江苏省南京市2026年新高一秋季开学分班数学仿真模拟练习卷（范围：集合、常用逻辑用语、不等式）

**基本信息** 2026年高一开学分班数学自测卷，聚焦集合、不等式等衔接知识，通过加油方案、仓库建造等真实情境设计，诊断基础能力与数学建模素养，适配开学分层教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算（1题）、充分必要条件（3题）、不等式性质（6题）|第8题以燃油价格波动为背景，考查均值不等式实际应用，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题/15分|不等式解集（12题）、集合关系（13题）、恒成立问题（14题）|14题结合二次函数与不等式，考查逻辑推理能力| |解答题|5题/77分|集合运算（15题）、解不等式（16题）、数学建模（18题）、创新探究（19题）|18题仓库建造问题融合函数建模与最值求解，19题类比迁移培养创新意识，落实数学思维与语言表达素养|

2026年秋季高一年级开学分班自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则集合的元素个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 8．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 10．若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（    ） A． B．0 C． D． 11．已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ）. A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如果不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是________. 13．设集合，，若，则的取值范围是__________. 14．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合A={2，5，a＋1}，B={1，3，a}，且A∩B={2，3}． (1)求实数a的值及A∪B； (2)设全集U={x∈N|x≤6}，求（）∩（）． 16．解下列关于的不等式： (1)； (2). 17．已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 19．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A C B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）∵A∩B={2，3}，∴3∈A，即a＋1=3，得a=2， 则A={2，5，3}，B={1，3，2}，A∪B={1，2，3，5}． （2）由题意可得U={0，1，2，3，4，5，6}， （）∩（）={0，1，4，6}∩{0，4，5，6={0，4，6}. 16．（15分） 【详解】（1）由或， 所以不等式的解集为或； （2）由， 当时，则有且， 若，即时，不等式解集为， 若时，不等式解集为， 若时，不等式解集为， 当时，则有，故不等式的解集为， 当时，则有且，故不等式的解集为. 综上，时解集为， 时解集为， 时解集为， 时，解集为， 时，解集为. 17．（15分） 【详解】（1）当时，或，由，得或， 所以或，或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时，或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 18．（17分） 【详解】（1）前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）. （2）乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为. 19．（17分） 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级开学分班自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则集合的元素个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据已知列举出集合B,即得集合B的元素个数. 【详解】由集合中元素的属性，，， 可得集合中的元素有，，，共3个. 故选B. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：A 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由条件常数代换后，利用基本不等式计算即得. 【详解】因，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：C. 6．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 7．设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 8．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论. 【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则： 方案一：两次加油平均价格为， 方案二：两次加油平均价格为， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 【答案】AB 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合特称命题的否定的性质逐一判断即可. 【详解】A：由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，因此本选项说法正确； B：因为一元二次方程有一正一负根， ，所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，因此本选项说法正确； C：且一定能推出，但是不一定能推出且，例如，所以“”是“且”的必要不充分条件，因此本选项说法不正确； D：命题“，”的否定为“，，所以本选项说法不正确， 故选：AB 10．若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】分和两类情况讨论即可求解. 【详解】， 当时，，满足； 当时，， 若，解得； 若，解得. 所以满足条件的实数a可以为. 故选：ABC 11．已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件有且、，再应用不等式的性质或基本不等式“1”的代换判断各项的正误. 【详解】由，则，可得，B对， 所以，则，， 所以，当且仅当时取等号，A错， 由，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，即，C对， 且， 当且仅当，即时取等号，即，D对. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．如果不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是________. 【答案】 【分析】根据题意，由根与系数的关系式，即可求出不等式中m,n与a,b,c的关系，由此求出不等式的解集. 【详解】关于x的不等式的解集是 关于的不等式可化为： 且： 又， 不等式的解集为：. 【点睛】本题考查了含参的一元二次不等式的解法以及根与系数关系，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题. 13．设集合，，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据集合交集的概念及结果，列式求解即可. 【详解】因为集合，， 当，即集合中没有共同元素时， 所以，即集合中有共同元素时. 故答案为： 14．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 【详解】设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合A={2，5，a＋1}，B={1，3，a}，且A∩B={2，3}． (1)求实数a的值及A∪B； (2)设全集U={x∈N|x≤6}，求（）∩（）． 【答案】(1)a=2，A∪B={1，2，3，5} (2){0，4，6} 【分析】（1）根据A∩B={2，3}，可得3∈A，即a＋1=3，得a=2，求得A={2，5，3}，B={1，3，2}，再求并集即可； （2）根据U={0，1，2，3，4，5，6}，由（1）得A={2，5，3}，B={1，3，2}，再求补集和交集的混合运算即可得解. 【详解】（1）∵A∩B={2，3}，∴3∈A，即a＋1=3，得a=2， 则A={2，5，3}，B={1，3，2}，A∪B={1，2，3，5}． （2）由题意可得U={0，1，2，3，4，5，6}， （）∩（）={0，1，4，6}∩{0，4，5，6={0，4，6}. 16．解下列关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用解不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）应用分类讨论求解含参一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由或， 所以不等式的解集为或； （2）由， 当时，则有且， 若，即时，不等式解集为， 若时，不等式解集为， 若时，不等式解集为， 当时，则有，故不等式的解集为， 当时，则有且，故不等式的解集为. 综上，时解集为， 时解集为， 时解集为， 时，解集为， 时，解集为. 17．已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2)或 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系，按是否为实数集分类求解. 【详解】（1）当时，或，由，得或， 所以或，或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时，或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 18．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据题意即可得到函数解析式. （2）将不等式恒成立问题转化为函数值域问题，结合函数单调性求出最值即可. 【详解】（1）前面墙体长米（），则左右两面墙体长为米. 所以新建前面墙体的费用为：元，即百元. 新建左右两面墙体的费用为：元，即百元. 又屋顶和地面以及其他共计28800元，即288百元， 所以总费用（）. （2）乙队给出的整体报价为元，即百元（）. 甲队要确保竞标成功，需甲队报价小于乙队报价对任意恒成立， 即对任意恒成立. 化简得， 因为，所以， 整理得对任意恒成立. 设，则，. 又在上为增函数，所以， 则，即，又，所以. 故实数的取值范围为. 19．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $