1.1 集合的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念，分层设计基础辨析、中档应用、提升探究三阶训练，覆盖概念理解到综合论证，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合定义、表示方法|单选（如第1题）、多选（如第7题）辨析概念，强化抽象能力| |中档|元素性质、参数计算|填空（如第10题）、单选（如第5题）训练运算能力与推理意识| |提升|综合应用、性质探究|解答题（如第14题）证明元素关系，第15题探究集合性质，发展创新意识|

1.1 集合的概念限时训练 1．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 2．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（多选）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 11．（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 12．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 13．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 15．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念限时训练 1．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 2．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 6．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法写出集合的元素即可求解. 【详解】由题意知，所以中元素的个数为4. 故选：C. 7．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 9．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）（多选）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 【答案】BCD 【分析】根据题意得，，得， 逐项判断即可. 【详解】由，，得，， 要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等． 因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误． 由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确． 当时，，，所以D正确． 故选：BCD 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 11．（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 12．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 15．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $