精品解析：江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年新高一上学期选拔性考试数学试题

新高一选拔性考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，则的化简结果是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将绕点旋转至位置，且为的中点，在反比例函数上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点.设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡相应的位置上） 7. 若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________. 8. 不等式组的解集为__________. 9. 如图，在中，已知，于点，且，，则的长为__________. 10. 若且，则的取值范围为__________. 11. 某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000，原有水量分别为1200，300，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100，当其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.若每分钟向甲注水，且甲比乙提前3注满，则的值为___________. 12. 如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 三、解答题（本大题共90分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 13. 设，，是三个互不相等的非零实数，且满足，.求代数式的值. 14. 当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 15. 已知：如图，在中，，为边上一点，且.求证：. 16. 如图，在等腰中，，，分别为，上的高，记.我们可以从下面的两个视角探求的面积. 视角1：； 视角2：. 由此我们可以得到恒等式. 请根据该恒等式完成下面的问题： （1）已知为锐角，且，求的值； （2）求的值； （3）我们把上面得到恒等式的方法叫做“等积法”，我们常常用“等积法”来证明一些数学结论.如图，是锐角三角形，，，的对边分别为，，，请尝试用“等积法”证明：. 17. 随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. （1）如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； （2）画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 18. 如图1，锐角内接于，为的中点，连接并延长交于点，连接，，过作的垂线交于点，点在上，连接，，若平分且. （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）如图2，当点恰好在上，且时，求的长. 19. 已知函数. （1）当时，设表示的最小值，求的最大值； （2）若该函数的图象与轴交于，两点，且.证明：或； （3）若该函数图象的顶点为，与轴交于点，点为该函数图象上一点，点为轴正半轴上一点，线段与线段交于点.当，时，求点的横坐标. 20. 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接. （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，.若，直接写出的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新高一选拔性考试数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，则的化简结果是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定各方程解的情况可得与0的大小关系，再利用绝对值的意义化简即得. 【详解】由方程无解，得；由方程有两个解，得； 由方程只有一个解，得， 所以， 故选：A 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将绕点旋转至位置，且为的中点，在反比例函数上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系求出点坐标，代入即可求出答案. 【详解】连接，作轴于点， 由题意知，为的中点，,， 所以， 所以为等边三角形， 所以， 所以，， 所以， 所以，， 即， 因为点在反比例函数上，所以. 故选：B. 4. 已知，是正数，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A. 5. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点.设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作于点H，，可得，设求出，再由可得答案. 【详解】过点C作于点H， 由，有， 又，得， 设，则，中，， 则，解得，所以， 根据，可得，， 而，， 所以， 由，得，有， . 故选：C 6. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先以矩形顶点 为原点建立平面直角坐标系，将矩形各顶点及动点 用坐标表示，再利用圆周角定理找 取得最大值条件，最后利用圆心到圆上各点距离相等(半径相等)列方程，求解并取舍根即可. 【详解】建立坐标系：设 ，，，， 因为 为 中点，故 ， 设 （），当 最大时， 的外接圆与 边（即 ）相切于点 ， 则外接圆的圆心 到切线 的距离等于半径 ，故 且 ，得 ，即圆心 ， 由 列方程：， 化简得，即， ，化简得： ，， 联立 的表达式， 整理：， 解得：， 因为，故 ，（，舍去） 所以 的长度即为 的值，即. 故选：D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡相应的位置上） 7. 若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法求解即可. 【详解】， 因为是完美数，则令，解得. 此时，由于为整数，和均为整数，符合题意. 故答案为：. 8. 不等式组的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合绝对值的几何意义解不等式即可. 【详解】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 9. 如图，在中，已知，于点，且，，则的长为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用直角三角形边角关系及和角的正切列式求解. 【详解】依题意，， 则， 整理得，而，所以. 故答案为：12 10. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 11. 某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000，原有水量分别为1200，300，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100，当其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.若每分钟向甲注水，且甲比乙提前3注满，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得还需往甲、乙注水、才可注满，进而结合题设列方程求解即可. 【详解】由题意，甲、乙水池原有水量为1200、300， 则分别还需注水、才可注满， 由于每分钟向甲注水，且甲比乙提前3注满， 所以，解得. 故答案为：. 12. 如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量法，结合向量的线性运算和三点共线的性质，即可求解. 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 三、解答题（本大题共90分.解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 13. 设，，是三个互不相等的非零实数，且满足，.求代数式的值. 【答案】20 【解析】 【分析】将变形为，取平方后结合条件消去，推出，进而得到，代入所求式计算即得. 【详解】由可得，两边取平方， 因，代入整理得，即， 因，则得，代入，解得， 故. 14. 当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 【答案】 【解析】 【分析】 对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解. 【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方， 即，得. 当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15. 已知：如图，在中，，为边上一点，且.求证：. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】作，，垂足分别为，可证，可得，可证，即可得结果. 【详解】作，，垂足分别为， 因为，，， 则，可得， 又因为，则，所以. 16. 如图，在等腰中，，，分别为，上的高，记.我们可以从下面的两个视角探求的面积. 视角1：； 视角2：. 由此我们可以得到恒等式. 请根据该恒等式完成下面的问题： （1）已知为锐角，且，求的值； （2）求的值； （3）我们把上面得到恒等式的方法叫做“等积法”，我们常常用“等积法”来证明一些数学结论.如图，是锐角三角形，，，的对边分别为，，，请尝试用“等积法”证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理求出，利用公式即可求解； （2）利用计算即可求出答案； （3）过点作，垂足为，分别求出和，即可证明，同理证明其它等式，即可证明. 【小问1详解】 如图，因为为锐角，且，所以， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 过点作，垂足为， 在中，， 在中，， 所以，即， 同理可得，, 故. 17. 随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. （1）如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； （2）画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）不能，图形，计算过程见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而根据计算即可得答案； （2）过点作，垂足为，设太阳光线与窗户交于点，进而用与表示，，，再根据三角恒等变化，计算并与比较大小即可判断. 【小问1详解】 如图，因为冬至正午时太阳高度角最小，约为35°所以， 因为m，， 所以，即 又因为， 所以（m） 所以窗户上的影长为米. 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，设太阳光线与窗户交于点， 记，则，由题知， 所以，在中，，即， 在中，，即， 所以，其中， 因为，mm， 所以 所以冬至正午时遮阳棚不能完全遮住窗户上的阳光 18. 如图1，锐角内接于，为的中点，连接并延长交于点，连接，，过作的垂线交于点，点在上，连接，，若平分且. （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）如图2，当点恰好在上，且时，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）设，，证明，可得，即，则，可得，从而得解； （3）设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，解方程可得答案. 【小问1详解】 平分，， ，， ，， ，， . 【小问2详解】 设，为的中点，，， 设， 则，， ，， ，，， ，即， ， ， （负根舍去）. 【小问3详解】 如图，设的半径为，连接交于，过作于， ，，， ，，，， ，，，， ，， ，， ，，， ，，，， 为的中点，，，， ，，， ，， ，. 19. 已知函数. （1）当时，设表示的最小值，求的最大值； （2）若该函数的图象与轴交于，两点，且.证明：或； （3）若该函数图象的顶点为，与轴交于点，点为该函数图象上一点，点为轴正半轴上一点，线段与线段交于点.当，时，求点的横坐标. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质计算即可； （2）利用二次函数的两点式得出与的关系，结合不等条件与反证法证明即可； （3）将点沿水平方向向左平移个单位得点，连接，过作，过E作y轴的平行线，过作轴，交于J点，垂足分别为，通过构造直角三角形，利用正切值得出线段比例关系，再结合三角形相似与一线三垂直模型得出坐标关系，解方程即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，的最小值为， 即，当时可取得最大值； 【小问2详解】 由二次函数的两点式可知， 所以， 因为，所以， 假设都不大于等于0且小于等于2， 当，则，此时，不符题意； 当，则，此时，不符合题意； 所以假设不成立，则中至少有一个大于等于0且小于等于2， 即或； 【小问3详解】 若该函数图象的顶点为，则，即， 则，设， 将点沿水平方向向左平移个单位得点，连接， 过作，过E作y轴的平行线，过作轴，交于J点， 垂足分别为， 即， 所以四边形为平行四边形，则，， 设， 易知，则，则， 又，所以， 则，即，则， 由题意可知E在第四象限，所以， 所以， 得方程，解方程得， 又，所以，即点的横坐标为. 20. 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接. （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，.若，直接写出的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明即可证明结论. （2）过点作，交的延长线于点，连接，根据角关系和线段关系先证明四边形是平行四边形，进而得到结论. （3）延长交于点，连接，先证明四边形是平行四边形求出，然后当时，取得最小值，进而求出结果. 【小问1详解】 证明：因为为等边三角形，所以. 因为将绕点顺时针旋转60°得到线段，所以. 所以，所以，即. 在和中，由于. 所以，所以. 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作，交的延长线于点，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为，所以，所以垂直平分，所以. 又因为，所以， 所以，所以在的垂直平分线上. 因为，所以在的垂直平分线上. 所以垂直平分，所以，所以. 又因为，所以是等边三角形， 所以，所以. 所以. 又因为. 所以，所以，所以. 所以，所以，所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 【小问3详解】 解：依题意，如图所示，延长交于点，连接. 由（2）可知是等边三角形，所以. 因为将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 将沿所在直线翻折至所在平面内，得到. 所以，所以. 所以是等边三角形，所以. 由（2）可得，所以. 因为，所以，因为，所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由（2）可知是的中点，则， 所以，所以， 所以，所以. 又，所以. 所以当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $