38，102，质数有23，47，2，合数有75，56，49，38，102；既是奇数又是合数的数有75，49，既是偶数又是质数的数有2。 【变式训练】从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。（各写出1个） (1)奇数：( )；偶数：( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数：( )；同时是2，3，5的倍数：( )。 【答案】(1) 207 620 (2) 720 270 【分析】（1）奇数特征：个位上是1、3、5、7、9； 偶数特征：个位上是0、2、4、6、8； 据此判断即可。 （2）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8； 3的倍数特征：数字和是3的倍数； 5的倍数特征：个位是0或5； 既是2的倍数，又是3的倍数：要同时满足2的倍数特征和3的倍数特征。 同时是2，3，5的倍数：个位一定是0，再满足3的倍数特征即可。 据此判断即可。 【详解】（1）奇数：0、2、6、7中，选取7在个位，其他数随意（百位不为0），例如：207（答案不唯一）。 偶数：0、2、6、7中，选取0在个位，其他数随意，例如：620（答案不唯一）。 （2）既是2的倍数，又是3的倍数： 0、2、6、7中，选取0在个位，因为7＋2＋0＝9，9是3的倍数，所以720既是2的倍数，又是3的倍数。（答案不唯一） 2，3，5的倍数：0在个位，因为7＋2＋0＝9，9是3的倍数，所以270同时是2，3，5的倍数。（答案不唯一） 【变式训练】在数学课堂上，老师和学生进行了如下的趣味游戏。 有一排编号从1到20的电灯，一开始全部亮着。 第一次：把编号是2的倍数的开关按一下； 第二次：把编号是3的倍数的开关按一下； 第三次：把编号是7的倍数的开关按一下。 每按一次，灯就会改变状态。最后仍然亮着的灯一共有( )盏。 【答案】10 【分析】可先分别找出2、3、7的倍数，再分析哪些灯被按了奇数次（会熄灭），哪些灯被按了偶数次（会亮着），进而得出最后亮着的灯的数量。 【详解】一：找出2、3、7的倍数 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 3的倍数：3，6，9，12，15，18 7的倍数：7，14； 二：找出被按次数的规律 初始时灯是亮着的，按奇数次开关灯就会熄灭，按偶数次开关灯仍然亮着。 6、12、18号灯：是2和3的公倍数，被按了2次； 14号灯：是2和7的公倍数，被按了2次； 2、3、4、7、8、9、10、15、16、20号灯：分别只是2、3、7其中一个数的倍数，被按了1次； 1、5、11、13、17、19号灯：既不是2、3的倍数，也不是7的倍数，被按了0次； 三：统计亮着的灯的数量 被按偶数次（0次和2次）的灯最后是亮着的。 被按0次的灯有1、5、11、13、17、19，共6盏； 被按2次的灯有6、12、14、18，共盏； 所以最后亮着的灯一共6＋4＝10盏。 【变式训练】“我们胜利了！”“中国万岁！”大会上的许多代表握手、拥抱，有的代表跳起舞来。这是一个具有历史意义的时刻，是一个辉煌的时刻，这一刻便是恢复中国在联合国合法席位的时刻。我国恢复在联合国合法席位的年份是一个四位数（单位：年），从左往右数，第1个数是最小的奇数，第2个数是9的最小倍数，第3个数是一位数中最大的质数，第4个数比最小的合数小3。我国恢复在联合国合法席位是( )年。 【答案】 1971 【分析】最小的奇数是1；一个数最小的倍数是它本身；一位数中最大的质数是7；最小的合数是4。据此解答。 【详解】这个四位数，从左往右，第1个数是最小的奇数是1，第2个数是9的最小倍数是9，第3个数是一位数中最大的质数是7，第4个数比最小的合数小3是4－3＝1，这个数就是1971。所以，我国恢复在联合国合法席位是1971年。 考点九：质数与合数的认识 【典例精讲】一个数的十万位是最小的合数，万位是最小的质数，千位是最大的一位数，十位是1，其余各个数位上的数是0，这个数是( )，把这个数改写为以“万”为单位的数是( )，四舍五入到万位的数是( )。 【答案】 429010 42.901万 43万 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，最大的一位数是9，所以这个数是429010；改写成以“万”为单位的数是找到万位，在万位数字右下角点上小数点，省略小数末尾的0即可；四舍五入到万位则是根据千位上的数进行四舍五入。 【详解】这个数是429010 42901042.901万 429010≈43万 【变式训练】1—20各数中，有( )个偶数，有( )个质数，既是奇数又是合数的数是( )和( )。 【答案】 10 8 9 15 【分析】偶数是能被2整除的整数，可按定义从1到20逐一筛选符合的数； 质数是大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数； 奇数是不能被2整除的整数，合数是大于1的整数，除了1和它本身还有其他因数。根据奇数、合数的定义，筛选出1到20中的奇数，再从奇数里筛选出符合合数定义的数，得到对应结果。 【详解】1到20中的偶数为：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，一共10个。 1到20中的质数为：2、3、5、7、11、13、17、19，一共8个。 既是奇数又是合数：1到20中符合条件的是9（因数：1、3、9）和15（因数：1、3、5、15）。 【变式训练】周一李老师让我们帮忙记她的手机密码。她告诉我们，密码是一个四位数：千位是最小的质数，百位是最小的奇数，十位是最小的偶数，个位是最小的合数。我算了一下，密码就是( )。 【答案】2104 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。 【详解】根据分析： 最小的质数是2，所以千位是2； 最小的奇数是1，所以百位是1； 最小的偶数是0，所以十位是0； 最小的合数是4，所以个位是4。 因此，密码就是2104。 【变式训练】有10张1~10的数字卡片，反扣在桌面上，任意打开一张，正面朝上是质数的可能性( )正面朝上是合数的可能性（填大于、小于或等于）。 【答案】小于 【分析】非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数；除了1和它本身外还有其他因数的数是合数；1既不是质数也不是合数。确定1~10中质数和合数的个数，数量越多，可能性越大。 【详解】1~10中的质数有：2、3、5、7，共4个，合数有：4、6、8、9、10，共5个。 4＜5，合数的数量多，所以摸到质数的可能性小于摸到合数的可能性。 考点十：质数与合数的综合应用 【典例精讲】一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米；面积最大是77平方米 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长÷2，用36÷2＝18，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出18以内的质数，再求出两个质数的和是18；再根据长方形面积＝长×宽，据此求出菜地的最大面积。 【详解】36÷2＝18（米） 18以内的质数：2，3，5，7，11，13，17。 5＋13＝18，7＋11＝18； 长方形的长和宽可能是13米和5米，或长和宽可能是11米和7米。 面积：13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77，最大面积是77平方米。 答：这块菜地的长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米，这块菜地的最大面积是77平方米。 【变式训练】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 【变式训练】如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【点睛】关键是掌握质数、合数的分类标准。 【变式训练】判断分析并说明理由。 下面是学校特色社团参加体育展演的人数统计表 社团 健美操 篮球 武术 田径 人数 42 29 37 50 哪几个社团的人数可以排成方队？为什么？ 【答案】见详解 【分析】方队是指排成正方形的队伍，总人数等于方队一条边上的人数的平方，据此解答。 【详解】42＋29＋50 ＝71＋50 ＝121（人） 122＝11×11 答：健美操、篮球、田径社团的人数可以排成方队。因为121人可以排成11行、11列。 【点睛】理解方队的意义。同学们排成的行数和列数相等，这样数量人数就能排成方队。 考点十一：质因数的含义 【典例精讲】在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有( )个0。 【答案】24 【分析】因为2×5＝10，产生一个末尾的零，末尾的零也只能由以上乘式中的一个质因数2与一个质因数5相乘得到，所以只需考虑把以上乘式分解成质因数连乘以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪个质因数的个数少，以上乘式的末尾0的个数就和那个质因数的个数相等。 【详解】从1开始前100个自然数中有20个5的倍数，它们是5，10，15，20，25，…，95，100；在这20个数中，有4个能被25整除，它们是25，50，75，100，所以以上乘式中含有质因数5的个数：20＋4＝24（个），含有2的个数有50个。 因此在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有24个0。 【变式训练】一个数的最大因数是45，它的全部因数有( )，其    中( )是它的质因数。 【答案】 1，3，5，9，15，45 3，5 【分析】根据一个数的最大因数是本身，由题干可知这个是就是45；通过试除法来找45的因数；然后根据如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数；来找出45因数中的质因数；据此可解此题。 【详解】根据分析：45全部因数有：1、3、5、9、15、45；其中3、5是它的质因数。 【变式训练】在中，8和3是24的( )数，其中3也是24的( )数。 【答案】 因 质因 【分析】若整数a能被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】在8×3＝24中，8和3是24的因数，其中3也是24的质因数。 【点睛】本题考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 【变式训练】在3、4、5和60中( )和( )都是( )的质因数。 【答案】 3 5 60 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，用短除法把60分解质因数，据此解答。 【详解】 则60＝2×2×3×5，所以在3、4、5和60中3和5都是60的质因数。 【点睛】本题主要考查质因数的意义，理解质因数一定是质数是解答题目的关键。 考点十二：分解质因数 【典例精讲】把下面各数写成质数相乘的形式。 90    72 【答案】90＝2×3×3×5； 72＝2×2×2×3×3 【分析】采用短除法分解质因数，从最小质数2开始试除，一直除到商是质数为止，最后把所有除数和最后的商连乘。 【详解】 90＝2×3×3×5 72＝2×2×2×3×3 【变式训练】把下面各数写成质数相乘的形式。 24   32    45    42 【答案】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 45＝3×3×5 42＝2×3×7 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；用短除法把各数分解质因数即可。 【详解】24＝2×2×2×3                          32＝2×2×2×2×2                    45＝3×3×5                                   42＝2×3×7                        【变式训练】先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 90             37             58             23             46             87 【答案】见详解 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；一个数分解质因数，要从最小的质数去除，一直除到结果为质数为止。 【详解】如图： 90＝2×3×3×5 58＝2×29 46＝2×23 87＝3×29 【变式训练】圈出合数，并将合数分解质因数。 31         87        91         97        132 【答案】 87＝3×29；91＝7×13；132＝2×2×3×11 【分析】一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式。 【详解】 87＝3×29 91＝7×13 132＝2×2×3×11 考点十三：公因数与最大公因数 【典例精讲】求下面每组数的最大公因数。 26和13          33和9 【答案】13；3 【分析】用短除法短除两个数，再将两个数公有的质因数相乘即可求出两数的最大公因数。 【详解】     （26，13）＝13     （33，9）＝3 【变式训练】求下面每组数的最大公因数。 14和70    45和60    26和39 【答案】14；15；13 【分析】用短除法短除两个数，再将两个数公有的质因数相乘即可求出两数的最大公因数。 【详解】 14和70的最大公因数是2×7＝14； 45和60的最大公因数是5×3＝15； 26和39的最大公因数是13。 【变式训练】求下面每组数的最大公因数。 21和35         36和60         48和72 【答案】7；12；24 【分析】最大公因数也叫最大公约数，指的是两个或多个整数的公因数里，数值最大的那一个。 【详解】 21和35的最大公因数是7。 36和60的最大公因数是2×2×3＝12。 48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24。 【变式训练】求最大公因数。 ①12和16            ②2和5 【答案】①4；②1 【分析】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。 【详解】①12和16 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数是2×2＝4。 12和16的最大公因数是4。 ②2和5 2和5为互质数，2和5的最大公因数是1。 2和5的最大公因数是1。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】有两根彩带，第一根长3.6m，第二根长2.4m，如果把这两根彩带截成同样长的小段且无剩余，每段最长几分米？一共可截几段？ 【答案】6分米，10段 【分析】题目最后问的单位是“分米”，所以先把米换算成分米，方便计算。“截成同样长的小段且无剩余，每段最长”，意思就是找两个长度的最大公因数。用每根彩带的长度除以每段的最长长度，得到各自的段数，再相加就是总段数。 【详解】3.6米＝36分米 2.4米＝24分米 24和36的最大公因数是6，所以每段彩带长是6分米。 24÷6＋36÷6＝10（段） 答：每段最长6分米，一共可截10段。 【变式训练】果果用如图的硬纸板裁出了若干个大小相同的正方形，做了一个棱长最长的正方体纸盒（没有剩余），裁出的正方形的边长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据题意，求裁成的正方形边长最大是多少，是求32和48的最大公因数，由此解答即可。 【详解】32＝2×2×2×2×2 48＝2×2×2×2×3 32和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16 答：裁出的正方形的边长是16厘米。 【变式训练】一张长方形铁皮，长2.4米，宽8分米，把它剪成若干个小正方形，要求边长最大，且没有剩余铁皮，最多可以剪多少个小正方形？ 【答案】3个 【分析】首先统一单位，因为长和宽的单位不一致，所以需要将米转换成分米，保证两者单位相同；要使剪出的小正方形边长最大且没有剩余，那么小正方形的边长是长方形长和宽的最大公因数，所以先计算24分米和8分米的最大公因数；得到最大边长后，分别计算长方形的长、宽方向分别能剪出几个该边长的正方形，再将两个方向的数量相乘，即可得到总个数。 【详解】米分米 （个） （个） （个） 答：最多可以剪3个小正方形。 【变式训练】班级组织野餐，把准备的36盒糖果和30盒糕点平均分给每个小组，且都正好分完。最多可以分给几个这样的小组？这时每个小组分得糖果和糕点各多少盒？ 【答案】最多6个小组；6盒糖果，5盒糕点。 【分析】要求出最多可以分给几个小组，就是求36和30的最大公因数，求出最大公因数，再分别用36和30除以最大公因数，就是每个小组分得糖果和糕点的盒数，据此解答。 【详解】36＝2×2×3×3 30＝2×3×5 最大公因数是2×3＝6 36÷6＝6（盒） 30÷6＝5（盒） 答：最多可以分给6个这样的小组，这时每个小组分得6盒糖果和5盒糕点。 考点十五：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】求下面每组数的最小公倍数。 18和60       45和15        9和16 【答案】180；45；144 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。 【详解】（1）18＝2×3×3 60＝2×2×3×5 18和60的最小公倍数是2×2×3×3×5＝180。 （2）45和15是倍数关系，所以45和15的最小公倍数是45。 （3）9和16是互质数，所以9和16的最小公倍数是9×16＝144。 【变式训练】求出下面各组数的最小公倍数。 （1）30和75    （2）12和96    （3）29和35 【答案】（1）150；（2）96；（3）1015 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把给出的每组数分解质因数；最小公倍数是它们公有的因数和它们各自独有的因数的连乘积，据此计算。 【详解】（1）30＝2×3×5 75＝3×5×5 3×5×2×5＝150 30和75的最小公倍数是150。 （2）12＝2×2×3 96＝2×2×2×2×2×3 2×2×3×2×2×2＝96 12和96的最小公倍数是96。 （3）35＝5×7 29×5×7＝1015 29和35的最小公倍数是1015。 【变式训练】求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 42和63        4和12 25和35        7和21 【答案】21，126；4，12； 5，175；7，21 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此先把给出的每组数分解质因数；两个数的最大公因数是它们所有公有的因数的乘积；最小公倍数是它们公有的因数和它们各自独有的因数的连乘积；如果两个数是倍数关系，那么大数就是这两个数的最小公倍数。当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】42＝2×3×7 63＝3×3×7 3×7＝21 2×3×3×7 ＝6×3×7 ＝18×7 ＝126 所以42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126； 4＝2×2 12＝2×2×3 2×2＝4 2×2×3 ＝4×3 ＝12 所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12； 25＝5×5 35＝5×7 5×5×7 ＝25×7 ＝175 所以25和35的最大公因数是5，最小公倍数是175； 21÷7＝3 所以7和21最大公因数是7，最小公倍数是21。 【变式训练】求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①30和18    ②11和13    ③36和12 【答案】①6；90；②1；143；③12；36 【分析】求最大公因数和最小公倍数，可以利用短除法，这两个数的公有质因数乘积是最大公因数，公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数； 是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答。 【详解】①30和18     最大公因数：2＝6 最小公倍数：23＝90 ②11和13 最大公因数：1 最小公倍数：11＝143 ③36和12 最大公因数：2＝12 最小公倍数：2＝36 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】3月12日是我国法定的植树节，学校买了一批树苗，不超过50棵。如果每行栽24棵，正好栽完。如果每行栽16棵或8棵，也正好栽完。这批树苗共有多少棵？ 【答案】48棵 【分析】树苗总数可被24、16、8整除，总数为三个数的公倍数。找出三个数在五十以内的公倍数，看谁在题目给的数量范围里。 【详解】24的倍数：24，48，72…… 16的倍数：16，32，48，64…… 8的倍数：8，16，24，32，48…… 五十以内共同的倍数只有48。 答：这批树苗共有48棵。 【变式训练】父子两人一起在公园里晨跑，父亲跑完一圈用6分钟，儿子跑完一圈用10分钟，他们两人同时同地向同一方向起跑，经过多少分钟他们第一次在起跑点相遇？ 【答案】30分钟 【分析】求出两人跑完一圈用的时间的最小公倍数是两人在起跑点相遇的间隔时间。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 10＝2×5 2×3×5＝30（分钟） 答：经过30分钟他们第一次在起跑点相遇。 【变式训练】工地运进一批长60厘米、宽42厘米的大理石板材，王叔叔准备用这些板材铺设一个正方形的院落。这个正方形院落至少需要多少块这样的大理石？ 【答案】70块 【分析】要铺成最小的正方形院落，正方形边长是60和42的最小公倍数，再用正方形的边长除以大理石板材的长和宽分别算出长和宽方向所需块数，最后相乘得到总块数。 【详解】60＝2×2×3×5 42＝2×3×7 最小公倍数：2×3×2×5×7＝420 （420÷60）×（420÷42） ＝7×10 ＝70（块） 答：这个正方形院落至少需要70块这样的大理石。 【变式训练】济南泉城广场的荷花音乐喷泉动静结合，颇具特色。某次表演时，外层每20秒喷一次水，内层每15秒喷一次水。晚上8时12分40秒同时喷水，下次同时喷水是在什么时候？ 【答案】8时13分40秒 【分析】外层和内层同时喷水的时间间隔必须是20和15的公倍数。要求下次同时喷水的时间，即求20和15的最小公倍数，得出间隔秒数后，将其转化为分钟，再加到起始时刻上即可得出结果。 【详解】20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最小公倍数是2×2×3×5＝60 即每隔60秒同时喷水一次。 60秒＝1分 下次同时喷水的时刻： 8时12分40秒＋1分＝8时13分40秒 答：下次同时喷水是8时13分40秒。 综合训练 1．m÷n＝66（m、n均为整数且n≠0），那么m和n的最大公因数是（    ）。 A．1 B．m C．n D．66 【答案】C 【分析】当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数。 【详解】m÷n＝66（m、n均为整数且n≠0），则m和n是倍数关系，且m＞n，那么m和n的最大公因数是n。 2．下列说法中，正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．一个非0自然数的倍数一定比它的因数大 C．12和18的最小公倍数是36 D．两个合数的和一定还是合数 【答案】C 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数；一个非0自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身；分别列出12和18的倍数，找出最小公倍数；合数是除了1和它本身还有其他因数的数。 【详解】A．2是质数，但2是偶数不是奇数，说法错误。 B．2的倍数最小是2；2的因数有1、2，最大的因数是2，一个非0自然数的倍数等于它的因数，说法错误。 C．12的倍数：12、24、36……；18的倍数：18、36、54……，最小公倍数是36，说法正确。 D．例如4和9都是合数，4＋9＝13，13是质数，说法错误。 3．a、b、c是三个自然数，且不等于0，在a＝bc中，下列说法正确的是（    ）。 A．b一定是因数 B．c一定是a和b的最大公因数 C．a一定比c和b大 D．a一定是b和c的公倍数 【答案】D 【分析】在非0自然数范围内，如果数m能被数n整除，那么n是m的因数，m是n的倍数；两个数共有的倍数叫做这两个数的公倍数；两个数共有的因数中最大的数叫做这两个数的最大公因数。 已知a、b、c是非0自然数，且a＝bc，可得a÷b＝c，a÷c＝b，商均为整数，即a能被b整除，也能被c整除。据此分析各选项说法的正确性。 【详解】A．因数是两个数之间的相互关系，必须说明一个数是另一个数的因数，不能单独说某一个数是因数，因此“b一定是因数”的说法错误。 B．最大公因数是指两个数公有的因数中最大的数。举例验证：假设a＝12，b＝2，c＝6，满足a＝bc，此时a和b的最大公因数是2，不是c＝6，因此该说法错误。 C．自然数包含1，举例验证：假设b＝1，c＝5，那么a＝1×5＝5，此时a和c大小相等，并不比c大，因此该说法错误。 D．两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。由a＝bc可知，a÷b＝c，a÷c＝b，说明a既是b的倍数，也是c的倍数，因此a一定是b和c的公倍数，该说法正确。 因此，说法正确的是a一定是b和c的公倍数。 4．能同时被2、3、5整除的最小四位数是（    ）。 A．1000 B．1005 C．1010 D．1020 【答案】D 【分析】能同时被2、3、5整除，则这个数同时是2、3、5的倍数。 2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 【详解】A．1000的个位是0，它同时是2和5的倍数。 1＋0＋0＋0＝1，1不是3的倍数，1000不是3的倍数，不符合要求。 B．1005的个位是5，它是5的倍数，不是2的倍数。 1＋0＋0＋5＝6，6是3的倍数，1005是3的倍数，不符合要求。 C．1010的个位是0，它同时是2和5的倍数。 1＋0＋1＋0＝2，2不是3的倍数，1010不是3的倍数，不符合要求。 D．1020的个位是0，它同时是2和5的倍数。 1＋0＋2＋0＝3，3是3的倍数，1020是3的倍数，1020同时是2、3、5的倍数，符合要求。 能同时被2、3、5整除的最小四位数是1020。 5．学校大力营造书香氛围，倡议各班上好读书课，用好图书角。现计划购置一部分图书。如果每48本装一包，能够正好装完；如果56本装一包，也能正好装完。图书室至少购进了（    ）本图书。 A．96 B．336 C．112 D．480 【答案】B 【分析】题目要求的是同时能被48和56整除的最小整数，所以该问题本质是求48和56的最小公倍数。 可以选择分解质因数法：先分别把48和56分解为质因数相乘的形式，再取两个数共有的质因数和各自独有的质因数相乘，得到的结果就是最小公倍数。 【详解】， 最小公倍数：2×2×2×2×3×7＝336 因此图书室至少购进了336本图书。 6．在烟花节上，每12秒可以看到一次星星图案的礼花，每16秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（    ）秒才可以再次同时看到这两种礼花。 A．48 B．32 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】12和16的最小公倍数即为下一次同时看到两种礼花最少需要的时间。先将两个数分解质因数，公有质因数与独有质因数的乘积是最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数为： 2×2×2×2×3 ＝4×2×2×3 ＝8×2×3 ＝16×3 ＝48 所以至少还要过48秒才可以再次同时看到这两种礼花。 7．学校举行美食文化节，小轩妈妈要把126个小蛋糕装箱，选择每箱装（    ）个的包装盒，正好可以将蛋糕完全装完。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，若126个小蛋糕装箱正好装完，则小蛋糕的个数是每箱装的包装盒个数的倍数，每箱装的包装盒的个数是小蛋糕个数的因数，判断一个数是不是另一个数的倍数用除法，计算看能不能整除，对四个选项逐一判断即可． 【详解】A．126÷6＝21（箱），可以正好装完 B．126÷8＝15（箱）6（个），有剩余无法装完 C．126÷10＝12（箱）6（个），有剩余无法装完 D．126÷12＝10（箱）6（个），有剩余无法装完 8．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．12 B．15 C．28 D．49 【答案】C 【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，如：4×9＝36，4和9是36的因数；据此找出选项中各数的因数，再用加法求出除了它本身之外的其他因数之和并判断。 【详解】A．12的因数有：1，2，3，4，6，12，1＋2＋3＋4＋6＝16，因为16≠12，所以12不是完全数； B．15的因数有：1，3，5，15，1＋3＋5＝9，因为15≠9，所以15不是完全数； C．28的因数有：1，2，4，7，14，28，因为1＋2＋4＋7＋14＝28，28＝28，所以28是完全数； D．49的因数有：1，7，49，因为1＋7＝8，8≠49，所以49不是完全数。 所以是“完全数”的是28。 9．从0、2、4、6这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 420 240 【分析】同时是2、3、5的倍数特征：个位上的数字一定是0，且各位上的数的和是3的倍数。 列举出可以组成的、个位数字是0的三位数，通过判断各位上的数的和是否是3的倍数，选择出同时是2、3、5的倍数的最大三位数和最小三位数。 【详解】可以组成的、个位数字是0的三位数：240、420、260、620、460、640。 260、620：2＋6＋0＝8、6＋2＋0＝8，8不是3的倍数，所以260、620不是3的倍数，排除。 460、640：4＋6＋0＝10、6＋4＋0＝10，10不是3的倍数，所以460、640不是3的倍数，排除。 420、240：4＋2＋0＝6，所以这个三位数最大是420，最小是240。 10．学校人工智能社团分组开展探究活动，如果每4人一组，多出1人；如果每6人一组，也多出1人，这个社团至少有( )人。 【答案】13 【分析】求出4和6的最小公倍数（将两个数分解质因数，公有质因数与独有质因数的乘积是最小公倍数）；再用最小公倍数加上1即为社团人数最少的情况。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＋1 ＝4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（人） 11．“洛阳市涧西区成立于1955年，是中国工业成果的代表之一，在国家第一个5年规划时期，国家有156个重点建设项目，其中的7个大型工业项目在这里落地生根。”以上数字信息中的质数有______，合数有______，将其中一个合数分解质因数______。 【答案】 5、7 1955、156 156＝2×2×3×13 【分析】非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的相乘的形式。据此解答。 【详解】5只有1和5两个因数，7只有1和7两个因数，所以质数有5、7； 1955有因数5，156有质数2，所以合数有1955、156； 将其中一个合数分解质因数：156＝2×2×3×13（也可以对1955分解质因数1955＝5×17×23） 12．智能快递柜走进了城市的各个社区，解决了社区居民排队取快递的烦恼。居民王阿姨某次网购的取件码是一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，个位上是2和3的倍数，王阿姨的取件码是( )。 【答案】9146 【分析】最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，个位是一位数且是2和3的倍数，所以个位上的数字是；将四个数位的数字按顺序组合，得到最终的四位数。 【详解】千位上写9，百位上写1，十位上写4，个位上写6； 王阿姨的取件码是9146。 13．第24届冬奥会于2022年2月4日20∶04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词名谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有的文化魅力。在24的因数中，( )是合数，( )是奇数，把24分解质因数是( )。 【答案】 4、6、8、12、24 1、3 24＝2×2×2×3 【分析】先用列乘法算式的方式找出24全部因数，再根据合数是大于1、除1和自身外还有别的因数、奇数是不能被2整除的整数这两个定义筛选对应数字，最后用短除法，从最小质数开始除至商为质数，完成24的质因数分解。 【详解】1×24＝24、2×12＝24、3×8＝24、4×6＝24， 所以24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 合数：4、6、8、12、24， 奇数：1、3。 24＝2×2×2×3 14．图中的计数器三个档上各有10个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按照数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字各不相同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是( )。 【答案】925 【分析】先计算三个档上算珠的总数，对其进行分解质因数，再根据上面三位数数字各不相同且是下面三位数倍数的条件，对质因数组合进行分析，从而得出满足条件的上面的三位数。 【详解】10个一是10，10个十是100，10个百是1000，因此三个档上算珠合起来是1000＋100＋10＝1110。 1110＝2×3×5×37 因为要求上面三位数的数字各不相同，37×3＝111，2×5＝10，不满足成倍数条件，所以分解为1110＝37×5×6＝37×5×（5＋1），进而得到37×5×5＝925，37×5＝185。 因为925÷185＝5，满足条件，所以上面三位数是925，下面三位数是185。 15．A和B都是自然数，把它们分解质因数是A＝2×5×a，B＝3×5×a，则A和B的最大公因数是( )；如果A和B的最小公倍数是60，那么a＝( )。 【答案】 5a 2 【分析】利用分解质因数的方法求最大公因数，把A和B都含有的质因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数；利用分解质因数的方法求最小公倍数，把A和B都含有的质因数和A和B独自含有的质因数相乘，所得的积就是它们的最小公倍数，所以A和B的最小公倍数是2×3×5×a＝60，据此求出a即可。 【详解】A＝2×5×a B＝3×5×a A和B的最大公因数是5×a＝5a A和B的最小公倍数是2×3×5×a 2×3×5×a＝60 30a＝60 30a÷30＝60÷30 a＝2 16．用一块长24dm、宽18dm的KT板制作防溺水警示牌，如果要做成大小相等的正方形且没有剩余，正方形警示牌的边长最大是( )dm，可以制作( )块。 【答案】 6 12 【分析】要将长方形KT板分成大小相等且没有剩余的正方形，求最大边长是长和宽的最大公因数，用短除法求出它们的最大公因数即可。 已知正方形最大边长，分别用长和宽除以正方形最大边长，计算出长和宽方向能分割出的正方形个数，再将两个方向的个数相乘，就能得到总块数。 【详解】 24和18的最大公约数是： （个） 正方形警示牌的边长最大是6分米，可以制作12块。 17．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和20    66和11    35和14 【答案】4，60；11，66；7，70 【分析】最大公因数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘的积是它们的最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘的积是它们的最小公倍数。两个不相同质数一定是互质数。两个数互质时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。一个数能被另一个数整除时，这个数是这两个数的最小公倍数，另一个数是这两个数的最大公因数。 【详解】12＝2×2×3 20＝2×2×5 12和20的最大公因数为：2×2＝4 12和20的最小公倍数为：2×2×3×5＝60 66÷11＝6 66和11的最大公因数是11，最小公倍数是66。 35＝5×7 14＝2×7 35和14的最大公因数是7，最小公倍数是：2×5×7＝70。 18．把下面各数分解质因数。 30    40    28 【答案】30＝2×3×5；40＝2×2×2×5；28＝2×2×7 【分析】短除法分解质因数：先用能整除这个合数的最小质数去除；得到的商如果是合数，继续用质数去除，一直除到商是质数为止；把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 【详解】 30＝2×3×5        40＝2×2×2×5        28＝2×2×7 19．五年级学生参加文艺演出，人数在40和60人之间，如果分成4人一组，5人一组，8人一组或10人一组，都刚好分完。五年级参加文艺演出的学生有多少人？ 【答案】40人 【分析】“分成4人一组，5人一组，8人一组或10人一组，都刚好分完”说明参加演出的人数同时是4、5、8、10 的倍数。找出4、5、8、10的公倍数，且该数在40～60之间即可解答。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60 5的倍数：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60 8的倍数：8、16、24、32、40、48、56 10的倍数：10、20、30、40、50、60 4、5、8、10的最小公倍数是40，且该数在40～60之间。 答：五年级参加文艺演出的学生有40人。 20．体育元素成为提升居民小区颜值的新亮点。小区内一个长98米、宽77米的长方形运动场地，一面靠墙，规划秋天时节在其余三边上等距离栽紫薇树（A、B两，点都要栽，靠墙不栽），最少要栽多少棵？ 【答案】 35棵 【分析】长方形不靠墙的三条边上等距栽树，说明树间距既是长的因数也是宽的因数，A、B两点栽树，靠墙不栽，树间距越大需要栽的树越少，据此计算树的棵数。 【详解】98和77的最大公因数是7。 （棵） （棵） 答：最少要栽35棵树。 21．有一张长方形彩纸，长90厘米，宽70厘米，如果要剪成若干个同样大小的正方形，而没有剩余，那么剪出的正方形的面积最大是多少平方厘米？能剪出多少个这样的正方形？ 【答案】 平方厘米；个 【分析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求和的最大公因数，求至少可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积。由此解答即可。 【详解】 所以正方形最大边长是10里面。 （平方厘米） （个） 答：那么剪出的正方形的面积最大是平方厘米。能剪出个这样的正方形。 22．一袋棒棒糖，2颗2颗地数，剩1颗；3颗3颗地数，剩1颗；5颗5颗地数，还是剩1颗。如果这袋棒棒糖的数量在40颗以内，这袋棒棒糖有多少颗？ 【答案】31颗 【分析】根据题意，2颗2颗地数，3颗3颗地数，5颗5颗地数，都剩1颗；说明棒棒糖的数量减去1后，能同时被2、3、5整除，即棒棒糖的数量减去1是2、3、5的公倍数。先求出 2、3、5的最小公倍数，再结合棒棒糖的数量在40颗以内的条件，即可求出棒棒糖的具体数量。 【详解】2、3、5的最小公倍数是：2×3×5＝30 30＋1＝31（颗） 31＜40 答：这袋棒棒糖有31颗。 23．中国结是手工编织工艺品，寓意团圆、吉祥，代表中华民族传统文化，饱含爱国之情与对未来的展望，是中国文化瑰宝，需我们传承。手工课上，张老师拿来两根丝绳要教同学们做中国结，一根长16米，另一根长20米。现在要把两根丝绳截成长度相等的小段，不能有剩余。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】4米；9段 【分析】要把两根丝绳截成长度相等的小段且没有剩余，说明每段的长度必须是两根丝绳长度的公因数。要求每段最长是多少米，即求16和20的最大公因数。求出每段长度后，用两根丝绳的总长度除以每段的长度，即可得到一共可以截成的段数。 【详解】16＝2×2×2×2 20＝2×2×5 16和20的最大公因数是2×2＝4 （16＋20）÷4 ＝36÷4 ＝9（段） 答：每段最长是4米，一共可以截成9段。 24．学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。王老师一共拿来了36件上衣和48条长裤。如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤且全部分完，最多可以有多少名学生同时参赛？ 【答案】12名 【分析】每人分得相同数量的上衣和相同数量的裤子且全部分完，说明参赛学生数是36和48的公因数，求最多可以有多少名学生同时参赛，即求36和48的最大公因数。 【详解】求36和48的最大公因数： ， 最大公因数： 答：最多可以有12名学生同时参赛。 25．老年旅游团非常受欢迎，李叔叔每3天带团一次，王阿姨每5天带团一次。5月1日这天两人都带团，他们下次同一天带团的时间是几月几日？ 【答案】5月16日 【分析】李叔叔每3天带团一次，王阿姨每5天带团一次，两人再次同一天带团经过的天数是3和5的公倍数；要求下次同一天带团的时间，即求3和5的最小公倍数；两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积。据此求出经过的天数后即可计算具体的日期。 【详解】3和5为互质数，3和5的最小公倍数为3×5＝15，两人经过15天后再次同一天带团。 5月1日＋15天＝5月16日。 答：他们下次同一天带团的时间是5月16日。 26．数学课上，李老师在筐里放了36个苹果，让静文去拿。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。共有多少种拿法？每种拿法各拿多少次？ 【答案】7种； 每次拿2个拿18次， 每次拿3个拿12次， 每次拿4个拿9次， 每次拿6个拿6次， 每次拿18个拿2次， 每次拿12个拿3次， 每次拿9个拿4次。 【分析】找到能被36整除的数有多少个，即36的因数有多少，就是多少种拿法；注意1和36除外；据此解答。 【详解】36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 符合的36的因数有：2，3，4，6，9，12，18。 答：共有7种拿法， 每次拿2个拿18次， 每次拿3个拿12次， 每次拿4个拿9次， 每次拿6个拿6次， 每次拿18个拿2次， 每次拿12个拿3次， 每次拿9个拿4次。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $