精品解析：江苏省南京市励志高级中学2025-2026学年高一创新班上学期开学调研数学试卷

南京市励志高级中学创新班开学调研 数学试卷 （时间:120分钟 满分:150分） 命题人:蒋恒峰 审题人:毛辛有 第I卷（选择题） 一、单选题题（本大题共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 上单调递增，且曲线存在对称轴 B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心 C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴 D. 上单调递减，且曲线存在对称中心 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，其中所有正确结论的编号是（ ） ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减； ④把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象． A. ①④ B. ②④ C. ①② D. ①②③ 5. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 6. 已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论： ①存在点，使得与的面积相等； ②存在点，使得与的面积相等； ③面积的最大值为，此时； ④矩形面积的最大值为，此时． 其中，所有正确结论的序号为（    ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中最小值不小于6的是（    ） A. B. C. D. 11. 若实数a，b满足，，则下列说法正确为（ ） A. 当时，的最大值为16 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. （1）已知实数满足，则的取值范围是________． （2）已知，，求x的最大值是_________． 13. （1）设，那么的最小值是___________. （2）已知，且.求的最小值是___________. 14. （1）已知正实数，且满足，则的最小值是___________. （2）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为________千米． 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15 （1）． （2）已知，求的值. （3）求函数的值域. 16. 已知函数满足． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）函数图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． （3）设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数，． （1）若，，求的值； （2）若存在，使等式成立，求实数m的取值范围． 18. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 19. （1），，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . （2）设定义在区间上的函数的图象为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量. 定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数. （i）求证：三点共线； （ii）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学创新班开学调研 数学试卷 （时间:120分钟 满分:150分） 命题人:蒋恒峰 审题人:毛辛有 第I卷（选择题） 一、单选题题（本大题共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 2. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴 B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心 C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴 D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案. 【详解】令，得，解得，可知的定义域是， 因为， 且在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数， 又因为，即， 所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一（极限法）：令，则，排除A，B；令，则，排除C，故选D. 法二：根据二倍角公式结合，化简即可求解. 【详解】法一（极限法）：令，则，而，，排除A，B； 令，则，而，排除C，故选D. 法二：原式. 因为，所以，，所以，，所以，， 所以原式. 故选：D. 4. 设函数，其中所有正确结论的编号是（ ） ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减； ④把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象． A. ①④ B. ②④ C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】对恒等变形，从而求出最小正周期判断①，求判断②，求出一般递减区间判断③，图象平移判断④，三角恒等变换是关键． 【详解】解：， 对于①，最小正周期为，，所以①对； 对于②，，则的图象关于直线对，所以②对； 对于③，求的递减区间满足：，， 则的递减区间为，，又，所以③错； 对于④，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如下函数： ，所以④错； 故选：C． 5. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】由得：，代入化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由得：，代入得到： 当且仅当：即时取等号 故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 6. 已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由投影向量的定义算出，再根据算出和，然后再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系即可算出的值. 【详解】由题意，，则在上的投影向量： ， 所以，则， 那么, 又， 由此. 故选：A 7. 已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据x的取值范围不同，分别解出根即可得出答案. 【详解】当时，，当时，解得； 当时，，其中，， 当时，解得，综上k的最大值是1. 故选：C. 8. 已知圆心角为的扇形的半径为1，是弧上一动点（不包括、），作矩形，与相交于点，给出下列四个结论： ①存在点，使得与的面积相等； ②存在点，使得与的面积相等； ③面积的最大值为，此时； ④矩形面积的最大值为，此时． 其中，所有正确结论的序号为（    ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设，，即可结合面积公式判断①②③，由三角形的知识易得矩形面积，由三角函数公式化简可得，由和三角函数的最值求其最值，判断④，由此可得结论． 【详解】设，， 则，，，， 所以， 对于①，若与的面积相等，则， 故，即，则， 由于，故， 故存在点，使得与的面积相等；①正确， 对于②，若存在点，使得与的面积相等， 则，则，这显然不符合要求，故②错误， 对于③，的面积为， 故当时，面积最大，最大值为，此时；故③正确， 对于④，矩形面积 ， ， 当即时，取最大值，此时，故④正确. 所以正确结论的序号为①③④. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD 10. 下列函数中最小值不小于6的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项：当时，得到不符合题意；对于B和C选项：利用基本不等式的一正二定三相等这三个条件分别验证各选项；对于D选项：利用基本不等式，验证三相等时不成立，进而转换使用对勾函数进行验证即可. 【详解】对于A：当时，，故A不符合题意； 对于B：，当且仅当，即时，等号成立，故B符合题意； 对于C：，当且仅当，即时，等号成立，故C符合题意； 对于D：，当且仅当时，等号成立，解方程，得，无实数解，故， 又设，则为对勾函数，在上时增函数，在处取最小值为，故D符合题意. 故选：BCD. 11. 若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（ ） A. 当时，的最大值为16 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断即可. 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. （1）已知实数满足，则的取值范围是________． （2）已知，，求x的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据，，，得到，由完全平方公式可得，由此可得结论； （2）由条件可得，结合基本不等式证明，由此可得，解不等式可得的范围，由此可得结论. 【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当或时等号成立， 又， 所以，当且仅当，且时等号成立（例如时等号成立）， 所以的取值范围为， （2）因为，， 所以， 所以， 因为，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当或时等号成立， 所以， 所以，故， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：；. 13. （1）设，那么最小值是___________. （2）已知，且.求的最小值是___________. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（1）两次利用基本不等式即可计算出结果； （2）利用基本不等式和对勾函数的单调性可得结果. 【详解】（1）由，所以，当且仅当，即时取等号； 所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号， 综上，当、时，取得最小值8. （2）因为，所以， 令，由，可得，当且仅当时取等号， 由，或（舍去）， 因此，即， 令，因为函数在时单调递增， 所以函数在时也单调递增， 因此当时，函数有最小值，最小值为， 综上，当时，取得最小值. 故答案为：8； 14. （1）已知正实数，且满足，则最小值是___________. （2）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为________千米． 【答案】 ①. ； ②. ##. 【解析】 【分析】（1）将原式因式分解后再整体代入，最后得，最后利用基本不等式和函数单调性即可求出最值； （2）设，首先利用余弦定理得，再写出周长的函数表达式，根据正弦函数的性质即可求出其最值. 【详解】（1） ， 因为均为正实数，则，当且仅当时等号成立， 设，则， 因为函数在上单调递增，则， 即的最小值是. （2）连接，设，， 则，， 易知，则在中，根据余弦定理有，则， ， 因为，则，则当，即时，取得最大值. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）． （2）已知，求的值. （3）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则以及换底公式计算即可； （2）利用三角函数平方关系化简计算可得结果； （3）将表达式上下同时除以，由换元法令，并结合基本不等式计算可求得函数值域. 【详解】（1）易知 ； （2）由可得， 可得 ； （3）易知函数的定义域为，当时，, 当时，可得， 令，显然，因此， 当可知，此时； 当，可得， 当可知，当且仅当时，等号成立； 当可知，当且仅当时，等号成立； 综上可知， 所以函数的值域为. 16. 已知函数满足． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． （3）设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），最小正周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由和的范围，求出，即得函数解析式，再由周期公式求解即可； (2)根据平移变换求得，根据求出结合即可求得其最小值； (3)利用，结合基本不等式可得：，由恒成立，可得：，解不等式即得. 【小问1详解】 ∵， ∴，，即 又，故，即， ∴的最小正周期为：； 【小问2详解】 由题意，， ∵， 由，可得， ∴， 解得，因， ∴的最小值为． 【小问3详解】 因为，所以，， 则， 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 又因为恒成立，所以，由于，解得：， 所以的取值范围为. 17. 已知函数，． （1）若，，求的值； （2）若存在，使等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据求解或，由正切的和角公式即可求解， （2）根据三角函数的性质可得，即可分离参数，由二次函数的性质求解. 【小问1详解】 ． ，则， 由于，， 所以或，即或， 当时，， 当时，． 【小问2详解】 当时，，则， 即， 令，， 关于t方程在上有解,即在上有解， 当时，， 由，得， 即实数m的取值范围是． 18. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据型函数的定义，结合函数奇偶性的判断方法即可证明； （2）① 设，由为型函数可得，由此推出，即得，故得证；② 先将题设不等式转化成，通过化简，利用换元，将其化成关于的二次函数，即可求其值域，得到参数范围. 【小问1详解】 若关于对称，所以， 即， 故为偶函数，即为型函数． 【小问2详解】 ① 设， 则为奇函数，即在R上恒成立； 由 ， 则，即， 因为，所以． ② 由①知，，则不等式化为： ，则. 因 , 令，则，， 故当时，取到最小值，所以． 故a的取值范围为． 19. （1），，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . （2）设定义在区间上函数的图象为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量. 定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数. （i）求证：三点共线； （ii）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）由数量积定义结合题设条件列出不等式组即可求解； （2）（i）由题设可得，即可得证； （ii）由题设求出，即可由新定义分析求解. 【详解】（1）因为，，与的夹角为钝角， 所以或， 所以的取值范围是； （2）（i）证明：由题向量， 得，即，所以三点共线； （ii）由题得向量，， 所以向量， 由题意，，， 则，向量，， 所以恒成立， 当时，当且仅当时等号成立， 所以，即函数在区间上可在标准下线性近似，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $